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L'équation différentielle y'=ay+b

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Objectif

Résoudre des équations différentielles du type y' ay + b avec a et b réels.

Points clés
  • Les solutions de l’équation différentielle y' ay, , sont les fonctions de la forme , où C est une constante réelle quelconque.
  • La fonction est la solution particulière constante de l’équation différentielle y' ay + b avec a et b sont deux réels avec .
  • Les solutions de l’équation différentielle  y' ay + b, où a et b sont deux réels et , sont donc de la forme avec .
Pour bien comprendre
  • Déterminer la primitive d’une fonction.
  • Connaitre la fonction exponentielle.

Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction.

Nous allons apprendre à résoudre les équations différentielles du type y' ay + b.

1. Résolution de l'équation différentielle y'=ay où a est un réel
Propriété
Les solutions de l’équation différentielle y' ay, , sont les fonctions de la forme , où C est une constante réelle quelconque.
Démonstration

Soit la fonction f définie sur par , où C est un réel. Alors , donc f est bien solution de l’équation différentielle y' ay.

Réciproquement, soit f une fonction définie et dérivable sur , solution de l’équation différentielle y' ay. On définit la fonction g sur par .
La fonction g étant le produit de deux fonctions dérivables sur , elle est elle-même dérivable sur et on a :

Or, f étant solution de l’équation différentielle y' ay, f'(x) = a f(x).
Ainsi .
La fonction g étant de dérivée nulle, c’est une fonction constante.
Ainsi , avec , d’où .

Exemple
Les solutions de l’équation différentielle y' = 2y ont pour forme générale , .
On représente ci-dessous quelques exemples de solutions pour différentes valeurs de C.
La solution vérifiant par exemple f(1) = 3 est telle que Ce2 = 3 soit = 3e2 et donc .
Propriété
Si f et g sont deux solutions de l’équation différentielle  y' ay, , alors f + g et kf, , sont également solutions de l’équation différentielle.
Démonstration

Soit f et g deux solutions de l’équation différentielle y' ay. On a alors f' = af et g' ag.

Ainsi (f + g)' = f' g' = af ag a(f + g) et (kf)' = kf' = kaf = a(kf).

2. Résolution de l'équation différentielle y'=ay+b, avec a et b réels

L’équation y' ay + b avec a et b réels et , est appelée équation linéaire du premier ordre à coefficients constants.

a. Solution particulière constante
Propriété
La fonction est la solution particulière constante de l’équation différentielle y' ay + b a et b sont deux réels et . Cette solution est appelée solution particulière constante.
Démonstration

Soit la fonction g définie sur par avec a et b deux réels et , alors g'(x) = 0. 

Ainsi, .
On a bien ag(x) + g'(x).
La fonction g est solution de l’équation différentielle  y' ay + b.

b. Ensemble des solutions
Propriété
Les solutions de l’équation différentielle y' ay + b, où a et b sont deux réels et , sont les fonctions de la forme u(x) est la solution particulière constante de l’équation y' ay + b et v(x) est une solution quelconque de l’équation y' ay
Les solutions de l’équation différentielle  y' ay + b sont donc de la forme avec .
Exemple
Les solutions de l’équation différentielle y' = 3y + 4 ont pour forme générale , . L’unique solution vérifiant la condition f(0) = 1 est telle que , soit , donc .

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Question 1/5

La médiane de 6 notes est 13. Cela signifie que :

Question 2/5

On a obtenu la série statistique suivante :

Combien vaut la médiane ?

Question 3/5

On a obtenu la série ci-dessous :

Quelle est la médiane de cette série ?

Question 4/5

On a relevé les tailles en cm des élèves d’une classe :

 

Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?

Question 5/5

Les notes en français de deux classes littéraires sont données dans le tableau suivant :

Quelle est la note médiane ?

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