Les listes en Python : application aux suites et aux fonctions

On considère une suite définie en fonction de la variable n. Par un programme informatique, on peut obtenir les n premiers termes de cette suite de deux façons différentes : soit on passe par une liste définie en compréhension, soit on passe par une fonction.

On considère une suite numérique (u_n) définie pour tout entier naturel n par u_n = 15 × 0,9ⁿ + 3.
Pour obtenir le ou les premiers termes de la suite u_n = 15 × 0,9ⁿ + 3, on définit la liste suite, qui retourne les n premiers termes de la suite :

Pour obtenir le ou les premiers termes de la suite u_n = 15 × 0,9ⁿ + 3, on utilise deux fonctions en Python :

• la première, suite(n,f), retourne les n premiers termes d’une suite définie par u_n = f (n), où f est une fonction numérique ;
• la seconde, f(x), définit la fonction f et retourne l’image de x par f.

On définit ces deux fonctions l’une à la suite de l’autre dans la console puis on les exécute :

On considère une suite définie par récurrence, c’est-à-dire dont chaque terme est défini en fonction du terme précédent. On peut obtenir les n premiers termes par une fonction donnée en langage Python.

On considère la suite (u_n) définie par récurrence par u₀ = 2 et, pour tout entier naturel n, par u_n+1 = 3 × u_n.
On veut déterminer à l’aide d’un programme Python la valeur des n premiers termes.
On construit une fonction suite(n) qui retourne les n premiers termes de la suite (u_n) :

Après exécution du programme, on obtient :

Remarques

• On observe ci-dessus qu’il faut bien différencier la commande suite(n), avec des parenthèses, de la commande suite[n], avec des crochets. La commande suite(n) appelle une liste des n premiers termes de la suite, tandis que suite[n] appelle un seul terme, le terme de la suite qui a pour indice n.
• Il suffit de modifier les lignes 5 et 9 pour utiliser la fonction avec une autre suite.
  Par exemple, pour la suite (u_n) définie par récurrence par u₀ = 5 et pour tout entier naturel n, par u_n+1 = u_n – 2, le programme devient :

Et on obtient comme résultat :

On considère une suite définie par récurrence, c’est-à-dire dont chaque terme est défini en fonction du terme précédent. On peut déterminer un terme d’indice n par une fonction donnée en langage Python.

On reprend le problème vu précédemment.
Soit la suite (u_n) définie par récurrence par u₀ = 2 et, pour tout entier naturel n, par u_n+1 = 3 × u_n. On peut construire une fonction u(n) en langage Python qui déterminera la valeur du terme u_n.
Cette fonction sera définie par récurrence, c’est à dire que pour déterminer la valeur u(n), elle va déterminer toutes les valeurs précédentes. On définit et on exécute la fonction u(n) qui retourne uniquement le terme d’indice n de la suite (u_n) :

Pour obtenir les 5 premiers termes de cette suite, on peut alors utiliser une liste définie par compréhension :

Remarques

• La commande suite=[u(i) for i in range(5)] fait apparaitre une liste contenant les 5 premiers termes de la suite, tandis que suite[n] appelle un seul terme, le terme de la suite qui a pour indice n.
• Il suffit de modifier les lignes 5 et 7 pour définir une autre suite. Par exemple, pour la suite de Fibonacci définie par u₀ = u₁ = 1 et, pour tout entier naturel n, par u_n+2 = u_n+1 + u_n, on obtient :

On peut déterminer facilement les images d’une liste de valeurs par une fonction donnée en langage Python.
Ensuite, la fonction prédéfinie pylab permet d’obtenir la courbe de la fonction.

Soit la fonction f (x) = 2x² – 6x définie sur [0 ; 4].
On veut déterminer les valeurs de f (x) pour x ∈ {0, 1, 2, 3, 4}.
On peut entrer dans un programme une fonction en Python déterminant l’image d’un nombre par la fonction :

Ces valeurs permettent d’obtenir la courbe de la fonction avec pylab :

La courbe n’est pas lisse puisqu’elle est tracée avec uniquement 5 points. Pour y remédier, on peut définir une liste x comprenant, par exemple, toutes les valeurs de 0 à 4 distantes d’un pas de 0.1. On obtient alors :