La fonction logarithme népérien : variations et limites - maths complémentaires
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Étudier la fonction logarithme népérien.
- Donner des limites importantes qui serviront pour les cas de formes indéterminées.
- Donner le complément de dérivation concernant ln.
- La fonction ln est
strictement croissante sur
.
-
et 
- Dans un repère orthonormé du plan, les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.
- Pour tous réels a et b strictement
positifs :
a = b
ln a = ln b.
a < bln a < ln b.
-
.
-
et 
- Soit u une
fonction dérivable et positive sur un
intervalle I.
La fonction x ↦ ln(u(x)) est dérivable sur I et, pour tout réel x de I, on a l’égalité
.
- Connaitre la fonction exponentielle.
- Connaitre la fonction logarithme népérien.
La fonction ln est strictement croissante sur
.
Soit x un
réel tel que x > 0.
On a :
, donc (ln x)’ > 0 et le
théorème est démontré.
Dans un repère orthonormal du plan, les courbes représentatives des fonctions exp et ln sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.
Soit x un
réel tel que x > 0.
On pose L(x ;
lnx) un point de Cln.
On a :
, donc E(lnx ; x) est un
point de Cexp.
et 
, un vecteur directeur de
(d) :
y = x sont orthogonaux puisque
leur produit scalaire est nul.
De plus le milieu M
de [EL] a pour
coordonnées 
, donc M est un point de (d).
Ainsi, Cln et Cexp sont bien
symétriques par rapport à la droite
y = x.
On dispose des propositions suivantes :
• (P1) :
.• (P2) :
.
• Pour (P1), on peut ici utiliser la
définition.
En effet, on doit démontrer que pour tout
réel A,
il existe un réel M tel que la proposition
(x > M
lnx >
A) est vraie.
Soit A un
réel.
On a : lnx > A 
x
>
eA ; il suffit donc de choisir
M = eA.
• Pour (P2) : soit x un réel tel que
x > 0.
On a : 
; on
pose : 
.
Quand x →
0 et x
> 0, alors
et
,
donc (P2) est vraie.
Pour tout couple (a ; b) de réels strictement positifs, on dispose des propositions suivantes :
• (P1) : a = b
lna =
lnb.• (P2) : a < b
lna <
lnb.
Démonstration liée aux variations des fonctions croissantes exp et ln.
On dispose des propositions suivantes :
• (P1) :
.• (P2) :
.• (P3) :
.
• Pour (P1), on utilise la définition
donnée en 1S du nombre dérivé de
ln en 1.
On a : 
; or,
.
• Pour (P2) : soit x un réel; on pose
X = ex, donc
lnX = x.
Donc 
; or, 
et 
, donc
.
• Pour (P3) : Soit x un réel tel que
x > 0.
On a : 
; on
pose 
.
Quand x →
0 et x > 0,
.
Il suffit alors d’appliquer (P2).
Soit u une fonction dérivable et positive sur un intervalle I.
La fonction x → ln(u(x)) est dérivable sur I et pour tout réel x de I on dispose de l’égalité :
.
Cette formule « prolonge » la formule de (lnx)’.
Pour tout réel x, on pose f(x) = ln(1 + x2).
Pour tout réel x, on pose : u(x) = 1 + x2. u est dérivable et strictement positive sur
, donc f est aussi dérivable
sur 
et pour tout réel
x, on a :
.
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