La dérivée seconde d'une fonction et ses applications
Objectifs
- Calculer une dérivée seconde.
- Connaitre la notion de point d’inflexion.
- Utiliser une dérivée seconde.
Points clés
- La dérivée seconde est la dérivée de la dérivée d'une fonction, lorsqu'elle est définie.
- Soit f une fonction définie sur un intervalle I et C sa courbe représentative. On dit que C admet un point d’inflexion si, en ce point, la courbe C traverse sa tangente.
- Soit f une fonction définie sur un intervalle I telle que sa dérivée seconde existe sur I et soit c un réel de I. Si f’’ s'annule en c en changeant de signe, le point A(c ; f(c)) est un point d'inflexion de la courbe représentative de f.
Pour bien comprendre
- Dériver une fonction.
- Connaitre les dérivées des fonctions usuelles.
- Connaitre la notion de tangente à une courbe.
1. Définition et notation
a. Définition
La dérivée seconde est la
dérivée de la dérivée d'une
fonction f,
lorsqu'elle est définie sur un intervalle
I. Dans ce cas, on
dit que la fonction f est deux fois
dérivable sur I.
Exemple
On considère la fonction
qui est
définie sur 
.
Sa dérivée est la fonction
qui est
définie sur .
Sa dérivée seconde est 6x qui est définie sur.
On considère la fonction
qui est
définie sur .Sa dérivée est la fonction
qui est
définie sur .Sa dérivée seconde est 6x qui est définie sur
.
b. Notation
La dérivée d’une fonction f est notée f’.
Remarque
Dans d’autres matières, on utilise aussi la notation
.
Dans d’autres matières, on utilise aussi la notation
.
La dérivée seconde d’une fonction f est notée f’’.
Remarque
Dans d’autres matières, on utilise aussi la notation
.
Dans d’autres matières, on utilise aussi la notation
.
2. Point d'inflexion
Soit f une
fonction définie sur un
intervalle I
telle que sa dérivée existe
sur I
et C sa
courbe représentative.
On dit que C admet un point d’inflexion si, en ce point, la courbe C traverse sa tangente.
On dit que C admet un point d’inflexion si, en ce point, la courbe C traverse sa tangente.
Propriété
Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle I et soit c un réel de I.
Si f’’ s'annule en c en changeant de signe, le point A(c ; f(c)) est un point d'inflexion de la courbe représentative de f.
Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle I et soit c un réel de I.
Si f’’ s'annule en c en changeant de signe, le point A(c ; f(c)) est un point d'inflexion de la courbe représentative de f.
Exemple
On considère la fonction f telle que définie et deux
fois dérivable sur .
On a f’(x) = 3x2 et f’’(x) = 6x.
Le point A(0 ; 0) est un point d’inflexion de la courbe de f.
On considère la fonction f telle que
définie et deux
fois dérivable sur .On a f’(x) = 3x2 et f’’(x) = 6x.
Le point A(0 ; 0) est un point d’inflexion de la courbe de f.
Remarque
Les valeurs pour lesquelles f, f’ et f’’ s'annulent sont généralement différentes.
Les valeurs pour lesquelles f, f’ et f’’ s'annulent sont généralement différentes.
Exemple
On considère f la fonction définie et deux fois dérivable sur
par f(x) = x3 – 6x2 + 9x.
On a f(x) = x(x – 3)2 en factorisant, donc f s'annule en 0 et 3.
Puis f’(x) = 3x2 – 12x + 9 et, en factorisant, f’(x) = 3(x – 1)(x – 3), donc f’ s'annule en 1 et 3.
Enfin f’’(x) = 6x – 12 et f’’ s'annule en 2.
On considère f la fonction définie et deux fois dérivable sur
par f(x) = x3 – 6x2 + 9x.On a f(x) = x(x – 3)2 en factorisant, donc f s'annule en 0 et 3.
Puis f’(x) = 3x2 – 12x + 9 et, en factorisant, f’(x) = 3(x – 1)(x – 3), donc f’ s'annule en 1 et 3.
Enfin f’’(x) = 6x – 12 et f’’ s'annule en 2.
3. Dérivée seconde et extremum local
Propriété
Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle I.
Si f’’ est positive sur I et si, pour un réel c de I, f’(c) = 0, alors f admet un minimum sur I en c.
Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle I.
Si f’’ est positive sur I et si, pour un réel c de I, f’(c) = 0, alors f admet un minimum sur I en c.
Exemple
On considère la fonction
définie et deux
fois dérivable sur .
On a
et 
.
pour x ∈ et 
soit x = –2.
Donc f admet un minimum sur en x = –2.
On considère la fonction
définie et deux
fois dérivable sur .On a
et . pour x ∈ et soit x = –2.Donc f admet un minimum sur
en x = –2.
Propriété
Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle I.
Si f’’ est négative sur I et si, pour un réel c de I, f’(c) = 0, alors f admet un maximum sur I en c.
Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle I.
Si f’’ est négative sur I et si, pour un réel c de I, f’(c) = 0, alors f admet un maximum sur I en c.
Exemple
On considère la fonction
définie et deux
fois dérivable sur .
On a
et 
.
pour x ∈ et 
soit x = 3.
Donc f admet un maximum sur en x = 3.
On considère la fonction
définie et deux
fois dérivable sur .On a
et . pour x ∈ et
soit x = 3.Donc f admet un maximum sur
en x = 3.
4. Dérivée seconde et convexité
Propriété
Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle I :
• si f’’(x) > 0 pour tout x appartenant à I, f est convexe sur I (sa courbe Cf est au-dessous de toutes ses sécantes sur I) ;
• si f’’(x) < 0 pour tout x appartenant à I, f est concave sur I (sa courbe Cf est au-dessus de toutes ses sécantes sur I).
Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle I :
• si f’’(x) > 0 pour tout x appartenant à I, f est convexe sur I (sa courbe Cf est au-dessous de toutes ses sécantes sur I) ;
• si f’’(x) < 0 pour tout x appartenant à I, f est concave sur I (sa courbe Cf est au-dessus de toutes ses sécantes sur I).
Remarque
Les différentes définitions de la convexité sont traitées dans la fiche « La convexité d’une fonction ».
Les différentes définitions de la convexité sont traitées dans la fiche « La convexité d’une fonction ».
Exemple
On considère ci-dessous la courbe C de la fonction f définie par f(x) = x3 – 6x2 + 9x sur I = [–1 ; 5]. Étudier la convexité de f sur I.
On calcule f’’(x) :
f’(x) = 3x2 – 12x + 9
et f’’(x) = 6x – 12.
On étudie ensuite le signe de f’’ : 6x – 12 > 0 si et seulement si x > 2 .
Ainsi on peut dire que :
f est concave sur [–1 ; 2] car, pour x ∈ [–1 ; 2], f’’(x) < 0.
f est convexe sur [2 ; 5] car, pour x ∈ [2 ; 5], f’’(x) > 0.
On considère ci-dessous la courbe C de la fonction f définie par f(x) = x3 – 6x2 + 9x sur I = [–1 ; 5]. Étudier la convexité de f sur I.
On étudie ensuite le signe de f’’ : 6x – 12 > 0 si et seulement si x > 2 .
Ainsi on peut dire que :
f est concave sur [–1 ; 2] car, pour x ∈ [–1 ; 2], f’’(x) < 0.
f est convexe sur [2 ; 5] car, pour x ∈ [2 ; 5], f’’(x) > 0.
Propriété
Lorsqu'une fonction f change de concavité en un réel c, alors sa courbe représentative admet un point d'inflexion de coordonnées (c ; f(c)).
Lorsqu'une fonction f change de concavité en un réel c, alors sa courbe représentative admet un point d'inflexion de coordonnées (c ; f(c)).
Remarque
« Changer de concavité » signifie passer de « convexe à concave » ou de « concave à convexe ».
« Changer de concavité » signifie passer de « convexe à concave » ou de « concave à convexe ».
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