Fonctions continues et non continues sur un intervalle

• La fonction f représentée ci-dessous est continue en x₀. La fonction g est discontinue en x₀. Autrement dit, on voit graphiquement qu'une fonction est continue en un point x₀ si la courbe passe par le point M₀(x₀ ; ƒ(x₀)) sans coupure. Sinon, la fonction est discontinue en ce point.

• Soit la fonction f définie sur par f(x) = x²+ 3x + 4 si x > 1 ; f(x) = 5 + 3x si x ≤ 1.
 et f(1) = 5 + 3 × 1 = 8.
On a bien 
On en déduit que f est continue en 1.

• Soit la fonction f définie par f(x) = si x ≠ 0, et f(0) = 1.
.
Donc la fonction f est continue en 0.

• La fonction partie entière, notée E, est la fonction définie sur par E(x) = k avec k entier relatif tel que k ≤ x < k + 1.
Autrement dit, E(x) est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x.
Par exemple, E(π) = 3 ; E(–π) = –4 ; E() = 1 ; E(5) = 5 et E(–8) = –8. Voici la représentation graphique de cette fonction :

La fonction partie entière E est discontinue en tout point entier relatif.