La limite finie ou infinie d'une fonction en l'infini - Maxicours

La limite finie ou infinie d'une fonction en l'infini

Objectifs
  • Poursuivre le travail réalisé sur les suites.
  • S’approprier le concept de limite.
  • Acquérir les techniques de base.
Points clés
  • Soit f une fonction et soit L un réel. On dit que f admet pour limite L lorsque x tend vers si les valeurs de f(x) deviennent aussi proches de L que l’on veut lorsque x est suffisamment grand. On note .
  • On dit que f admet pour limite L lorsque x tend vers si les valeurs de f(x) deviennent aussi proches de L que l’on veut lorsque x est négatif et suffisamment petit. On note .
  • On dit que f admet pour limite lorsque x tend vers si les valeurs de f(x) deviennent de plus en plus grandes lorsque les valeurs de x deviennent de plus en plus grandes. On note .
  • On dit que f admet pour limite lorsque x tend vers si les valeurs de f(x) deviennent négatives et de plus en plus petites lorsque les valeurs de x deviennent de plus en plus grandes. On note .
  • On dit que f admet pour limite lorsque x tend vers si les valeurs de f(x) deviennent de plus en plus grandes lorsque les valeurs de x deviennent négatives et de plus en plus petites. On note .
  • On dit que f admet pour limite lorsque x tend vers si les valeurs de f(x) deviennent négatives et de plus en plus petites lorsque les valeurs de x deviennent négatives et de plus en plus petites. On note .
Pour bien comprendre
  • Connaitre l’allure des courbes représentatives des fonctions de référence.
  • Connaitre la limite infinie d’une fonction en un point.
1. Limite finie d'une fonction aux infinis
a. Limite en +infini
Soit f une fonction et soit L un réel.
On dit que f admet pour limite L lorsque x tend vers si les valeurs de f(x) deviennent aussi proches de L que l’on veut lorsque x est suffisamment grand.
On note .
Exemple
Soit f la fonction définie sur par
x 10 100 1000 10 000 100 000
f(x) 0,01 0,0001 0,000 001 0,000 000 01 1010

Donc, lorsque les valeurs de x deviennent de plus en plus grandes, les valeurs de f(x) se rapprochent de plus en plus de 0.
Ainsi .
Interprétation graphique : soit M un point d’abscisse x de la courbe représentant f, M(x ; f(x)).
Lorsque le point M se déplace vers la droite, c’est-à-dire lorsque son abscisse x devient de plus en plus grande, alors son ordonnée f(x) devient de plus en plus proche de 0.

b. Limite en –infini
Soit f une fonction et soit L un réel.
On dit que f admet pour limite L lorsque x tend vers si les valeurs de f(x) deviennent aussi proches de L que l’on veut lorsque x est négatif et suffisamment petit.
On note .
Exemple
Soit f la fonction définie sur par .  
x 10 100 1000 10 000 100 000
f(x) 0,01 0,0001  0,000 001  0,000 000 01 1010

Donc, lorsque les valeurs de x deviennent négatives et de plus en plus petites, les valeurs de f(x) se rapprochent de plus en plus de 0.
Ainsi .
Interprétation graphique : soit M un point d’abscisse x de la courbe représentant f, M(x ; f(x)).
Lorsque le point M se déplace vers la gauche, c’est-à-dire lorsque son abscisse x devient négative et de plus en plus petite, alors son ordonnée f(x) devient de plus en plus proche de 0.

2. Limite infinie d'une fonction aux infinis
a. En +infini
Soit f une fonction.
On dit que f admet pour limite lorsque x tend vers si les valeurs de f(x) deviennent de plus en plus grandes lorsque les valeurs de x deviennent de plus en plus grandes.
On note .
Exemple
Soit f la fonction définie sur par .
x 10 100 1000 10 000 100 000
f(x) 5,05 50,005 500,0005 5000 50 000

Donc, lorsque les valeurs de x deviennent de plus en plus grandes, les valeurs de f(x) deviennent de plus en plus grandes.
Ainsi .
Interprétation graphique : soit M un point d’abscisse x de la courbe représentant f, M(x ; f(x)).
Lorsque le point M se déplace vers la droite, c’est-à-dire lorsque son abscisse x devient de plus en plus grande, alors son ordonnée f(x) devient de plus en plus grande.

Soit f une fonction.
On dit que f admet pour limite lorsque x tend vers si les valeurs de f(x) deviennent négatives et de plus en plus petites lorsque les valeurs de x deviennent de plus en plus grandes.
On note .
Exemple
Soit f la fonction définie sur par .
x 10 100 1000 10 000 100 000
f(x) –4,95 –49,995 –499,9995 –5000 –50 000

Donc, lorsque les valeurs de x deviennent de plus en plus grandes, les valeurs de f(x) deviennent négatives et de plus en plus petites.
Ainsi .
Interprétation graphique : soit M un point d’abscisse x de la courbe représentant f, M(x ; f(x)).
Lorsque le point M se déplace vers la droite, c’est-à-dire lorsque son abscisse x devient de plus en plus grande, alors son ordonnée f(x) devient de plus en plus petite.

b. En –infini

On a, par analogie, les définitions suivantes.

Soit f une fonction.

On dit que f admet pour limite lorsque x tend vers si les valeurs de f(x) deviennent de plus en plus grandes lorsque les valeurs de x deviennent négatives et de plus en plus petites.
On note .

On dit que f admet pour limite lorsque x tend vers si les valeurs de f(x) deviennent négatives et de plus en plus petites lorsque les valeurs de x deviennent négatives et de plus en plus petites.
On note .

3. Limite en l'infini des fonctions de référence
a. Fonction inverse
Propriétés
Soit f la fonction inverse définie sur par .
Alors et .

b. Fonction carré
Propriétés
Soit f la fonction carré définie sur par .
Alors et .

c. Fonction cube
Propriétés
Soit f la fonction cube définie sur par .
Alors et .

d. Fonction racine carrée
Propriétés
Soit f la fonction racine carrée définie sur par .
Alors .

e. Fonction exponentielle
Propriétés
Soit f la fonction exponentielle définie sur par .
Alors et .

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