Schéma de Bernoulli et loi binomiale
- Reconnaitre un schéma de Bernoulli.
- Calculer des probabilités dans le cadre de la loi binomiale.
- Utiliser l’espérance d’une loi binomiale.
- Un schéma de Bernoulli d’ordre n est la répétition d’une épreuve de Bernoulli n fois où chaque issue est indépendante.
- On nomme coefficient binomial,
noté
qui se lit k parmi n, le nombre de chemins
ayant k
succès de l’arbre d’un schéma de
Bernoulli d’ordre n.
- Considérons une variable aléatoire
X qui compte le
nombre de réalisations du succès au cours des
n
épreuves. On dit que X suit une loi binomiale de
paramètre n et p.
X peut donc prendre toutes les valeurs entières de 0 à n. - Puisqu'il y a
chemins ayant chacun la
probabilité pk × qn–k
de se produire, on peut en déduire que
P(X = k) = pk × qn–k.
- On admet les résultats suivants sur
l'espérance et l'écart type d'une loi
binomiale de paramètres n et p : E(X) = np ;
V(X) = npq ;
.
On lance trois fois de suite une pièce truquée pour laquelle la probabilité d’obtenir pile est
. On gagne 5 € pour
chaque sortie de « Pile ». Tracer
l’arbre pondéré et déterminer
la loi de probabilité de cette variable
aléatoire.
Soit X la variable
aléatoire qui à chaque issue associe le
nombre de succès.
Un succès s est
représenté par chaque apparition de
l’événement
« Pile », de probabilité
p = 
. L’échec,
l’événement 
aura pour
probabilité 
.
| k | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P(X = k) |
|
|
|
|
Les résultats sont laissés sous forme de fraction de la totalité des cas (on pourrait passer en fractions irréductibles).
On dit que cette loi de probabilité est la loi du nombre de succès.
qui se lit k
parmi n, le
nombre de chemins ayant k succès de
l’arbre d’un schéma de Bernoulli
d’ordre n.
Pour le schéma de Bernoulli précédent :
• pour 0 succès on a
car un seul chemin n’a
aucun succès ;• pour 2 succès on a
car trois chemins ont 2
succès.
Les coefficients binomiaux sont donnés par toutes les calculatrices de lycée.
Considérons un schéma de Bernoulli de
paramètres n et p.
Les n
épreuves de Bernoulli peuvent se
modéliser par un arbre qui aurait
2 branches initiales (succès-échec)
puis chacune de ces branches donnant naissance à
2 nouvelles branches (succès-échec),
etc.
À chaque épreuve, le nombre de branches
est doublé.
X peut donc prendre toutes les valeurs entières de 0 à n.
Prenons k
une de ces valeurs entières.
Sur l'arbre, il existe un certain nombre de branches
(ou chemins) qui comportent k succès et
n – k échecs.
Ce nombre de chemins se note 
. Il peut se calculer
aisément avec une calculatrice.
Chacun de ces chemins comporte k succès et n – k échecs. La probabilité qu'un de ces chemins se réalise est égale à pk × qn–k (c'est le principe du produit des probabilités sur les branches).
chemins ayant chacun la
probabilité pk × qn–k
de se produire, on peut en déduire que
P(X = k) = pk × qn–k.
E(X) = np ;
V(X) = npq ;
Revenons au schéma de Bernoulli précédent où on lance un dé 3 fois de suite.
.
.On a aussi
.
Reprenons cette loi avec n = 36.
L'espérance devient égale à
. Ceci correspond à
l'idée intuitive de
« moyenne ».
On réalise un « 6 » avec
1 chance sur 6. Sur 36 lancers, en
moyenne, on en réalise 6.
Sur 72 lancers, on en
réaliserait 12.
De même, sur 100 lancers d'une
pièce de monnaie, on réalise en moyenne
50 piles.
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