L'équation différentielle y'=ay+b - Maxicours

L'équation différentielle y'=ay+b

Objectif

Résoudre des équations différentielles du type y' ay + b avec a et b réels.

Points clés
  • Les solutions de l’équation différentielle y' ay, , sont les fonctions de la forme , où C est une constante réelle quelconque.
  • La fonction est la solution particulière constante de l’équation différentielle y' ay + b avec a et b sont deux réels avec .
  • Les solutions de l’équation différentielle  y' ay + b, où a et b sont deux réels et , sont donc de la forme avec .
Pour bien comprendre
  • Déterminer la primitive d’une fonction.
  • Connaitre la fonction exponentielle.

Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction.

Nous allons apprendre à résoudre les équations différentielles du type y' ay + b.

1. Résolution de l'équation différentielle y'=ay où a est un réel
Propriété
Les solutions de l’équation différentielle y' ay, , sont les fonctions de la forme , où C est une constante réelle quelconque.
Démonstration

Soit la fonction f définie sur par , où C est un réel. Alors , donc f est bien solution de l’équation différentielle y' ay.

Réciproquement, soit f une fonction définie et dérivable sur , solution de l’équation différentielle y' ay. On définit la fonction g sur par .
La fonction g étant le produit de deux fonctions dérivables sur , elle est elle-même dérivable sur et on a :

Or, f étant solution de l’équation différentielle y' ay, f'(x) = a f(x).
Ainsi .
La fonction g étant de dérivée nulle, c’est une fonction constante.
Ainsi , avec , d’où .

Exemple
Les solutions de l’équation différentielle y' = 2y ont pour forme générale , .
On représente ci-dessous quelques exemples de solutions pour différentes valeurs de C.
La solution vérifiant par exemple f(1) = 3 est telle que Ce2 = 3 soit = 3e2 et donc .
Propriété
Si f et g sont deux solutions de l’équation différentielle  y' ay, , alors f + g et kf, , sont également solutions de l’équation différentielle.
Démonstration

Soit f et g deux solutions de l’équation différentielle y' ay. On a alors f' = af et g' ag.

Ainsi (f + g)' = f' g' = af ag a(f + g) et (kf)' = kf' = kaf = a(kf).

2. Résolution de l'équation différentielle y'=ay+b, avec a et b réels

L’équation y' ay + b avec a et b réels et , est appelée équation linéaire du premier ordre à coefficients constants.

a. Solution particulière constante
Propriété
La fonction est la solution particulière constante de l’équation différentielle y' ay + b a et b sont deux réels et . Cette solution est appelée solution particulière constante.
Démonstration

Soit la fonction g définie sur par avec a et b deux réels et , alors g'(x) = 0. 

Ainsi, .
On a bien ag(x) + g'(x).
La fonction g est solution de l’équation différentielle  y' ay + b.

b. Ensemble des solutions
Propriété
Les solutions de l’équation différentielle y' ay + b, où a et b sont deux réels et , sont les fonctions de la forme u(x) est la solution particulière constante de l’équation y' ay + b et v(x) est une solution quelconque de l’équation y' ay
Les solutions de l’équation différentielle  y' ay + b sont donc de la forme avec .
Exemple
Les solutions de l’équation différentielle y' = 3y + 4 ont pour forme générale , . L’unique solution vérifiant la condition f(0) = 1 est telle que , soit , donc .

Vous avez déjà mis une note à ce cours.

Découvrez les autres cours offerts par Maxicours !

Découvrez Maxicours

Comment as-tu trouvé ce cours ?

Évalue ce cours !

 

quote blanc icon

Découvrez Maxicours

Exerce toi en t’abonnant

Fiches de cours les plus recherchées

Des profs en ligne

  • 6 j/7 de 17 h à 20 h
  • Par chat, audio, vidéo
  • Sur les matières principales

Des ressources riches

  • Fiches, vidéos de cours
  • Exercices & corrigés
  • Modules de révisions Bac et Brevet

Des outils ludiques

  • Coach virtuel
  • Quiz interactifs
  • Planning de révision

Des tableaux de bord

  • Suivi de la progression
  • Score d’assiduité
  • Un compte Parent

Inscrivez-vous à notre newsletter !

Votre adresse e-mail sera exclusivement utilisée pour vous envoyer notre newsletter. Vous pourrez vous désinscrire à tout moment, à travers le lien de désinscription présent dans chaque newsletter. Conformément à la Loi Informatique et Libertés n°78-17 du 6 janvier 1978 modifiée, au RGPD n°2016/679 et à la Loi pour une République numérique du 7 octobre 2016, vous disposez du droit d’accès, de rectification, de limitation, d’opposition, de suppression, du droit à la portabilité de vos données, de transmettre des directives sur leur sort en cas de décès. Vous pouvez exercer ces droits en adressant un mail à : contact-donnees@sejer.fr. Vous avez la possibilité de former une réclamation auprès de l’autorité compétente. En savoir plus sur notre politique de confidentialité