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La limite finie ou infinie d'une fonction en l'infini

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Objectifs

Poursuivre le travail réalisé sur les suites.
S’approprier le concept de limite.
Acquérir les techniques de base.

Points clés

Soit f une fonction et soit L un réel. On dit que f admet pour limite L lorsque x tend vers si les valeurs de f(x) deviennent aussi proches de L que l’on veut lorsque x est suffisamment grand. On note .
On dit que f admet pour limite L lorsque x tend vers si les valeurs de f(x) deviennent aussi proches de L que l’on veut lorsque x est négatif et suffisamment petit. On note .
On dit que f admet pour limite lorsque x tend vers si les valeurs de f(x) deviennent de plus en plus grandes lorsque les valeurs de x deviennent de plus en plus grandes. On note .
On dit que f admet pour limite lorsque x tend vers si les valeurs de f(x) deviennent négatives et de plus en plus petites lorsque les valeurs de x deviennent de plus en plus grandes. On note .
On dit que f admet pour limite lorsque x tend vers si les valeurs de f(x) deviennent de plus en plus grandes lorsque les valeurs de x deviennent négatives et de plus en plus petites. On note .
On dit que f admet pour limite lorsque x tend vers si les valeurs de f(x) deviennent négatives et de plus en plus petites lorsque les valeurs de x deviennent négatives et de plus en plus petites. On note .

Pour bien comprendre

Connaitre l’allure des courbes représentatives des fonctions de référence.
Connaitre la limite infinie d’une fonction en un point.

1. Limite finie d'une fonction aux infinis

a. Limite en +infini

Soit f une fonction et soit L un réel.
On dit que f admet pour limite L lorsque x tend vers si les valeurs de f(x) deviennent aussi proches de L que l’on veut lorsque x est suffisamment grand.
On note

Exemple
Soit f la fonction définie sur

par

x	10	100	1000	10 000	100 000
f(x)	0,01	0,0001	0,000 001	0,000 000 01	10^–10

Donc, lorsque les valeurs de x deviennent de plus en plus grandes, les valeurs de f(x) se rapprochent de plus en plus de 0.
Ainsi .
Interprétation graphique : soit M un point d’abscisse x de la courbe représentant f, M(x ; f(x)).
Lorsque le point M se déplace vers la droite, c’est-à-dire lorsque son abscisse x devient de plus en plus grande, alors son ordonnée f(x) devient de plus en plus proche de 0.

b. Limite en –infini

Soit f une fonction et soit L un réel.
On dit que f admet pour limite L lorsque x tend vers

si les valeurs de f(x) deviennent aussi proches de L que l’on veut lorsque x est négatif et suffisamment petit.
On note

Exemple
Soit f la fonction définie sur

par

x	–10	–100	–1000	–10 000	–100 000
f(x)	0,01	0,0001	0,000 001	0,000 000 01	10^–10

Donc, lorsque les valeurs de x deviennent négatives et de plus en plus petites, les valeurs de f(x) se rapprochent de plus en plus de 0.
Ainsi .
Interprétation graphique : soit M un point d’abscisse x de la courbe représentant f, M(x ; f(x)).
Lorsque le point M se déplace vers la gauche, c’est-à-dire lorsque son abscisse x devient négative et de plus en plus petite, alors son ordonnée f(x) devient de plus en plus proche de 0.

2. Limite infinie d'une fonction aux infinis

a. En +infini

Soit f une fonction.
On dit que f admet pour limite lorsque x tend vers si les valeurs de f(x) deviennent de plus en plus grandes lorsque les valeurs de x deviennent de plus en plus grandes.
On note

Exemple
Soit f la fonction définie sur

par

x	10	100	1000	10 000	100 000
f(x)	5,05	50,005	500,0005	5000	50 000

Donc, lorsque les valeurs de x deviennent de plus en plus grandes, les valeurs de f(x) deviennent de plus en plus grandes.
Ainsi .
Interprétation graphique : soit M un point d’abscisse x de la courbe représentant f, M(x ; f(x)).
Lorsque le point M se déplace vers la droite, c’est-à-dire lorsque son abscisse x devient de plus en plus grande, alors son ordonnée f(x) devient de plus en plus grande.

Soit f une fonction.
On dit que f admet pour limite lorsque x tend vers si les valeurs de f(x) deviennent négatives et de plus en plus petites lorsque les valeurs de x deviennent de plus en plus grandes.
On note

Exemple
Soit f la fonction définie sur

par

x	10	100	1000	10 000	100 000
f(x)	–4,95	–49,995	–499,9995	–5000	–50 000

Donc, lorsque les valeurs de x deviennent de plus en plus grandes, les valeurs de f(x) deviennent négatives et de plus en plus petites.
Ainsi .
Interprétation graphique : soit M un point d’abscisse x de la courbe représentant f, M(x ; f(x)).
Lorsque le point M se déplace vers la droite, c’est-à-dire lorsque son abscisse x devient de plus en plus grande, alors son ordonnée f(x) devient de plus en plus petite.

b. En –infini

On a, par analogie, les définitions suivantes.

Soit f une fonction.

On dit que f admet pour limite lorsque x tend vers si les valeurs de f(x) deviennent de plus en plus grandes lorsque les valeurs de x deviennent négatives et de plus en plus petites.
On note .

On dit que f admet pour limite lorsque x tend vers si les valeurs de f(x) deviennent négatives et de plus en plus petites lorsque les valeurs de x deviennent négatives et de plus en plus petites.
On note .