La somme des termes d'une suite géométrique
- Connaitre la formule de la somme des n + 1 premières puissances d'un nombre et l'utiliser.
- Calculer la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique, directement ou non.
- Calculer la limite de cette somme.
- Soit n un
nombre entier naturel et q un réel positif ou
nul. La somme des n + 1 premières
puissances de q est :
1 + q + ... + qn =
où
q ≠ 1.
- La somme des
n + 1 premiers termes
u0 + … +
un d’une suite
géométrique de raison q est :
Sn = u0 ×
.
- Si 0 < q < 1,
la limite de cette somme quand n tend vers +∞ est
.
- Connaitre la notion de suite.
- Savoir ce qu'est une suite géométrique.
- Calculer le terme général d'une suite.
- Calculer les puissances d'un nombre.
La suite définie par un+1 = 2un avec u0 = 1 est une suite géométrique de raison 2.
Les premiers termes de cette suite sont 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16…
Dire qu'une suite de termes non nuls est
géométrique signifie que le
quotient 
de deux termes consécutifs
quelconques est constant, quel que soit n.
Le terme général d'une suite géométrique (un) peut s'exprimer directement en fonction de n avec un = u0qn ou un = upqn–p quel que soit p, entier naturel.
Il est ainsi possible, connaissant u0 (ou up) et q, de calculer n’importe quel terme de la suite.
Pour une suite géométrique de raison –0,3 et de premier terme u0 = 7, on peut écrire un = u0 × (–0,3)n et ainsi connaitre directement la valeur de n'importe quel terme de la suite.
Par exemple, u4 = 7 × (–0,3)4 = 7 × 0,0081 = 0,0567.
Soit q un réel et n un entier naturel. On a :
S = 1 + q + q2 + … + qn =
pour q ≠ 1.
Pour q = 1, cette somme vaut simplement
.
S = 1 + q + q2 +
q3 + ... +
qn
En
multipliant S par q on obtient :
qS
= q +
q2 + q3 + … +
qn+1.
Soustrayons membre à membre ces deux
inégalités :
S – qS = (1 + q +
q2 + q3 + ... +
qn) – (q +
q2 + q3 + ... +
qn +
qn+1)
Dans le membre de droite, q, q2, q3, …, qn s'éliminent.
Ainsi, il reste S(1 – q) = 1 – qn+1.
En divisant par 1 – q, pour q ≠ 1, on obtient
.
On retiendra que n + 1 est le nombre de termes dans la somme S.
La somme des 10 premières puissances de 2 est :
S = 1 + 2 + 22 + … + 29 =
= 210 – 1 = 1023.
On considère la suite géométrique (un) de raison 1,2 et de premier terme u0 = –4.
Calculons la somme S = u3 + u4 + … + u15.
L'expression de un en fonction de n est un = u0 × qn = –4 × (1,2)n.
Ainsi, la somme S s'écrit
S = –4 ×
(1,2)3 – 4 × (1,2)4
… – 4 ×
(1,2)15
et, en factorisant par –4 × (1,2)3 ,
on obtient :
S = –4 × (1,2)3 [1 + 1,2 + … + (1,2)12]
En utilisant la formule 1 + q + q2 + q3 + …
+ qn = on obtient
:
Sn = u0 + … +
un =
u0 × 
Spn = up + … +
un =
up × 
On peut bien sûr retenir ces formules, mais on les retrouve rapidement en combinant le terme général d'une suite géométrique et la somme des premières puissances de la raison q.
Soit (un) une suite géométrique de raison 2 et de premier terme u0 =
.On va écrire Sn = u0 + u1 + u2 + … + un en fonction de n.
Sn = u0 + u1 + u2 + … + un
Sn = u0 ×
Sn =
× 
Sn = 
Sn = 
Sn = 
Sn =
2n – 0,5
Soit (un) une suite et n et p deux entiers naturels.
Soit S = up + up+1 + … + un une somme de termes consécutifs d’une suite.
Le nombre de termes de cette somme est n – p + 1.
Le premier terme de cette somme est up.
Si cette suite est géométrique de raison q, alors on peut mémoriser cette somme par :
Soit (un) une suite géométrique de raison 4 telle que u5 = 1.
Alors S = u5 + u6 + … + u12.
S = 1er terme ×
Or 1er
terme =
u5 = 1 ; raison = 4 ;
nombre de termes de S = n – p + 1 = 12 – 5 + 1 = 8.
S
= 1
× 
= 21 845
Soit (un) une suite
géométrique de raison q et de premier terme
u0 .
Sn =
u0 + u1 + u2 + … + un
Sn =
u0 ×
Sn = 
Sn = 
Or
un =
u0qn
Donc Sn = 
Autrement dit, Sn = 
.
On va calculer S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128.
On reconnait une somme de termes consécutifs d’une suite géométrique de 1er terme 1 et de raison 2.
Donc S =
= 255.
Soit (un) une suite géométrique de raison q telle 0 < q < 1 et Sn = u0 + u1 + … + un.
Sn = u0 × 
.
Soit (un) une suite
géométrique de raison q telle
0 < q < 1
et Sn = u0 + u1 + … + un.
Sn = u0
× 
Or 
qn+1 = 0.
Donc Sn = u0 × .
Calculons la limite quand n tend vers +∞ de S = 1 + 0,3 + 0,32 + 0,33 + … + 0,3n.
Ici, on a une somme de termes consécutifs d’une suite géométrique de raison 0,3 et de premier terme 1.
Donc
S = 1 × 
= 
= 
.
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