La notion de limite de suite
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Étudier le comportement de un lorsque n prend des valeurs de plus en plus grandes.
Lorsque n tend vers l'infini, une suite peut :
- soit converger vers un réel (fini). Dans ce cas, ses valeurs « se stabilisent autour de la valeur limite » ;
- soit tendre vers +∞ ou –∞, soit n'admettre aucune limite (même infinie), dans ce cas, on dit qu'elle diverge.
- Notion de suite, de terme général d'une suite
- Représentation graphique des termes d'une suite
- Fonctions de référence
- Manipulation d'inéquations
On considère la suite définie
par
.
Observons le comportement de un lorsque
n prend
de très grandes valeurs positives.
n | 1 | 10 | 50 | 100 | 1000 | 10 000 | 100 000 | 1 000 000 |
un | 1 | 0,32 | 0,14 | 0,1 | 0,03 | 0,0100000 | 0,0031623 | 0,0010000 |
Il semblerait que les termes de la suite s'accumulent
près de 0 lorsque n tend vers
+∞.
Comment expliquer cette accumulation ?
Donnons-nous un intervalle contenant 0, par
exemple .
Existe-t-il un rang à partir duquel tous les
un rentrent
dans cet intervalle ?
Pour cela, résolvons la double
inéquation .
Tout d'abord,
l'inégalité est toujours
vérifiée puisque
est toujours positif donc
à fortiori plus grand qu'un nombre
négatif.
Déterminons n tel
que soit
.
La fonction inverse est décroissante
sur donc cela revient à
dire que
soit
.
Conclusion : à partir de ,
.
On démontre de même que pour tout
intervalle ouvert I contenant 0, il
existe un rang tel que pour tout n supérieur
à ce rang, un soit
dans I.
Ainsi, les termes de la suite s'accumulent près
de 0.
On dira que la suite converge (tend)
vers 0 ou la suite
a pour limite 0
lorsque n tend vers
+∞.
On pourra écrire : .
- Les suites de terme
général
avec p entier supérieur ou égal à 1 tendent vers 0 lorsque n tend vers +∞.
- Les suites de terme
général
où
tendent vers 0 lorsque n tend vers +∞.
On considère la suite définie
par
.
Observons de même le comportement de
un lorsque
n prend
de très grandes valeurs positives.
Il semblerait que les termes de la suite
s’accumulent autour de 2 lorsque
n tend
vers +∞, mais
alternativement au dessus, en dessous de 2.
La suite est également une
suite convergente et elle a pour limite 2.
On pourra écrire : .
Considérons la suite définie par
.
Observons le comportement de un lorsque n prend de grandes valeurs.
![]() |
0 | 1 | 10 | 50 | 100 | 1000 | 10 000 | 100 000 |
![]() |
–1 | –0,9 | 9 | 249 | 999 | 99 999 | 9 999 999 | 999 999 999 |
Il semblerait que les termes de la
suite deviennent de plus en plus
grand et tendent vers +∞ lorsque n tend vers
+∞.
Comment expliquer cette divergence vers +∞ ?
Il s'agit de prouver que l'on ne peut arrêter la progression des termes un et qu'ils finissent par dépasser n'importe quel nombre, aussi grand soit-il.
Prenons par exemple A = 106.
Existe-t-il un rang n0 tel
que pour , on ait
?
Ainsi, à partir de u101, les
termes un sont
supérieurs à 106.
On démontre de même que ceci est vrai pour
tout nombre réel A choisi aussi grand que
l’on veut.
On dit alors que la suite tend vers +∞ lorsque
n tend
vers +∞.
On pourra écrire : .
- Les suites de terme
général
avec p entier supérieur ou égal à 1 tendent vers +∞ lorsque n tend vers +∞.
- Les suites de terme
général
avec
tendent vers +∞ lorsque n tend vers +∞.
Lorsque les termes d'une suite





Considérons par exemple la
suite définie
par
.
Les termes de la suite sont alternativement positifs
puis négatifs mais de plus en plus grands en
valeur absolue.
La suite est divergente, sans admettre de limite. On ne
peut pas « canaliser » la
direction des termes un.
C'est le cas notamment de toute suite
géométrique de raison strictement
inférieure à –1.
On ne pourra pas utiliser la notation lorsque aucune limite
n'existe pour la suite étudiée.
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