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La somme des termes d'une suite géométrique

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Objectifs
  • Connaitre la formule de la somme des n + 1 premières puissances d'un nombre et l'utiliser.
  • Calculer la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique, directement ou non.
  • Calculer la limite de cette somme.
Points clés
  • Soit n un nombre entier naturel et q un réel positif ou nul. La somme des n + 1 premières puissances de q est :
    1 + q + ... + qn =   où q ≠ 1.
  • La somme des n + 1 premiers termes u0 + … + un d’une suite géométrique de raison q est : Sn = u0 × .
  • Si 0 < q < 1, la limite de cette somme quand n tend vers +∞ est .
Pour bien comprendre
  • Connaitre la notion de suite.
  • Savoir ce qu'est une suite géométrique.
  • Calculer le terme général d'une suite.
  • Calculer les puissances d'un nombre.
1. Rappels sur les suites géométriques
On dit qu'une suite (un) est géométrique s'il existe un réel q non nul tel que, pour tout n entier naturel, on ait un+1 = qun. Le réel q s'appelle la raison de la suite.
Exemple
La suite définie par un+1 = 2un avec u0 = 1 est une suite géométrique de raison 2.
Les premiers termes de cette suite sont 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16…

Dire qu'une suite de termes non nuls est géométrique signifie que le quotient  de deux termes consécutifs quelconques est constant, quel que soit n.

Propriété
Le terme général d'une suite géométrique (un) peut s'exprimer directement en fonction de n avec un = u0qn ou un = upqn–p quel que soit p, entier naturel.

Il est ainsi possible, connaissant u0 (ou up) et q, de calculer n’importe quel terme de la suite.

Exemple
Pour une suite géométrique de raison –0,3 et de premier terme u0 = 7, on peut écrire un = u0 × (–0,3)n et ainsi connaitre directement la valeur de n'importe quel terme de la suite.
Par exemple, u4 = 7 × (–0,3)4 = 7 × 0,0081 = 0,0567.
2. Somme des puissances d'un réel q
Propriété
Soit q un réel et n un entier naturel. On a :
S = 1 + q + q2 + … + qn =  pour q ≠ 1.
Remarque
Pour q = 1, cette somme vaut simplement .
Démonstration

S = 1 + q + q2 + q3 + ... + qn
 En multipliant S par q on obtient : qS = q + q2 + q3 + … + qn+1.
Soustrayons membre à membre ces deux inégalités :
S – qS = (1 + q + q2 + q3 + ... + qn) – (q + q2 + q3 + ... + qn + qn+1)

Dans le membre de droite, q, q2, q3, …, qn s'éliminent.

Ainsi, il reste S(1 – q) = 1 – qn+1.

En divisant par 1 – q, pour q ≠ 1, on obtient .

On retiendra que n + 1 est le nombre de termes dans la somme S.

Exemple
La somme des 10 premières puissances de 2 est :
S = 1 + 2 + 22 + … + 29 =  = 210 – 1 = 1023.
3. Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique
a. Première formule

On considère la suite géométrique (un) de raison 1,2 et de premier terme u0 = –4.

Calculons la somme S = u3 + u4 + … + u15.

L'expression de un en fonction de n est un = u0 × qn = –4 × (1,2)n.

Ainsi, la somme S s'écrit S = –4 × (1,2)3 – 4 × (1,2)4 … – 4 × (1,2)15
et, en factorisant par –4 × (1,2)3 , on obtient :
S = –4 × (1,2)3 [1 + 1,2 + … + (1,2)12]

En utilisant la formule 1 + q + q2 + q3 + … + qn =  on obtient :
Sn = u0 + … + un = u0 × 

Spn = up + … + un = up × 

Remarque
On peut bien sûr retenir ces formules, mais on les retrouve rapidement en combinant le terme général d'une suite géométrique et la somme des premières puissances de la raison q.
Exemple
Soit (un) une suite géométrique de raison 2 et de premier terme u0 = .
On va écrire Sn = u0 + u1 + u2 + … + un en fonction de n.
Sn = u0 + u1 + u2 + … + un
Sn = u0 × 
Sn =  × 

Sn = 
Sn = 
Sn = 
Sn = 2n – 0,5

b. Deuxième formule

Soit (un) une suite et n et p deux entiers naturels.

Propriétés
Soit S = up + up+1 + … + un une somme de termes consécutifs d’une suite.
Le nombre de termes de cette somme est n – p + 1.
Le premier terme de cette somme est up.
Si cette suite est géométrique de raison q, alors on peut mémoriser cette somme par :
S = 1er terme × 
Exemple
Soit (un) une suite géométrique de raison 4 telle que u5 = 1. 
Alors S = u5 + u6 + … + u12.
S = 1er terme × 

Or 1er terme = u5 = 1 ; raison = 4 ;
nombre de termes de S = n – p + 1 = 12 – 5 + 1 = 8.

S = 1 ×  = 21 845

c. Troisième formule

Soit (un) une suite géométrique de raison q et de premier terme u0 .
Sn = u0 + u1 + u2 + … + un
Sn = u0 × 
Sn = 

Sn = 
Or un = u0qn
Donc Sn = 
Autrement dit, Sn =  .

Exemple
On va calculer S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128.
On reconnait une somme de termes consécutifs d’une suite géométrique de 1er terme 1 et de raison 2.
Donc S =  = 255.
4. Comportement de cette somme lorsque n tend vers +∞
Propriété
Soit (un) une suite géométrique de raison q telle 0 < q < 1 et Sn = u0 + u1 + … + un.
Sn = u0 × .
Démonstration

Soit (un) une suite géométrique de raison q telle 0 < q < 1 et Sn = u0 + u1 + … + un.
Sn = u0 × 
Or qn+1 = 0.
Donc Sn = u0 × .

Exemple
Calculons la limite quand n tend vers +∞ de S = 1 + 0,3 + 0,32 + 0,33 + … + 0,3n.
Ici, on a une somme de termes consécutifs d’une suite géométrique de raison 0,3 et de premier terme 1.
Donc S = 1 ×  =  = .

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