La fonction logarithme népérien : variations et limites

Théorème
La fonction ln est strictement croissante sur .

Soit x un réel tel que x > 0.
On a :, donc (ln x)’ > 0 et le théorème est démontré.

Soit x un réel tel que x > 0.
On pose L(x ; lnx) un point de C_ln.

On a :
, donc E(lnx ; x) est un point de C_exp.

et , un vecteur directeur de (d) : y = x sont orthogonaux puisque leur produit scalaire est nul.
De plus le milieu M de [EL] a pour coordonnées , donc M est un point de (d).

Ainsi, C_ln et C_exp sont bien symétriques par rapport à la droite y = x.

Propriété
On dispose des propositions suivantes :
• (P1) : .
• (P2) : .

• Pour (P1), on peut ici utiliser la définition.
En effet, on doit démontrer que pour tout réel A, il existe un réel M tel que la proposition
(x > M lnx > A) est vraie.
Soit A un réel.
On a : lnx > A x > e^A ; il suffit donc de choisir M = e^A.

• Pour (P2) : soit x un réel tel que x > 0.
On a : ; on pose : .
Quand x → 0 et x > 0, alors et , donc (P2) est vraie.

Propriété
Pour tout couple (a ; b) de réels strictement positifs, on dispose des propositions suivantes :
• (P1) : a = b lna = lnb.
• (P2) : a < b lna < lnb.

Démonstration liée aux variations des fonctions croissantes exp et ln.

Propriété
On dispose des propositions suivantes :
• (P1) : .
• (P2) : .
• (P3) : .

• Pour (P1), on utilise la définition donnée en 1S du nombre dérivé de ln en 1.
On a : ; or, .

• Pour (P2) : soit x un réel; on pose X = e^x, donc lnX =  x.
Donc ; or, et , donc .

• Pour (P3) : Soit x un réel tel que x > 0.
On a : ; on pose .
Quand x → 0 et x > 0, . Il suffit alors d’appliquer (P2).

Propriété (admise)
Soit u une fonction dérivable et positive sur un intervalle I.
La fonction x → ln(u(x)) est dérivable sur I et pour tout réel x de I on dispose de l’égalité :
.

Exemple
Pour tout réel x, on pose f(x) = ln(1 + x²).
Pour tout réel x, on pose : u(x) = 1 + x². u est dérivable et strictement positive sur , donc f est aussi dérivable sur et pour tout réel x, on a : .