Fonctions continues et non continues sur un intervalle - Cours de Mathématiques Terminale S avec Maxicours - Lycée

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Fonctions continues et non continues sur un intervalle

Objectifs
• Introduire la notion de continuité.
• Donner une liste usuelle de fonctions continues.
• Montrer quelques contre-exemples.
Dans la suite de ce cours, les fonctions utilisées sont définies sur un intervalle I et x0 est un point de I.
1. Continuité et discontinuité d'une fonction en un point
• Dire que ƒ est continue en x0 signifie que .
• Dire que ƒ est discontinue en x0 signifie que n'est pas continue en x0

Exemples :

1. La fonction ƒ représentée ci-dessous est continue en x0. La fonction g est discontinue en x0. Autrement dit, on voit graphiquement qu'une fonction est continue en un point x0 si la courbe passe par le point M0 (x0 ; ƒ(x0)) sans coupure. Sinon, la fonction est discontinue en ce point.
     
2. La fonction ƒ définie par f(x) = si x ≠ 0, avec ƒ(0) = 1, est continue en 0. En effet, .

3. La fonction partie entière de x, notée E, est discontinue en tout point entier. E(x) est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x. Par exemple, E(π) = 3 ; E(-π) = -4 ; E() = 1 ; E(5) = 5 et E(-8) = -8. Voici la représentation graphique de cette fonction :

2. Fonctions continues
a. Fonction continue sur un intervalle I
Dire que la fonction ƒ est continue sur I signifie que ƒ est continue en tout réel de I.

Exemple :
La fonction ƒ définie sur par est continue sur .
b. Continuité des fonctions usuelles
Propriétés admises
  • Les fonctions polynômes sont continues sur .
  • Le fonction inverse est continue sur .
  • Le fonction racine carrée est continue sur [0 ; +∞].
  • La fonction valeur absolue est continue sur .
  • Les fonctions trigonométriques sont continues sur .
Il est important de repérer les fonctions usuelles pour prouver la continuité d'une fonction.
c. Opérations sur les fonctions continues
Les théorèmes suivants permettent de savoir si une fonction est continue ou non :
Théorèmes
• La somme et le produit de deux fonctions continues définies sur le même ensemble de définition sont des fonctions continues.
• Si ƒ et g sont deux fonction continues sur un ensemble D alors est continue en tout point x0 tel que g(x0) ≠ 0.

Exemples :

1. Les fractions rationnelles sont des fractions continues car elles sont le quotient de deux polynômes.
2. On démontre que les racines carrées de fonction continues et positives sont des fonctions continues.
3. On démontre que les fonctions logarithmes et exponentielles sont des fonctions continues.
4. La fonction ƒ définie sur par ƒ(x) = xex est le produit de la fonction xx et xex qui sont toutes deux continues sur , donc ƒ est continue sur .
L'essentiel
Dire qu'une fonction est continue en x0 signifie que .
Dire qu'une fonction est continue sur un intervalle I signifie que la fonction est continue en tout réel de I.

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