Schéma de Bernoulli et loi binomiale
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Reconnaitre un schéma de Bernoulli.
- Calculer des probabilités dans le cadre de la loi binomiale.
- Utiliser l’espérance d’une loi binomiale.
- Un schéma de Bernoulli d’ordre n est la répétition d’une épreuve de Bernoulli n fois où chaque issue est indépendante.
- On nomme coefficient binomial,
noté
qui se lit k parmi n, le nombre de chemins
ayant k
succès de l’arbre d’un schéma de
Bernoulli d’ordre n.
- Considérons une variable aléatoire
X qui compte le
nombre de réalisations du succès au cours des
n
épreuves. On dit que X suit une loi binomiale de
paramètre n et p.
X peut donc prendre toutes les valeurs entières de 0 à n. - Puisqu'il y a
chemins ayant chacun la
probabilité pk × qn–k
de se produire, on peut en déduire que
P(X = k) = pk × qn–k.
- On admet les résultats suivants sur
l'espérance et l'écart type d'une loi
binomiale de paramètres n et p : E(X) = np ;
V(X) = npq ;
.
On lance trois fois de suite une pièce truquée pour laquelle la probabilité d’obtenir pile est
. On gagne 5 € pour
chaque sortie de « Pile ». Tracer
l’arbre pondéré et déterminer
la loi de probabilité de cette variable
aléatoire.
Soit X la variable
aléatoire qui à chaque issue associe le
nombre de succès.
Un succès s est
représenté par chaque apparition de
l’événement
« Pile », de probabilité
p = 
. L’échec,
l’événement 
aura pour
probabilité 
.
| k | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P(X = k) |
|
|
|
|
Les résultats sont laissés sous forme de fraction de la totalité des cas (on pourrait passer en fractions irréductibles).
On dit que cette loi de probabilité est la loi du nombre de succès.
qui se lit k
parmi n, le
nombre de chemins ayant k succès de
l’arbre d’un schéma de Bernoulli
d’ordre n.
Pour le schéma de Bernoulli précédent :
• pour 0 succès on a
car un seul chemin n’a
aucun succès ;• pour 2 succès on a
car trois chemins ont 2
succès.
Les coefficients binomiaux sont donnés par toutes les calculatrices de lycée.
Considérons un schéma de Bernoulli de
paramètres n et p.
Les n
épreuves de Bernoulli peuvent se
modéliser par un arbre qui aurait
2 branches initiales (succès-échec)
puis chacune de ces branches donnant naissance à
2 nouvelles branches (succès-échec),
etc.
À chaque épreuve, le nombre de branches
est doublé.
X peut donc prendre toutes les valeurs entières de 0 à n.
Prenons k
une de ces valeurs entières.
Sur l'arbre, il existe un certain nombre de branches
(ou chemins) qui comportent k succès et
n – k échecs.
Ce nombre de chemins se note 
. Il peut se calculer
aisément avec une calculatrice.
Chacun de ces chemins comporte k succès et n – k échecs. La probabilité qu'un de ces chemins se réalise est égale à pk × qn–k (c'est le principe du produit des probabilités sur les branches).
chemins ayant chacun la
probabilité pk × qn–k
de se produire, on peut en déduire que
P(X = k) = pk × qn–k.
E(X) = np ;
V(X) = npq ;
Revenons au schéma de Bernoulli précédent où on lance un dé 3 fois de suite.
.
.On a aussi
.
Reprenons cette loi avec n = 36.
L'espérance devient égale à
. Ceci correspond à
l'idée intuitive de
« moyenne ».
On réalise un « 6 » avec
1 chance sur 6. Sur 36 lancers, en
moyenne, on en réalise 6.
Sur 72 lancers, on en
réaliserait 12.
De même, sur 100 lancers d'une
pièce de monnaie, on réalise en moyenne
50 piles.
Évalue ce cours !
Des quiz et exercices pour mieux assimiler sa leçon
La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des quiz et exercices en accompagnement de chaque fiche de cours. Les exercices permettent de vérifier si la leçon est bien comprise ou s’il reste encore des notions à revoir.
Des exercices variés pour ne pas s’ennuyer
Les exercices se déclinent sous toutes leurs formes sur myMaxicours ! Selon la matière et la classe étudiées, retrouvez des dictées, des mots à relier ou encore des phrases à compléter, mais aussi des textes à trous et bien d’autres formats !
Dans les classes de primaire, l’accent est mis sur des exercices illustrés très ludiques pour motiver les plus jeunes.
Des quiz pour une évaluation en direct
Les quiz et exercices permettent d’avoir un retour immédiat sur la bonne compréhension du cours. Une fois toutes les réponses communiquées, le résultat s’affiche à l’écran et permet à l’élève de se situer immédiatement.
myMaxicours offre des solutions efficaces de révision grâce aux fiches de cours et aux exercices associés. L’élève se rassure pour le prochain examen en testant ses connaissances au préalable.
Des vidéos et des podcasts pour apprendre différemment
Certains élèves ont une mémoire visuelle quand d’autres ont plutôt une mémoire auditive. myMaxicours s’adapte à tous les enfants et adolescents pour leur proposer un apprentissage serein et efficace.
Découvrez de nombreuses vidéos et podcasts en complément des fiches de cours et des exercices pour une année scolaire au top !
Des podcasts pour les révisions
La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des podcasts de révision pour toutes les classes à examen : troisième, première et terminale.
Les ados peuvent écouter les différents cours afin de mieux les mémoriser en préparation de leurs examens. Des fiches de cours de différentes matières sont disponibles en podcasts ainsi qu’une préparation au grand oral avec de nombreux conseils pratiques.
Des vidéos de cours pour comprendre en image
Des vidéos de cours illustrent les notions principales à retenir et complètent les fiches de cours. De quoi réviser sa prochaine évaluation ou son prochain examen en toute confiance !
Fiches de cours les plus recherchées
Mathématiques complémentaires
Coefficients binomiaux et loi de Pascal
Mathématiques complémentaires
Densité de probabilité et fonction de répartition
Mathématiques complémentaires
Point moyen et droite d'ajustement
Mathématiques complémentaires
La droite de régression : la méthode des moindres carrés
Mathématiques complémentaires
Les variables numériques - spé maths complémentaires
Mathématiques complémentaires
Les variables non numériques - Terminale
Mathématiques complémentaires
Les instructions d'entrée et de sortie - Terminale
Mathématiques complémentaires
L'instruction if - spé maths complémentaires
Mathématiques complémentaires
La boucle while - spé maths complémentaires
Mathématiques complémentaires
Les calculs - Terminale
Fermer
Accédez gratuitement à
