Schéma de Bernoulli et loi binomiale - Maxicours

Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Objectifs
  • Reconnaitre un schéma de Bernoulli.
  • Calculer des probabilités dans le cadre de la loi binomiale.
  • Utiliser l’espérance d’une loi binomiale.
Points clés
  • Un schéma de Bernoulli d’ordre n est la répétition d’une épreuve de Bernoulli n fois où chaque issue est indépendante.
  • On nomme coefficient binomial, noté qui se lit k parmi n, le nombre de chemins ayant k succès de l’arbre d’un schéma de Bernoulli d’ordre n.
  • Considérons une variable aléatoire X qui compte le nombre de réalisations du succès au cours des n épreuves. On dit que X suit une loi binomiale de paramètre n et p.
    X peut donc prendre toutes les valeurs entières de 0 à n.
  • Puisqu'il y a  chemins ayant chacun la probabilité pk × qn–k de se produire, on peut en déduire que P(X = k) =  pk × qn–k.
  • On admet les résultats suivants sur l'espérance et l'écart type d'une loi binomiale de paramètres n et p : E(X) = np ; V(X) = npq ; .
1. Définition : schéma de Bernoulli
Un schéma de Bernoulli d’ordre n est la répétition d’une épreuve de Bernoulli n fois où chaque issue est indépendante.
Exemple
On lance trois fois de suite une pièce truquée pour laquelle la probabilité d’obtenir pile est . On gagne 5 € pour chaque sortie de « Pile ». Tracer l’arbre pondéré et déterminer la loi de probabilité de cette variable aléatoire.

Soit X la variable aléatoire qui à chaque issue associe le nombre de succès.
Un succès s est représenté par chaque apparition de l’événement « Pile », de probabilité p = . L’échec, l’événement aura pour probabilité .

k 0 1 2 3
P(X = k)

Les résultats sont laissés sous forme de fraction de la totalité des cas (on pourrait passer en fractions irréductibles).

Remarque
On dit que cette loi de probabilité est la loi du nombre de succès.
2. Notation et définition
On nomme coefficient binomial, noté qui se lit k parmi n, le nombre de chemins ayant k succès de l’arbre d’un schéma de Bernoulli d’ordre n.
Exemples
Pour le schéma de Bernoulli précédent :
• pour 0 succès on a car un seul chemin n’a aucun succès ;
• pour 2 succès on a car trois chemins ont 2 succès.
Remarque
Les coefficients binomiaux sont donnés par toutes les calculatrices de lycée.
3. Loi binomiale
a. Définition

Considérons un schéma de Bernoulli de paramètres n et p.
Les n épreuves de Bernoulli peuvent se modéliser par un arbre qui aurait 2 branches initiales (succès-échec) puis chacune de ces branches donnant naissance à 2 nouvelles branches (succès-échec), etc.
À chaque épreuve, le nombre de branches est doublé.

Considérons une variable aléatoire X qui compte le nombre de réalisations du succès au cours des n épreuves. On dit que X suit une loi binomiale de paramètre n et p.
X peut donc prendre toutes les valeurs entières de 0 à n.

Prenons k une de ces valeurs entières.
Sur l'arbre, il existe un certain nombre de branches (ou chemins) qui comportent k succès et n – k échecs. Ce nombre de chemins se note . Il peut se calculer aisément avec une calculatrice.

Chacun de ces chemins comporte k succès et n – k échecs. La probabilité qu'un de ces chemins se réalise est égale à pk × qn–k (c'est le principe du produit des probabilités sur les branches).

Pour finir, puisqu'il y a  chemins ayant chacun la probabilité pk × qn–k de se produire, on peut en déduire que P(X = k) =  pk × qn–k.
b. Espérance et écart type d'une loi binomiale
On admet les résultats suivants sur l'espérance et l'écart type d'une loi binomiale de paramètres n et p.

E(X) = np   ;   V(X) = npq   ;   

c. Exemple

Revenons au schéma de Bernoulli précédent où on lance un dé 3 fois de suite.

La variable aléatoire qui compte le nombre « 6 » obtenu sur 3 tirages suit une loi binomiale de paramètres = 3  et = .
.
On a aussi .

Reprenons cette loi avec n = 36.
L'espérance devient égale à . Ceci correspond à l'idée intuitive de « moyenne ».
On réalise un « 6 » avec 1 chance sur 6. Sur 36 lancers, en moyenne, on en réalise 6.
Sur 72 lancers, on en réaliserait 12.
De même, sur 100 lancers d'une pièce de monnaie, on réalise en moyenne 50 piles.

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