La détermination de primitives - spé maths complémentaires
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Déterminer une primitive d'une fonction continue sur un intervalle.
Une fonction continue sur I admet une primitive unique sur I, à une constante près.
Une primitive s'obtient par l'utilisation inversée des formules de dérivation.
| Fonction | Primitive (avec k réel) |
| x ↦ a, a réel | x ↦ ax + k |
| x ↦ x |
|
| x ↦ x2 |
|
| x ↦ x3 |
|
 , avec
x
≠ 0
|
x ↦ ln x + k |
| x ↦ ex | x ↦ ex+ k |
 , avec
x
≠ 0
|
|
 , avec x > 0
|
|
| x ↦ 2u’(x)u(x) | x ↦ (u(x))2+ k |
|
x ↦ ln u(x) + k |
| x ↦ u’(x)eu(x) | x ↦ eu(x)+ k |
- Maitriser toutes les formules de dérivation des fonctions usuelles.
- Maitriser toutes les formules de dérivation des fonctions composées particulières.
Une primitive d'une fonction f sur un intervalle I est une fonction F dérivable sur I telle que F’ = f.
Le but de cette fiche est d'apprendre à déterminer, quand cela est possible, F lorsque f est donnée.
Pour les fonctions usuelles, on va utiliser un tableau de dérivées en effectuant une lecture inverse ; pour des fonctions plus compliquées mais issues de formules de dérivation, on va donner quelques formules.
En revanche, on ne pourra déterminer les primitives de certaines fonctions, dont on sait qu'elles en admettent puisqu'elles sont continues, celles-ci faisant appel à des formules qui ne sont pas au programme de la classe de terminale ou même n'ayant pas de primitives explicites (c'est par exemple le cas de la fonction x2 e – x2).
Il apparait donc comme une évidence que, pour déterminer correctement une primitive d'une fonction donnée, il est nécessaire de maitriser parfaitement les formules de dérivation…
On va utiliser des tableaux de dérivées comme celui ci-dessous.
| Fonctions | Fonctions dérivées |
| f1 | f1’ |
| f2 | f2’ |
| … | … |
| F | f |
Si on lit le tableau de la gauche vers la droite, on part des fonctions usuelles f1, f2, …, on applique les formules de dérivation, on corrige éventuellement en multipliant par une constante, puis par somme (ou soustraction) on obtient F telle que F’ = f.
F est donc une primitive de f par lecture inverse de ce tableau (de la droite vers la gauche), les autres étant égales à F + k, où k est une constante réelle.
- Déterminer une primitive sur
d'une fonction
polynôme :
.
On utilise un tableau de dérivation :Fonctions Fonctions dérivées x5 5x4 
x4 x4 4x3 
2x3 x2 2x 
x 3x 3 
- Déterminer une primitive sur
de la fonction
.
Fonctions Fonctions dérivées 
Dans toute cette partie, u est une fonction dérivable sur un intervalle I (que l'on précisera).
Une fonction de la forme 2uu’ a pour primitive la fonction u2 à l'ajout près d'un réel k constant.
Déterminer sur
une primitive de
.
| Fonctions | Fonctions dérivées |
| (x3+ 1)2 | 2 × 3x2(x3+ 1) |
|
f (x) = 5x2(x3+ 1) |
| Fonction | Fonction dérivée | I |
| ln(u) |
|
|
Déterminer pour tout réel x une primitive de :
.
La fonction u : x ↦ e2x + 1 est strictement positive pour tout réel x puisque exp > 0 donc f est définie et continue sur
.
| Fonctions | Fonctions dérivées |
| ln(e2x + 1) |
|
| F(x) = 2 ln(e2x + 1) |
|
| Fonction | Fonction dérivée | I |
| eu | u’ × eu |
|
Déterminer pour tout réel x une primitive de f : x ↦ 7xe (x² + 1).
| Fonctions | Fonctions dérivées |
| e(x² + 1) | 2x e(x² + 1) |
|
f (x) = 7xe(x² + 1) |
Observons comment il est possible de déterminer une primitive dans le cadre de l’étude d’une fonction annexe à travers un exemple.
Soit g et h deux fonctions définies sur
par :g(x) = x ln x – x et h(x) = ln x +
.
- Déterminer g’(x).
- En déduire la primitive H de la fonction h telle que H(1) = 2.
Dans ce type d'exercice, on ne peut pas calculer H directement puisque connaitre la primitive de la fonction logarithme népérien n'est pas une exigence du programme de Terminale.
- Posons u(x) = x et v(x) = ln
x, on a donc
u’(x) = 1 et v’(x) =
,alors le
début de g(x) se
réécrit x ln x = u(x)v(x) .
Sa dérivée est u’(x)v(x) + u(x)v’(x), soit
,soit encore
ln x
+ 1. La
dérivée de x ↦ –x
étant –1, on trouve
g’(x) = ln x + 1 – 1 = ln x.
- Grâce à la question 1, nous
connaissons une primitive de la fonction logarithme
népérien : puisqu'en dérivant la
fonction g on a trouvé le
logarithme népérien, alors
g est une
primitive de celui-ci.
Ainsi :
x ↦ ln x a pour primitive g.
x ↦ a pour primitive
x ↦
ln x.
h a donc pour primitive g(x) + ln x + k, avec k réel constant.
On a donc H(x) = x ln x – x + ln x + k.
Ainsi H(1) = 1 ln 1 – 1 + ln 1 + k = k – 1.
On veut avoir H(1) = 2, donc k – 1 = 2, d'où k = 3.
La primitive H de h telle que H(1) = 2 est donc définie par :
H(x) : x ↦ x ln x − x + ln x + 3.
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