Lycée   >   Terminale   >   Mathématiques complémentaires   >   La primitive comme solution d'une équation différentielle y'=f - Maths complémentaires

La primitive comme solution d'une équation différentielle y'=f

  • Fiche de cours
  • Quiz
  • Profs en ligne
Objectifs
  • Comprendre le lien entre la notion de primitive et les équations différentielles.
  • Connaitre les primitives des fonctions de référence.
Points clés
  • Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction.
  • Pour une fonction f continue et définie sur un intervalle I, une de ses primitives constitue une des solutions de l’équation différentielle y’ f.
  • Soit f une fonction continue sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I une fonction F dérivable sur I telle que F’ f.
  • Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
  • Deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante.
Pour bien comprendre
  • Déterminer la dérivée d’une fonction.
  • Connaitre la notion de continuité d’une fonction.
  • Connaitre les dérivées des fonctions usuelles.
1. Définition d'une équation différentielle
Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction.
Exemple – Équation différentielle du type y’ f
L’équation différentielle y’ = 3x a pour inconnue la fonction y qui dépend de x.
Une des solutions de cette équation différentielle est la fonction y définie sur par . En effet, .
Remarque
La résolution de ce type d’équation différentielle est expliquée dans la suite de cette fiche.
Exemple – Équation différentielle du type y’ y2
Remarque
Dans cette équation différentielle, le membre de gauche dépend lui-même de la fonction y.
Une des solutions de cette équation différentielle est la fonction y définie sur par . En effet, et .
2. Définition de la primitive d'une fonction continue f sur un intervalle
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de . On dit que la fonction g est une solution de l’équation différentielle y’ f sur I si et seulement si g est dérivable sur I et, pour tout réel x de I, on a g’(x) = f(x).
Exemples

• Soit l’équation différentielle y = 2x2 – 4x. La fonction définie sur par est solution de cette équation différentielle car y est dérivable et pour tout réel x de , .

• Soit l’équation différentielle y = 2x. La fonction définie sur par y(x) = 2 ln(x) est solution de cette équation différentielle car y est dérivable et, pour tout réel x strictement positif, .

Soit f une fonction continue sur un intervalle I.
On appelle primitive de f sur I une fonction F dérivable sur I telle que F’ f.
Propriété (admise)
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
3. Primitives des fonctions de référence

Par définition, la recherche d’une primitive est l’opération inverse de la dérivation.

On a alors l’équivalence : « F a pour dérivée f » et « f a pour primitive F » et on obtient le tableau des primitives des fonctions de référence par lecture inverse du tableau des dérivées.

 Fonction f  Une primitive de f  Domaine de définition
f(xa, a ∈  F(x) = ax
 f(x) = xn, n ∈  /{– 1} pour n  0
ou
pour
 
F(x) = ln(x)
 
 f(x) = ex F(x) = ex
f(x) = sin(x)  F(x) = –cos(x)
f(x) = cos(x)  F(x) = sin(x)
Remarque
Bien que l’existence de primitives sur un intervalle soit assurée pour toute fonction continue sur cet intervalle, il se peut que l’on ne dispose pas de forme explicite de ces primitives. On ne peut donc pas trouver de primitive pour ces fonctions par lecture inverse du tableau des dérivées. C’est le cas par exemple de la fonction définie sur par .
Propriété
Deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante.
Démonstration

Soit F et G deux primitives de la fonction f sur I.
On a alors F’(x) = f(x) et G’(x) = f(x).
Donc F’(x) = G’(x), soit F’(x)G’(x) = 0, soit encore (F G)’(x= 0.
La fonction F G possède une dérivée nulle sur I, elle est donc constante sur I.
On nomme K cette constante. Ainsi, F(x) G(x) K pour tout x de I.
On en déduit que les deux primitives de f diffèrent d’une constante.

Exemple
Les primitives de la fonction f définie sur par f(x) = 8x + 3 sont les fonctions F telles que F(x) = 4x2 + 3x + k, avec k réel. Toutes les primitives de la fonction f diffèrent d’une constante.

• Déterminer la primitive de la fonction f telle que F(0) = 2.

F(0) = 2 + k, donc F(0) = 2 si et seulement si k = 2. La primitive de la fonction f telle que F(0) = 2 est la fonction F telle que F(x= 4x2 + 3x + 2.

• Déterminer la primitive de la fonction f telle que F(1) = 0.

F(1) = 4 + 3 + k = 7 + k, donc F(1) = 0 si et seulement si k = – 7. La primitive de la fonction f telle que F(1) = 0 est la fonction F telle que F(x4x2 + 3x 7.

Comment as-tu trouvé ce cours ?

Évalue ce cours !

 

Question 1/5

La médiane de 6 notes est 13. Cela signifie que :

Question 2/5

On a obtenu la série statistique suivante :

Combien vaut la médiane ?

Question 3/5

On a obtenu la série ci-dessous :

Quelle est la médiane de cette série ?

Question 4/5

On a relevé les tailles en cm des élèves d’une classe :

 

Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?

Question 5/5

Les notes en français de deux classes littéraires sont données dans le tableau suivant :

Quelle est la note médiane ?

Vous avez obtenu75%de bonnes réponses !

Recevez l'intégralité des bonnes réponses ainsi que les rappels de cours associés :

Votre adresse e-mail sera exclusivement utilisée pour vous envoyer notre newsletter. Vous pourrez vous désinscrire à tout moment, à travers le lien de désinscription présent dans chaque newsletter. Pour en savoir plus sur la gestion de vos données personnelles et pour exercer vos droits, vous pouvez consulter notre charte.

Une erreur s'est produite, veuillez ré-essayer

Consultez votre boite email, vous y trouverez vos résultats de quiz!

Découvrez le soutien scolaire en ligne avec myMaxicours

Le service propose une plateforme de contenus interactifs, ludiques et variés pour les élèves du CP à la Terminale. Nous proposons des univers adaptés aux tranches d'âge afin de favoriser la concentration, encourager et motiver quel que soit le niveau. Nous souhaitons que chacun se sente bien pour apprendre et progresser en toute sérénité ! 

Fiches de cours les plus recherchées

Mathématiques complémentaires

L'équation différentielle y'=ay+b

Mathématiques complémentaires

La dérivée seconde d'une fonction et ses applications

Mathématiques complémentaires

La convexité d'une fonction - spé maths complémentaires

Mathématiques complémentaires

Fonctions réciproques et aspects graphiques

Mathématiques complémentaires

Suites et inégalités

Mathématiques complémentaires

Les suites arithmético-géométriques

Mathématiques complémentaires

Le calcul intégral : aire sous une courbe positive et continue - Maths complémentaires

Mathématiques complémentaires

Au programme !

Mathématiques complémentaires

La dérivée de fonctions composées simples

Mathématiques complémentaires

Loi uniforme, loi de Bernoulli et cas discret

Mathématiques complémentaires

La loi géométrique

Mathématiques complémentaires

Loi uniforme continue et loi exponentielle

Mathématiques complémentaires

Les limites usuelles des fonctions de référence

Mathématiques complémentaires

Rappels sur les suites numériques : opérations sur les limites

Mathématiques complémentaires

Limite infinie d'une fonction en un point

Mathématiques complémentaires

La limite finie ou infinie d'une fonction en l'infini

Mathématiques complémentaires

L'asymptote parallèle à l'un des axes de coordonnées

Mathématiques complémentaires

Fonctions continues et non continues sur un intervalle