La détermination de primitives - spé maths complémentaires - Maxicours

La détermination de primitives

Objectif

Déterminer une primitive d'une fonction continue sur un intervalle.

Points clés

Une fonction continue sur I admet une primitive unique sur I, à une constante près.

Une primitive s'obtient par l'utilisation inversée des formules de dérivation.

 Fonction  Primitive (avec k réel)
 xa, a réel  xax + k
 xx  
 xx2  
 xx3  
 , avec x 0  xln x + k
 xex  xex+ k
, avec x 0  
 , avec x > 0   
  x ↦ 2u’(x)u(x)  x ↦ (u(x))2+ k
   xln u(x) + k
 xu’(x)eu(x)  xeu(x)+ k
Pour bien comprendre
  • Maitriser toutes les formules de dérivation des fonctions usuelles.
  • Maitriser toutes les formules de dérivation des fonctions composées particulières.
Rappel
Une primitive d'une fonction f sur un intervalle I est une fonction F dérivable sur I telle que F’ = f.

Le but de cette fiche est d'apprendre à déterminer, quand cela est possible, F lorsque f est donnée.

Pour les fonctions usuelles, on va utiliser un tableau de dérivées en effectuant une lecture inverse ; pour des fonctions plus compliquées mais issues de formules de dérivation, on va donner quelques formules.

En revanche, on ne pourra déterminer les primitives de certaines fonctions, dont on sait qu'elles en admettent puisqu'elles sont continues, celles-ci faisant appel à des formules qui ne sont pas au programme de la classe de terminale ou même n'ayant pas de primitives explicites (c'est par exemple le cas de la fonction x2 e – x2).

Il apparait donc comme une évidence que, pour déterminer correctement une primitive d'une fonction donnée, il est nécessaire de maitriser parfaitement les formules de dérivation…

1. Primitives de fonctions usuelles

On va utiliser des tableaux de dérivées comme celui ci-dessous.

Fonctions Fonctions dérivées
f1 f1
f2 f2
F f

Si on lit le tableau de la gauche vers la droite, on part des fonctions usuelles f1, f2, …, on applique les formules de dérivation, on corrige éventuellement en multipliant par une constante, puis par somme (ou soustraction) on obtient F telle que F’ = f.

F est donc une primitive de f par lecture inverse de ce tableau (de la droite vers la gauche), les autres étant égales à F + k, où k est une constante réelle.

Exemples
  1. Déterminer une primitive sur d'une fonction polynôme :
    .

    On utilise un tableau de dérivation :
    Fonctions Fonctions dérivées
    x5 5x4
    x4
    x4 4x3
    2x3
    x2 2x
    x
    3x 3
  2. Déterminer une primitive sur de la fonction .
    Fonctions Fonctions dérivées

2. Primitives de fonctions non usuelles, accessibles à l'aide d'une formule issue de la dérivation

Dans toute cette partie, u est une fonction dérivable sur un intervalle I (que l'on précisera).

a. 1er cas : fonction de la forme 2uu'
Propriété
Une fonction de la forme 2uu’ a pour primitive la fonction u2 à l'ajout près d'un réel k constant.
Exemple
Déterminer sur une primitive de
Fonctions Fonctions dérivées
(x3+ 1)2 2 × 3x2(x3+ 1)
 f (x) = 5x2(x3+ 1)
b. 2e cas : fonction de la forme ln(u)
Propriété
Fonction Fonction dérivée I
ln(u)   
Exemple
Déterminer pour tout réel x une primitive de : .
Remarque
La fonction u : x e2x + 1 est strictement positive pour tout réel x puisque exp > 0 donc f est définie et continue sur .
Fonctions Fonctions dérivées
ln(e2x + 1)
F(x) = 2 ln(e2x + 1)
c. 3e cas : fonction de la forme exp(u)
Propriété
Fonction Fonction dérivée I
eu u’ × eu   
Exemple
Déterminer pour tout réel x une primitive de  f : x 7xe (x² + 1).
Fonctions Fonctions dérivées
e(x² + 1) 2x e(x² + 1)
  f (x) = 7xe(x² + 1)
3. Primitives de fonctions non usuelles, obtenues dans le cadre de l'étude d'une fonction annexe

Observons comment il est possible de déterminer une primitive dans le cadre de l’étude d’une fonction annexe à travers un exemple.

Exemple
Soit g et h deux fonctions définies sur par :
g(x) = x ln x x  et  h(x) = ln x + .
  1. Déterminer g’(x).
  2. En déduire la primitive H de la fonction h telle que H(1) = 2.
Remarque
Dans ce type d'exercice, on ne peut pas calculer H directement puisque connaitre la primitive de la fonction logarithme népérien n'est pas une exigence du programme de Terminale.
Laissons-nous guider par l'énoncé.
  1. Posons u(x) = x et v(x) = ln x, on a donc u’(x) = 1 et v’(x) = ,alors le début de g(x) se réécrit x ln x = u(x)v(x) .
    Sa dérivée est u’(x)v(x) + u(x)v’(x), soit ,soit encore ln x + 1. La dérivée de x ↦ x étant 1, on trouve g’(x= ln x + 1  1 = ln x.
  2. Grâce à la question 1, nous connaissons une primitive de la fonction logarithme népérien : puisqu'en dérivant la fonction g on a trouvé le logarithme népérien, alors g est une primitive de celui-ci.
    Ainsi :
    xln x a pour primitive g.
    x a pour primitive xln x.
    h a donc pour primitive g(x) + ln x + k, avec k réel constant.
    On a donc H(x) = x ln x x + ln x + k.
    Ainsi H(1) = 1 ln 1 1 + ln 1 + k = k  1.
    On veut avoir H(1) = 2, donc k 1 = 2, d'où k = 3.
    La primitive H de h telle que H(1) = 2 est donc définie par :
    H(x) : xx ln x x + ln  x + 3.

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