Fonctions continues et non continues sur un intervalle
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Introduire la notion de continuité.
- Donner une liste usuelle de fonctions continues.
- Montrer quelques contre-exemples.
- Dire qu’une fonction est continue
en x0 signifie que
.
- Dire qu'une fonction est continue sur un intervalle I signifie que la fonction est continue en tout réel de I.
- Les fonctions construites par opération (somme, différence, produit et quotient) ou par composition sont continues sur les intervalles inclus dans leur ensemble de définition.
- Toute fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur cet intervalle.
Dans la suite de ce cours, les fonctions utilisées sont définies sur un intervalle I et x0 est un point de I.
Dire que f est continue en x0 signifie que
.Dire que f est discontinue en x0 signifie que f n'est pas continue en x0.
• La fonction f représentée ci-dessous est continue en x0. La fonction g est discontinue en x0. Autrement dit, on voit graphiquement qu'une fonction est continue en un point x0 si la courbe passe par le point M0(x0 ; ƒ(x0)) sans coupure. Sinon, la fonction est discontinue en ce point.
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• Soit la fonction f définie sur
par f(x) = x2+ 3x + 4 si
x > 1 ;
f(x) = 5 + 3x si x ≤ 1.
et f(1) = 5 + 3 × 1 = 8.
On a bien 
On en déduit que f est continue en 1.
• Soit la fonction f définie par
f(x) = 
si x ≠ 0,
et f(0) = 1.
.
Donc la fonction f est continue en 0.
• La fonction partie entière,
notée E, est la fonction
définie sur par E(x) = k avec k entier relatif tel
que k ≤ x < k + 1.
Autrement dit, E(x) est le plus grand entier
relatif inférieur ou égal
à x.
Par exemple, E(π) = 3 ; E(–π) = –4 ;
E(
) = 1 ; E(5) = 5 et E(–8) = –8. Voici la
représentation graphique de cette
fonction :
La fonction partie entière E est discontinue en tout point entier relatif.
La fonction ƒ définie sur
par 
est
continue sur .
• Les fonctions polynômes sont continues sur
.• La fonction inverse est continue sur l'intervalle
et sur l'intervalle 
.• La fonction racine carrée est continue sur
.• La fonction valeur absolue est continue sur
.• La fonction exponentielle est continue sur
.• La fonction ln est continue sur l'intervalle
.• Les fonctions trigonométriques cosinus et sinus sont continues sur
.
Il est important de repérer les fonctions usuelles pour prouver la continuité d'une fonction.
Les fonctions construites par opération (somme, différence, produit et quotient) ou par composition sont continues sur les intervalles inclus dans leur ensemble de définition.
• La fonction f définie sur
par 
est le produit des
fonctions 
et 
qui sont toutes deux
continues sur , donc f est continue
sur .
• La fonction g définie sur
par 
est continue sur les
intervalles 
et 
comme quotient de deux
fonctions polynômes.
• La fonction h définie sur
par 
est la composée de
la fonction racine carrée et d’une
fonction affine. La fonction h est continue sur
l’intervalle 
.
Toute fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur cet intervalle.
La réciproque de cette propriété est fausse. Par exemple, la fonction racine carrée est continue sur l’intervalle
mais elle n’est pas
dérivable en 0 : la fonction racine
carrée est dérivable sur
l’intervalle 
.
Évalue ce cours !
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