L'équation différentielle y'=ay+b

Propriété
Les solutions de l’équation différentielle y' = ay, , sont les fonctions de la forme , où C est une constante réelle quelconque.

Soit la fonction f définie sur par , où C est un réel. Alors , donc f est bien solution de l’équation différentielle y' = ay.

Réciproquement, soit f une fonction définie et dérivable sur , solution de l’équation différentielle y' = ay. On définit la fonction g sur par .
La fonction g étant le produit de deux fonctions dérivables sur , elle est elle-même dérivable sur et on a :

Or, f étant solution de l’équation différentielle y' = ay, f'(x) = a f(x).
Ainsi .
La fonction g étant de dérivée nulle, c’est une fonction constante.
Ainsi , avec , d’où .

Exemple
Les solutions de l’équation différentielle y' = 2y ont pour forme générale , .
On représente ci-dessous quelques exemples de solutions pour différentes valeurs de C.

La solution vérifiant par exemple f(1) = 3 est telle que Ce² = 3 soit C = 3e^–2 et donc .

Propriété
Si f et g sont deux solutions de l’équation différentielle  y' = ay, , alors f + g et kf, , sont également solutions de l’équation différentielle.

Soit f et g deux solutions de l’équation différentielle y' = ay. On a alors f' = af et g' = ag.

Ainsi (f + g)' = f' + g' = af + ag = a(f + g) et (kf)' = kf' = kaf = a(kf).

L’équation y' = ay + b avec a et b réels et , est appelée équation linéaire du premier ordre à coefficients constants.