L'équation différentielle y'=ay+b
- Fiche de cours
- Quiz
- Profs en ligne
- Videos
- Application mobile
Résoudre des équations différentielles du type y' = ay + b avec a et b réels.
- Les solutions de l’équation différentielle y' = ay, , sont les fonctions de la forme , où C est une constante réelle quelconque.
- La fonction est la solution particulière constante de l’équation différentielle y' = ay + b avec a et b sont deux réels avec .
- Les solutions de l’équation différentielle y' = ay + b, où a et b sont deux réels et , sont donc de la forme avec .
- Déterminer la primitive d’une fonction.
- Connaitre la fonction exponentielle.
Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction.
Nous allons apprendre à résoudre les équations différentielles du type y' = ay + b.
Les solutions de l’équation différentielle y' = ay, , sont les fonctions de la forme , où C est une constante réelle quelconque.
Soit la fonction f définie sur par , où C est un réel. Alors , donc f est bien solution de l’équation différentielle y' = ay.
Réciproquement, soit f une fonction
définie et dérivable sur , solution de
l’équation différentielle
y' = ay. On
définit la fonction g sur par .
La fonction g
étant le produit de deux fonctions
dérivables sur , elle est elle-même
dérivable sur et on a :
Or, f
étant solution de l’équation
différentielle y' = ay, f'(x) = a f(x).
Ainsi .
La fonction g étant de
dérivée nulle, c’est une fonction
constante.
Ainsi , avec , d’où .
Les solutions de l’équation différentielle y' = 2y ont pour forme générale , .
On représente ci-dessous quelques exemples de solutions pour différentes valeurs de C.
Si f et g sont deux solutions de l’équation différentielle y' = ay, , alors f + g et kf, , sont également solutions de l’équation différentielle.
Soit f et g deux solutions de l’équation différentielle y' = ay. On a alors f' = af et g' = ag.
Ainsi (f + g)' = f' + g' = af + ag = a(f + g) et (kf)' = kf' = kaf = a(kf).
L’équation y' = ay + b avec a et b réels et , est appelée équation linéaire du premier ordre à coefficients constants.
La fonction est la solution particulière constante de l’équation différentielle y' = ay + b où a et b sont deux réels et . Cette solution est appelée solution particulière constante.
Soit la fonction g définie sur par avec a et b deux réels et , alors g'(x) = 0.
Ainsi, .
On a bien ag(x) + b = g'(x).
La fonction g est solution de
l’équation différentielle
y' = ay + b.
Les solutions de l’équation différentielle y' = ay + b, où a et b sont deux réels et , sont les fonctions de la forme où u(x) est la solution particulière constante de l’équation y' = ay + b et v(x) est une solution quelconque de l’équation y' = ay.
Les solutions de l’équation différentielle y' = ay + b sont donc de la forme avec .
Les solutions de l’équation différentielle y' = 3y + 4 ont pour forme générale , . L’unique solution vérifiant la condition f(0) = 1 est telle que , soit , donc .
Vous avez obtenu75%de bonnes réponses !