La primitive comme solution d'une équation différentielle y'=f
- Fiche de cours
- Quiz
- Profs en ligne
- Videos
- Application mobile
- Comprendre le lien entre la notion de primitive et les équations différentielles.
- Connaitre les primitives des fonctions de référence.
- Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction.
- Pour une fonction f continue et définie sur un intervalle I, une de ses primitives constitue une des solutions de l’équation différentielle y’ = f.
- Soit f une fonction continue sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I une fonction F dérivable sur I telle que F’ = f.
- Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
- Deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante.
- Déterminer la dérivée d’une fonction.
- Connaitre la notion de continuité d’une fonction.
- Connaitre les dérivées des fonctions usuelles.
L’équation différentielle y’ = 3x a pour inconnue la fonction y qui dépend de x.
Une des solutions de cette équation différentielle est la fonction y définie sur
par 
. En effet, 
.
La résolution de ce type d’équation différentielle est expliquée dans la suite de cette fiche.
Dans cette équation différentielle, le membre de gauche dépend lui-même de la fonction y.
par 
. En effet, 
et 
.
. On dit que la
fonction g est une solution de
l’équation différentielle
y’
= f
sur I si et
seulement si g est dérivable
sur I et, pour
tout réel x de I, on a g’(x) = f(x).
• Soit l’équation
différentielle y = 2x2
– 4x. La fonction
définie sur 
par 
est solution de
cette équation différentielle car
y est
dérivable et pour tout
réel x de 
, 
.
• Soit l’équation
différentielle y = 2x. La fonction
définie sur 
par
y(x) =
2 ln(x) est solution de cette
équation différentielle car
y est
dérivable et, pour tout
réel x strictement positif,
.
On appelle primitive de f sur I une fonction F dérivable sur I telle que F’ = f.
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
Par définition, la recherche d’une primitive est l’opération inverse de la dérivation.
On a alors l’équivalence : « F a pour dérivée f » et « f a pour primitive F » et on obtient le tableau des primitives des fonctions de référence par lecture inverse du tableau des dérivées.
| Fonction f | Une primitive de f | Domaine de définition |
f(x) = a, a
∈ 
|
F(x) = ax |
|
f(x) = xn,
n ∈  /{– 1}
|
|
pour
n ≥ 0 ou
pour 
|
|
|
|
|
F(x) = ln(x) |
|
|
|
|
| f(x) = ex | F(x) = ex |
|
| f(x) = sin(x) | F(x) = –cos(x) |
|
| f(x) = cos(x) | F(x) = sin(x) |
|
Bien que l’existence de primitives sur un intervalle soit assurée pour toute fonction continue sur cet intervalle, il se peut que l’on ne dispose pas de forme explicite de ces primitives. On ne peut donc pas trouver de primitive pour ces fonctions par lecture inverse du tableau des dérivées. C’est le cas par exemple de la fonction définie sur
par 
.
Deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante.
Soit F et
G deux
primitives de la fonction f sur I.
On a alors F’(x) = f(x)
et G’(x) = f(x).
Donc F’(x) = G’(x), soit F’(x) –
G’(x)
= 0, soit encore
(F
–
G)’(x) = 0.
La fonction F
–
G
possède une dérivée nulle
sur I, elle est
donc constante sur I.
On nomme K
cette constante. Ainsi, F(x) – G(x) = K pour tout x de I.
On en déduit que les deux primitives
de f
diffèrent d’une constante.
Les primitives de la fonction f définie sur
par f(x) = 8x + 3
sont les fonctions F telles que F(x) = 4x2 + 3x + k,
avec k réel. Toutes
les primitives de la fonction f diffèrent
d’une constante.
• Déterminer la primitive de la fonction f telle que F(0) = 2.
F(0) = 2 + k, donc F(0) = 2 si et seulement si k = 2. La primitive de la fonction f telle que F(0) = 2 est la fonction F telle que F(x) = 4x2 + 3x + 2.
• Déterminer la primitive de la fonction f telle que F(1) = 0.
F(1) = 4 + 3 + k = 7 + k, donc F(1) = 0 si et seulement si k = – 7. La primitive de la fonction f telle que F(1) = 0 est la fonction F telle que F(x) = 4x2 + 3x – 7.
Comment as-tu trouvé ce cours ?
Évalue ce cours !
Vous avez obtenu75%de bonnes réponses !
Recevez l'intégralité des bonnes réponses ainsi que les rappels de cours associés :
Fiches de cours les plus recherchées
Mathématiques complémentaires
L'équation différentielle y'=ay+b
Mathématiques complémentaires
La dérivée seconde d'une fonction et ses applications
Mathématiques complémentaires
La convexité d'une fonction - spé maths complémentaires
Mathématiques complémentaires
Fonctions réciproques et aspects graphiques
Mathématiques complémentaires
Suites et inégalités
Mathématiques complémentaires
Les suites arithmético-géométriques
Mathématiques complémentaires
Le calcul intégral : aire sous une courbe positive et continue - Maths complémentaires
Mathématiques complémentaires
Au programme !
Mathématiques complémentaires
La dérivée de fonctions composées simples
Mathématiques complémentaires
Loi uniforme, loi de Bernoulli et cas discret
Mathématiques complémentaires
La loi géométrique
Mathématiques complémentaires
Loi uniforme continue et loi exponentielle
Mathématiques complémentaires
Les limites usuelles des fonctions de référence
Mathématiques complémentaires
Rappels sur les suites numériques : opérations sur les limites
Mathématiques complémentaires
Limite infinie d'une fonction en un point
Mathématiques complémentaires
La limite finie ou infinie d'une fonction en l'infini
Mathématiques complémentaires
L'asymptote parallèle à l'un des axes de coordonnées
Mathématiques complémentaires
Fonctions continues et non continues sur un intervalle
Fermer
Accédez gratuitement à
