Lycée   >   Terminale   >   Mathématiques complémentaires   >   La fonction logarithme népérien : variations et limites - maths complémentaires

La fonction logarithme népérien : variations et limites

  • Fiche de cours
  • Quiz
  • Profs en ligne
Objectifs
  • Étudier la fonction logarithme népérien.
  • Donner des limites importantes qui serviront pour les cas de formes indéterminées.
  • Donner le complément de dérivation concernant ln.
Points clés
  • La fonction ln est strictement croissante sur .
  •  et 
  • Dans un repère orthonormé du plan, les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.
  • Pour tous réels a et b strictement positifs :
    a = b ln a = ln b.
    a < b ln a < ln b.
  •  .
  • et
  • Soit u une fonction dérivable et positive sur un intervalle I.
    La fonction x ↦ ln(u(x)) est dérivable sur I et, pour tout réel x de I, on a l’égalité .
Pour bien comprendre
  • Connaitre la fonction exponentielle.
  • Connaitre la fonction logarithme népérien.
1. Étude de la fonction ln
Théorème
La fonction ln est strictement croissante sur .
Démonstration

Soit x un réel tel que x > 0.
On a :, donc (ln x)’ > 0 et le théorème est démontré.

Propriété
Dans un repère orthonormal du plan, les courbes représentatives des fonctions exp et ln sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.
Démonstration

Soit x un réel tel que x > 0.
On pose L(x ; lnx) un point de Cln.

On a :
, donc E(lnx ; x) est un point de Cexp.

et , un vecteur directeur de (d) : y = x sont orthogonaux puisque leur produit scalaire est nul.
De plus le milieu M de [EL] a pour coordonnées , donc M est un point de (d).

Ainsi, Cln et Cexp sont bien symétriques par rapport à la droite y = x.

Propriété
On dispose des propositions suivantes :
• (P1) : .
• (P2) : .
Démonstration

• Pour (P1), on peut ici utiliser la définition.
En effet, on doit démontrer que pour tout réel A, il existe un réel M tel que la proposition
(x > M lnx > A) est vraie.
Soit A un réel.
On a : lnx > A x > eA ; il suffit donc de choisir M = eA.

• Pour (P2) : soit x un réel tel que x > 0.
On a : ; on pose : .
Quand x → 0 et x > 0, alors et , donc (P2) est vraie.

2. Compléments
Propriété
Pour tout couple (a ; b) de réels strictement positifs, on dispose des propositions suivantes :
• (P1) : a = b lna = lnb.
• (P2) : a < b lna < lnb.

Démonstration liée aux variations des fonctions croissantes exp et ln.

Propriété
On dispose des propositions suivantes :
• (P1) : .
• (P2) : .
• (P3) : .
Démonstration

• Pour (P1), on utilise la définition donnée en 1S du nombre dérivé de ln en 1.
On a : ; or, .

• Pour (P2) : soit x un réel; on pose X = ex, donc ln=  x.
Donc ; or, et , donc .

• Pour (P3) : Soit x un réel tel que x > 0.
On a : ; on pose .
Quand x → 0 et x > 0, . Il suffit alors d’appliquer (P2).

Propriété (admise)
Soit u une fonction dérivable et positive sur un intervalle I.
La fonction xln(u(x)) est dérivable sur I et pour tout réel x de I on dispose de l’égalité :
.
Remarque
Cette formule « prolonge » la formule de (lnx)’.
Exemple
Pour tout réel x, on pose f(x) = ln(1 + x2).
Pour tout réel x, on pose : u(x) = 1 + x2. u est dérivable et strictement positive sur , donc f est aussi dérivable sur et pour tout réel x, on a : .

Comment as-tu trouvé ce cours ?

Évalue ce cours !

 

Question 1/5

La médiane de 6 notes est 13. Cela signifie que :

Question 2/5

On a obtenu la série statistique suivante :

Combien vaut la médiane ?

Question 3/5

On a obtenu la série ci-dessous :

Quelle est la médiane de cette série ?

Question 4/5

On a relevé les tailles en cm des élèves d’une classe :

 

Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?

Question 5/5

Les notes en français de deux classes littéraires sont données dans le tableau suivant :

Quelle est la note médiane ?

Vous avez obtenu75%de bonnes réponses !

Recevez l'intégralité des bonnes réponses ainsi que les rappels de cours associés :

Votre adresse e-mail sera exclusivement utilisée pour vous envoyer notre newsletter. Vous pourrez vous désinscrire à tout moment, à travers le lien de désinscription présent dans chaque newsletter. Pour en savoir plus sur la gestion de vos données personnelles et pour exercer vos droits, vous pouvez consulter notre charte.

Une erreur s'est produite, veuillez ré-essayer

Consultez votre boite email, vous y trouverez vos résultats de quiz!

Découvrez le soutien scolaire en ligne avec myMaxicours

Le service propose une plateforme de contenus interactifs, ludiques et variés pour les élèves du CP à la Terminale. Nous proposons des univers adaptés aux tranches d'âge afin de favoriser la concentration, encourager et motiver quel que soit le niveau. Nous souhaitons que chacun se sente bien pour apprendre et progresser en toute sérénité ! 

Fiches de cours les plus recherchées

Mathématiques complémentaires

La détermination de primitives - spé maths complémentaires

Mathématiques complémentaires

Le calcul intégral : aire sous une courbe de fonction continue - Maths complémentaires

Mathématiques complémentaires

Nouvelle définition et propriétés de l'intégrale- Maths complémentaires

Mathématiques complémentaires

Intégrales et primitives

Mathématiques complémentaires

Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Mathématiques complémentaires

Coefficients binomiaux et loi de Pascal

Mathématiques complémentaires

Densité de probabilité et fonction de répartition

Mathématiques complémentaires

Point moyen et droite d'ajustement

Mathématiques complémentaires

La droite de régression : la méthode des moindres carrés

Mathématiques complémentaires

Les variables numériques - spé maths complémentaires