La limite finie ou infinie d'une fonction en l'infini
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- Poursuivre le travail réalisé sur les suites.
- S’approprier le concept de limite.
- Acquérir les techniques de base.
- Soit f une
fonction et soit L un réel. On dit que
f admet pour
limite L lorsque
x tend vers
si les valeurs de f(x) deviennent aussi proches de L que l’on veut lorsque x est suffisamment grand. On note
.
- On dit que f
admet pour limite L lorsque x tend vers
si les valeurs de f(x) deviennent aussi proches de L que l’on veut lorsque x est négatif et suffisamment petit. On note
.
- On dit que f
admet pour limite
lorsque x tend vers
si les valeurs de f(x) deviennent de plus en plus grandes lorsque les valeurs de x deviennent de plus en plus grandes. On note
.
- On dit que f
admet pour limite
lorsque x tend vers
si les valeurs de f(x) deviennent négatives et de plus en plus petites lorsque les valeurs de x deviennent de plus en plus grandes. On note
.
- On dit que f
admet pour limite
lorsque x tend vers
si les valeurs de f(x) deviennent de plus en plus grandes lorsque les valeurs de x deviennent négatives et de plus en plus petites. On note
.
- On dit que f
admet pour limite
lorsque x tend vers
si les valeurs de f(x) deviennent négatives et de plus en plus petites lorsque les valeurs de x deviennent négatives et de plus en plus petites. On note
.
- Connaitre l’allure des courbes représentatives des fonctions de référence.
- Connaitre la limite infinie d’une fonction en un point.
On dit que f admet pour limite L lorsque x tend vers

On note

Soit f la fonction définie sur


x | 10 | 100 | 1000 | 10 000 | 100 000 |
f(x) | 0,01 | 0,0001 | 0,000 001 | 0,000 000 01 | 10–10 |
Donc, lorsque les valeurs de x deviennent de plus en
plus grandes, les valeurs de f(x) se rapprochent de plus
en plus de 0.
Ainsi .
Interprétation graphique : soit M un point d’abscisse
x de la
courbe représentant f, M(x ; f(x)).
Lorsque le point M se déplace vers la
droite, c’est-à-dire lorsque son
abscisse x devient de plus en plus
grande, alors son ordonnée f(x) devient de plus en
plus proche de 0.
On dit que f admet pour limite L lorsque x tend vers

On note

Soit f la fonction définie sur


x | –10 | –100 | –1000 | –10 000 | –100 000 |
f(x) | 0,01 | 0,0001 | 0,000 001 | 0,000 000 01 | 10–10 |
Donc, lorsque les valeurs de x deviennent
négatives et de plus en plus petites, les
valeurs de f(x) se rapprochent de plus
en plus de 0.
Ainsi .
Interprétation graphique : soit M un point
d’abscisse x de la courbe
représentant f, M(x ; f(x)).
Lorsque le point M se déplace vers la
gauche, c’est-à-dire lorsque son
abscisse x devient négative
et de plus en plus petite, alors son
ordonnée f(x) devient de plus en
plus proche de 0.
On dit que f admet pour limite


On note

Soit f la fonction définie sur


x | 10 | 100 | 1000 | 10 000 | 100 000 |
f(x) | 5,05 | 50,005 | 500,0005 | 5000 | 50 000 |
Donc, lorsque les valeurs de x deviennent de plus en
plus grandes, les valeurs de f(x) deviennent de plus en
plus grandes.
Ainsi .
Interprétation graphique : soit M un point
d’abscisse x de la courbe
représentant f, M(x ; f(x)).
Lorsque le point M se déplace vers la
droite, c’est-à-dire lorsque son
abscisse x devient de plus en plus
grande, alors son ordonnée f(x) devient de plus en
plus grande.
On dit que f admet pour limite


On note

Soit f la fonction définie sur


x | 10 | 100 | 1000 | 10 000 | 100 000 |
f(x) | –4,95 | –49,995 | –499,9995 | –5000 | –50 000 |
Donc, lorsque les valeurs de x deviennent de plus en
plus grandes, les valeurs de f(x) deviennent
négatives et de plus en plus petites.
Ainsi .
Interprétation graphique : soit M un point
d’abscisse x de la courbe
représentant f, M(x ; f(x)).
Lorsque le point M se déplace vers la
droite, c’est-à-dire lorsque son
abscisse x
devient de plus en plus grande, alors son
ordonnée f(x) devient de plus en
plus petite.
On a, par analogie, les définitions suivantes.
On dit que f admet pour limite
lorsque
x tend
vers
si les valeurs
de f(x) deviennent de plus en
plus grandes lorsque les valeurs de x deviennent
négatives et de plus en plus petites.
On note .
On dit que f admet pour limite
lorsque
x tend
vers
si les valeurs
de f(x) deviennent
négatives et de plus en plus petites lorsque
les valeurs de x deviennent
négatives et de plus en plus petites.
On note .
Soit f la fonction inverse définie sur


Alors


Soit f la fonction carré définie sur


Alors


Soit f la fonction cube définie sur


Alors


Soit f la fonction racine carrée définie sur


Alors

Soit f la fonction exponentielle définie sur


Alors


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