Fonctions continues et non continues sur un intervalle - Maxicours

Fonctions continues et non continues sur un intervalle

Objectifs
  • Introduire la notion de continuité.
  • Donner une liste usuelle de fonctions continues.
  • Montrer quelques contre-exemples.
Points clés
  • Dire qu’une fonction est continue en x0 signifie que .
  • Dire qu'une fonction est continue sur un intervalle I signifie que la fonction est continue en tout réel de I.
  • Les fonctions construites par opération (somme, différence, produit et quotient) ou par composition sont continues sur les intervalles inclus dans leur ensemble de définition.
  • Toute fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur cet intervalle.

Dans la suite de ce cours, les fonctions utilisées sont définies sur un intervalle I et x0 est un point de I.

1. Continuité et discontinuité d'une fonction en un point
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et x0 ∈ I.
Dire que f est continue en x0 signifie que .
Dire que f est discontinue en x0 signifie que f n'est pas continue en x0
Exemples

• La fonction f représentée ci-dessous est continue en x0. La fonction g est discontinue en x0. Autrement dit, on voit graphiquement qu'une fonction est continue en un point x0 si la courbe passe par le point M0(x0 ; ƒ(x0)) sans coupure. Sinon, la fonction est discontinue en ce point.

• Soit la fonction f définie sur par f(xx23x + 4 si x > 1 ; f(x) = 5 + 3x si x 1.
 et f(1) = 5 + 3 ×= 8.
On a bien 
On en déduit que f est continue en 1.

• Soit la fonction f définie par f(x= si x  0, et f(0) = 1.
.
Donc la fonction f est continue en 0.

• La fonction partie entière, notée E, est la fonction définie sur par E(x= k avec k entier relatif tel que k ≤ x < k + 1.
Autrement dit, E(x) est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x.
Par exemple, E(π= 3 ; E(–π= –4 ; E(= 1 ; E(5) = 5 et E(8) = –8. Voici la représentation graphique de cette fonction :

La fonction partie entière E est discontinue en tout point entier relatif.

2. Fonctions continues
a. Définition
Dire que la fonction ƒ est continue sur I signifie que ƒ est continue en tout réel de I.
Exemple
La fonction ƒ définie sur par est continue sur .
b. Continuité des fonctions usuelles
Propriétés admises
• Les fonctions polynômes sont continues sur .
• La fonction inverse est continue sur l'intervalle et sur l'intervalle .
• La fonction racine carrée est continue sur .
• La fonction valeur absolue est continue sur .
• La fonction exponentielle est continue sur .
• La fonction ln est continue sur l'intervalle .
• Les fonctions trigonométriques cosinus et sinus sont continues sur .
Remarque
Il est important de repérer les fonctions usuelles pour prouver la continuité d'une fonction.
c. Opérations sur les fonctions continues
Propriété
Les fonctions construites par opération (somme, différence, produit et quotient) ou par composition sont continues sur les intervalles inclus dans leur ensemble de définition.
Exemples

• La fonction f définie sur par est le produit des fonctions et qui sont toutes deux continues sur , donc f est continue sur .

• La fonction g définie sur par est continue sur les intervalles et comme quotient de deux fonctions polynômes.

• La fonction h définie sur par est la composée de la fonction racine carrée et d’une fonction affine. La fonction h est continue sur l’intervalle .

d. Dérivabilité et continuité
Propriété (admise)
Toute fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur cet intervalle.
Remarque importante
La réciproque de cette propriété est fausse. Par exemple, la fonction racine carrée est continue sur l’intervalle mais elle n’est pas dérivable en 0 : la fonction racine carrée est dérivable sur l’intervalle .

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