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Le théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction continue strictement monotone

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Objectif

Exploiter le théorème des valeurs intermédiaires dans le cas où f est strictement monotone pour résoudre un problème.

Points clés
  • Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soit (a ; b) un couple de réels de I. Pour tout réel k compris entre f (a) et (b), il existe au moins un réel c appartenant à l'intervalle [a ; b] tel que (c= k.
  • Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soit a et b deux points de I et k un nombre compris entre f (a) et f (b). De plus, on suppose que f est strictement monotone sur I. Alors il existe un unique réel c compris entre a et b tel que (c= k. Autrement dit, l'équation (x= k admet une unique solution comprise entre a et b.
Pour bien comprendre
  • Étudier la continuité d’une fonction.
  • Étudier les variations d’une fonction.
1. Le théorème des valeurs intermédiaires
Théorème (admis)
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soit (a  ; b) un couple de réels de I.
Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), il existe au moins un réel c appartenant à l'intervalle [a ; b] tel que f (c= k.
Autrement dit, pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), l'équation f (xk admet au moins une solution dans l'intervalle [a ; b].
Exemple
L'équation x3  + 3 admet au moins une solution dans l'intervalle ]2 ; 0[.
En effet, posons (x= x3  + 3. Comme tout polynôme, f est une fonction continue. De plus, (2) = 3 et f (0) = 3.
f (2) < 0 < (0)
On voit sur la figure ci-dessous que la courbe d'équation y = x3  + 3 coupe l'axe des abscisses en un point sur l'intervalle ]2 ; 0[.
2. Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires : cas des fonctions continues et strictement monotones sur I
Théorème
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soit a et b deux points de I et k un nombre compris entre f (a) et f (b). De plus, on suppose que f est strictement monotone sur I.
Alors il existe un unique réel c compris entre a et b tel que f (c= k.
Autrement dit, l'équation (x= k admet une unique solution comprise entre a et b.
Remarques

• Il y a deux ajouts par rapport au théorème des valeurs intermédiaires. D'abord, la stricte monotonie de f. Cela signifie que f est soit strictement croissante soit strictement décroissante sur I. Ensuite, l'unicité de la solution.

• Le théorème se généralise au cas où f est continue et strictement monotone sur un intervalle ]a ; b[, et que les limites de f aux bornes de cet intervalle sont des infinis de signes contraires (–∞ et +∞). On peut adapter le théorème des valeurs intermédiaires et cette généralisation aux cas [a ; b[ et ]a ; b].

Exemples

• Soit f la fonction définie sur par (x) = ex  2.
Alors l’équation f (x) = 0 admet une unique solution sur l’intervalle [0 ; 3]. En effet, f’(x) = ex > 0 pour tout réel x  [0 ; 3]. Donc f est strictement croissante sur [0 ; 3]. De plus, f est continue sur [0 ; 3]. Et f (0) = e0  2 =  1 < 0 ; f (3) = e3  2 > 0.

• On considère une fonction g définie sur un intervalle I. Le tableau de variations suivant permet de dire que la fonction g est continue et est strictement croissante sur [2 ; 10] et que 0 ∈ [1 ; 5]. Donc l’équation g(x= 0 admet une unique solution dans [2 ; 10].

3. Les applications pratiques
a. L’utilisation des théorèmes dans des situations variées

On donne ci-dessous un exemple d’application du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

Exemple
On considère l’équation x3 = x + 1. Démontrons que cette équation admet une solution unique dans l'intervalle [0 ; +[.

On pose (x= x3 + – 1, puis on étudie les variations de la fonction f.
f’(x= 3x2 > 0 sur [0 ; +[. Donc f est strictement croissante sur [0 ; +∞[.
De plus, (0) = < 0 et  = +∞. Donc 0 ∈ [f (0) ; ].
Il en résulte que l'équation f (x= 0 admet une unique solution dans l'intervalle [0 ; +[. D'où x3 = x + 1 admet également une unique solution dans l’intervalle [0 ; +[.

b. L’approximation des solutions

Une fois que l'existence de solution(s) à l'équation (x= k est établie, on peut utiliser une calculatrice pour obtenir une valeur approchée de la ou les solutions. Il peut être utile d'introduire la fonction x ↦ (x) – k.

Sur les calculatrices, on utilise les fonctionnalités qui, selon les modèles, se nomment « solve » ou « zeros » et se trouvent soit dans les menus accompagnant le tracé de la courbe (« graph »), soit dans le menu « Math ».

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