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Le théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction continue strictement monotone

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Objectif

Exploiter le théorème des valeurs intermédiaires dans le cas où f est strictement monotone pour résoudre un problème.

Points clés

Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soit (a ; b) un couple de réels de I. Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), il existe au moins un réel c appartenant à l'intervalle [a ; b] tel que f (c) = k.
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soit a et b deux points de I et k un nombre compris entre f (a) et f (b). De plus, on suppose que f est strictement monotone sur I. Alors il existe un unique réel c compris entre a et b tel que f (c) = k. Autrement dit, l'équation f (x) = k admet une unique solution comprise entre a et b.

Pour bien comprendre

Étudier la continuité d’une fonction.
Étudier les variations d’une fonction.

1. Le théorème des valeurs intermédiaires

Théorème (admis)
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soit (a ; b) un couple de réels de I.
Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), il existe au moins un réel c appartenant à l'intervalle [a ; b] tel que f (c) = k.
Autrement dit, pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), l'équation f (x) = k admet au moins une solution dans l'intervalle [a ; b].

Exemple
L'équation x³ – x + 3 admet au moins une solution dans l'intervalle ]–2 ; 0[.
En effet, posons f (x) = x³ – x + 3. Comme tout polynôme, f est une fonction continue. De plus, f (–2) = –3 et f (0) = 3.
f (–2) < 0 < f (0)
On voit sur la figure ci-dessous que la courbe d'équation y = x³ – x + 3 coupe l'axe des abscisses en un point sur l'intervalle ]–2 ; 0[.

2. Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires : cas des fonctions continues et strictement monotones sur I

Théorème
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soit a et b deux points de I et k un nombre compris entre f (a) et f (b). De plus, on suppose que f est strictement monotone sur I.
Alors il existe un unique réel c compris entre a et b tel que f (c) = k.
Autrement dit, l'équation f (x) = k admet une unique solution comprise entre a et b.

Remarques

• Il y a deux ajouts par rapport au théorème des valeurs intermédiaires. D'abord, la stricte monotonie de f. Cela signifie que f est soit strictement croissante soit strictement décroissante sur I. Ensuite, l'unicité de la solution.

• Le théorème se généralise au cas où f est continue et strictement monotone sur un intervalle ]a ; b[, et que les limites de f aux bornes de cet intervalle sont des infinis de signes contraires (–∞ et +∞). On peut adapter le théorème des valeurs intermédiaires et cette généralisation aux cas [a ; b[ et ]a ; b].

Exemples

• Soit f la fonction définie sur par f (x) = e^x – 2.
Alors l’équation f (x) = 0 admet une unique solution sur l’intervalle [0 ; 3]. En effet, f’(x) = e^x > 0 pour tout réel x ∈ [0 ; 3]. Donc f est strictement croissante sur [0 ; 3]. De plus, f est continue sur [0 ; 3]. Et f (0) = e⁰ – 2 = –1 < 0 ; f (3) = e³ – 2 > 0.

• On considère une fonction g définie sur un intervalle I. Le tableau de variations suivant permet de dire que la fonction g est continue et est strictement croissante sur [2 ; 10] et que 0 ∈ [–1 ; 5]. Donc l’équation g(x) = 0 admet une unique solution dans [2 ; 10].

3. Les applications pratiques

a. L’utilisation des théorèmes dans des situations variées

On donne ci-dessous un exemple d’application du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

Exemple
On considère l’équation x³ = –x + 1. Démontrons que cette équation admet une solution unique dans l'intervalle [0 ; +∞[.

On pose f (x) = x³ + x – 1, puis on étudie les variations de la fonction f.
f’(x) = 3x² + 1 > 0 sur [0 ; +∞[. Donc f est strictement croissante sur [0 ; +∞[.
De plus, f (0) = –1 < 0 et = +∞. Donc 0 ∈ [f (0) ; ].
Il en résulte que l'équation f (x) = 0 admet une unique solution dans l'intervalle [0 ; +∞[. D'où x³ = –x + 1 admet également une unique solution dans l’intervalle [0 ; +∞[.

b. L’approximation des solutions

Une fois que l'existence de solution(s) à l'équation f (x) = k est établie, on peut utiliser une calculatrice pour obtenir une valeur approchée de la ou les solutions. Il peut être utile d'introduire la fonction x ↦ f (x) – k.

Sur les calculatrices, on utilise les fonctionnalités qui, selon les modèles, se nomment « solve » ou « zeros » et se trouvent soit dans les menus accompagnant le tracé de la courbe (« graph »), soit dans le menu « Math ».

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