La dérivée seconde d'une fonction et ses applications
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- Calculer une dérivée seconde.
- Connaitre la notion de point d’inflexion.
- Utiliser une dérivée seconde.
- La dérivée seconde est la dérivée de la dérivée d'une fonction, lorsqu'elle est définie.
- Soit f une fonction définie sur un intervalle I et C sa courbe représentative. On dit que C admet un point d’inflexion si, en ce point, la courbe C traverse sa tangente.
- Soit f une fonction définie sur un intervalle I telle que sa dérivée seconde existe sur I et soit c un réel de I. Si f’’ s'annule en c en changeant de signe, le point A(c ; f(c)) est un point d'inflexion de la courbe représentative de f.
- Dériver une fonction.
- Connaitre les dérivées des fonctions usuelles.
- Connaitre la notion de tangente à une courbe.
On considère la fonction
qui est
définie sur 
.Sa dérivée est la fonction
qui est
définie sur .Sa dérivée seconde est 6x qui est définie sur
.
La dérivée d’une fonction f est notée f’.
Dans d’autres matières, on utilise aussi la notation
.
La dérivée seconde d’une fonction f est notée f’’.
Dans d’autres matières, on utilise aussi la notation
.
On dit que C admet un point d’inflexion si, en ce point, la courbe C traverse sa tangente.
Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle I et soit c un réel de I.
Si f’’ s'annule en c en changeant de signe, le point A(c ; f(c)) est un point d'inflexion de la courbe représentative de f.
On considère la fonction f telle que
définie et deux
fois dérivable sur .On a f’(x) = 3x2 et f’’(x) = 6x.
Le point A(0 ; 0) est un point d’inflexion de la courbe de f.
Les valeurs pour lesquelles f, f’ et f’’ s'annulent sont généralement différentes.
On considère f la fonction définie et deux fois dérivable sur
par f(x) = x3 – 6x2 + 9x.On a f(x) = x(x – 3)2 en factorisant, donc f s'annule en 0 et 3.
Puis f’(x) = 3x2 – 12x + 9 et, en factorisant, f’(x) = 3(x – 1)(x – 3), donc f’ s'annule en 1 et 3.
Enfin f’’(x) = 6x – 12 et f’’ s'annule en 2.
Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle I.
Si f’’ est positive sur I et si, pour un réel c de I, f’(c) = 0, alors f admet un minimum sur I en c.
On considère la fonction
définie et deux
fois dérivable sur .On a
et 
.
pour x ∈ et 
soit x = –2.Donc f admet un minimum sur
en x = –2.
Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle I.
Si f’’ est négative sur I et si, pour un réel c de I, f’(c) = 0, alors f admet un maximum sur I en c.
On considère la fonction
définie et deux
fois dérivable sur .On a
et 
.
pour x ∈ et 
soit x = 3.Donc f admet un maximum sur
en x = 3.
Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle I :
• si f’’(x) > 0 pour tout x appartenant à I, f est convexe sur I (sa courbe Cf est au-dessous de toutes ses sécantes sur I) ;
• si f’’(x) < 0 pour tout x appartenant à I, f est concave sur I (sa courbe Cf est au-dessus de toutes ses sécantes sur I).
Les différentes définitions de la convexité sont traitées dans la fiche « La convexité d’une fonction ».
On considère ci-dessous la courbe C de la fonction f définie par f(x) = x3 – 6x2 + 9x sur I = [–1 ; 5]. Étudier la convexité de f sur I.
On étudie ensuite le signe de f’’ : 6x – 12 > 0 si et seulement si x > 2 .
Ainsi on peut dire que :
f est concave sur [–1 ; 2] car, pour x ∈ [–1 ; 2], f’’(x) < 0.
f est convexe sur [2 ; 5] car, pour x ∈ [2 ; 5], f’’(x) > 0.
Lorsqu'une fonction f change de concavité en un réel c, alors sa courbe représentative admet un point d'inflexion de coordonnées (c ; f(c)).
« Changer de concavité » signifie passer de « convexe à concave » ou de « concave à convexe ».
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