La fonction logarithme népérien : variations et limites - maths complémentaires - Maxicours

La fonction logarithme népérien : variations et limites

Objectifs
  • Étudier la fonction logarithme népérien.
  • Donner des limites importantes qui serviront pour les cas de formes indéterminées.
  • Donner le complément de dérivation concernant ln.
Points clés
  • La fonction ln est strictement croissante sur .
  •  et 
  • Dans un repère orthonormé du plan, les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.
  • Pour tous réels a et b strictement positifs :
    a = b ln a = ln b.
    a < b ln a < ln b.
  •  .
  • et
  • Soit u une fonction dérivable et positive sur un intervalle I.
    La fonction x ↦ ln(u(x)) est dérivable sur I et, pour tout réel x de I, on a l’égalité .
Pour bien comprendre
  • Connaitre la fonction exponentielle.
  • Connaitre la fonction logarithme népérien.
1. Étude de la fonction ln
Théorème
La fonction ln est strictement croissante sur .
Démonstration

Soit x un réel tel que x > 0.
On a :, donc (ln x)’ > 0 et le théorème est démontré.

Propriété
Dans un repère orthonormal du plan, les courbes représentatives des fonctions exp et ln sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.
Démonstration

Soit x un réel tel que x > 0.
On pose L(x ; lnx) un point de Cln.

On a :
, donc E(lnx ; x) est un point de Cexp.

et , un vecteur directeur de (d) : y = x sont orthogonaux puisque leur produit scalaire est nul.
De plus le milieu M de [EL] a pour coordonnées , donc M est un point de (d).

Ainsi, Cln et Cexp sont bien symétriques par rapport à la droite y = x.

Propriété
On dispose des propositions suivantes :
• (P1) : .
• (P2) : .
Démonstration

• Pour (P1), on peut ici utiliser la définition.
En effet, on doit démontrer que pour tout réel A, il existe un réel M tel que la proposition
(x > M lnx > A) est vraie.
Soit A un réel.
On a : lnx > A x > eA ; il suffit donc de choisir M = eA.

• Pour (P2) : soit x un réel tel que x > 0.
On a : ; on pose : .
Quand x → 0 et x > 0, alors et , donc (P2) est vraie.

2. Compléments
Propriété
Pour tout couple (a ; b) de réels strictement positifs, on dispose des propositions suivantes :
• (P1) : a = b lna = lnb.
• (P2) : a < b lna < lnb.

Démonstration liée aux variations des fonctions croissantes exp et ln.

Propriété
On dispose des propositions suivantes :
• (P1) : .
• (P2) : .
• (P3) : .
Démonstration

• Pour (P1), on utilise la définition donnée en 1S du nombre dérivé de ln en 1.
On a : ; or, .

• Pour (P2) : soit x un réel; on pose X = ex, donc ln=  x.
Donc ; or, et , donc .

• Pour (P3) : Soit x un réel tel que x > 0.
On a : ; on pose .
Quand x → 0 et x > 0, . Il suffit alors d’appliquer (P2).

Propriété (admise)
Soit u une fonction dérivable et positive sur un intervalle I.
La fonction xln(u(x)) est dérivable sur I et pour tout réel x de I on dispose de l’égalité :
.
Remarque
Cette formule « prolonge » la formule de (lnx)’.
Exemple
Pour tout réel x, on pose f(x) = ln(1 + x2).
Pour tout réel x, on pose : u(x) = 1 + x2. u est dérivable et strictement positive sur , donc f est aussi dérivable sur et pour tout réel x, on a : .

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