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Intégrales et primitives

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Objectifs

Établir le lien entre le calcul intégral et la notion de dérivation.
Définir la nouvelle notion de primitives.

Points clés

Pour toute fonction f continue et positive sur un intervalle [a ; b], la fonction est dérivable sur [a ; b] et on a .
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit qu'une fonction F est une primitive de f sur I lorsque F est dérivable sur I et que F' = f.
Propriétés :
• f admet des primitives sur I.
• Si F est l'une de ses primitives, alors l'ensemble des primitives de f sur I est l'ensemble des fonctions de la forme F + k, où k est une constante réelle.
• Parmi toutes les primitives de f sur I, il en existe une unique, notée par exemple G, qui vérifie G(x₀) = y₀ pour (x₀ ; y₀) un couple de réels donnés de I.

1. Le calcul intégral et la dérivation

Théorème
Pour toute fonction f continue et positive sur un intervalle [a ; b], la fonction F : x →

est dérivable sur [a ; b] et a pour fonction dérivée f.
Autrement dit, pour tout réel x de [a ; b], on a :

Remarque
Dans l'écriture de l'intégrale, on utilise deux variables x et t.
x est la variable de la fonction F tandis que t celle de f. On ne DOIT surtout pas utiliser la même lettre pour ces deux variables.

Exemples

Principe de démonstration

On considère un repère (O, I, J) orthogonal. Sauf mention contraire, les aires seront exprimées en unités d'aire (u.a).
Soit (a ; b) un couple de réels vérifiant ab.
Soit f une fonction continue, positive et strictement monotone sur [a ; b] de courbe représentative C_f.
On va ici supposer que f est strictement croissante sur [a ; b].

Remarque
Le cas où f est strictement décroissante se traite de la même façon.

Soit t un réel de [a ; b].
On considère la partie du plan définie par :
{M(x ; y), a x t et 0 y f(x)} et on note A(t) son aire.
Soit h un réel non nul vérifiant t + h [a ; b].

Voici une figure qui illustre la situation dans le cas où h > 0.

On se place dans le cas de la figure, à savoir le cas où h > 0.

Par définition, on a : A(t) = .

Donc A(t + h) – A(t) représente l'aire de la partie verte. Cette aire est ainsi comprise entre les aires de deux rectangles de base commune de mesure h et de hauteurs respectives : f(t)et f(t + h).

Ainsi on dispose des inégalités h × f(t) A(t + h) – A(t) h × f(t + h), et puisque h > 0 :
.
On fait maintenant intervenir la continuité de f sur [a ; b], donc en t.
Ainsi lorsque h tend vers 0, on a : .
En utilisant le théorème d'encadrement dit des « gendarmes », on a : .

On traite le cas h < 0 de la même façon, on obtient aussi : .

Finalement on dispose de l’égalité : .

Cela signifie que la fonction A est dérivable en t et que A'(t) = f(t).
Puisque t est quelconque sur [a ; b], la fonction A est dérivable sur [a ; b] et A' = f sur [a ; b].

2. La notion de primitives d'une fonction

a. Définition

Rappel : Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On dit qu'une fonction F est une primitive de f sur I lorsque F est dérivable sur I et que F' = f.

Conséquence immédiate

Avec les notations et conditions du théorème précédent, la fonction x → est une primitive de la fonction f sur [a ; b].

Exemple
Pour tout réel x, (x² + 3)' = 2x, donc x → x² + 3 est une primitive de la fonction x → 2x.

b. Propriétés

Propriétés
Pour toute fonction f définie et continue sur un intervalle I, on dispose des propositions suivantes :

(P1) f admet des primitives sur I.
(P2) Si F est l'une de ses primitives, alors l'ensemble des primitives de f sur I est l'ensemble des fonctions de la forme F + k, où k est une constante réelle.
(P3) Parmi toutes les primitives de f sur I, il en existe une unique, notée par exemple G, qui vérifie G(x₀) = y₀ pour (x₀ ; y₀) un couple de réels donnés de I.

Démonstrations

On se place dans le cas où I = [a ; b].

Pour (P1)

Il est nécessaire d'admettre le théorème qui énonce que toute fonction continue sur un intervalle I = [a ; b] admet un minimum m sur I.

Graphiquement, cela semble cohérent :

Ainsi, pour tout réel x de I, f(x) m, donc f(x) – m 0.

La fonction g : x → f(x) – m est continue et positive sur I, elle admet donc une primitive, à savoir la fonction G : x → .
Donc G'(x) = g(x) = f(x) – m, soit encore f(x) = G'(x) + m.
Finalement, la fonction F : x → G(x) + mx est une primitive de f car F'(x) = G'(x) + m = f(x).

Pour (P2)

Si F est une primitive de f sur I, alors (F + k)' = F' = f, donc F + k est aussi une primitive de f sur I.
Réciproquement, soit G une primitive de f sur I. Alors G' = f = F', donc G' – F' = 0, soit encore (G – F)' = 0. Autrement dit, G – F = k où k est une constante réelle, soit G = F + k.

Pour (P3)

Si G est une primitive de f sur I telle que G(x₀) = y₀, alors F(x₀) + k = y₀, donc k = y₀ – F(x₀).
Ainsi G est l'unique fonction définie sur I par x → F(x) + y₀ – F(x₀).

Exemples

• Déterminer les primitives sur de .
On cherche d'abord une fonction F continue et dérivable sur telle que F'(x) = f(x).
On va utiliser ses connaissances sur les dérivées, à savoir :
(x³)' = 3x², donc (x³)' = 2x² et (x²+ x)' = 5x + 1.
Ainsi, (x³+ x²+ x)' = 2x²+ 5x + 1 = f(x)
et F(x) = x³+ x²+ x.
Les primitives de f sur I sont donc les fonctions de la forme , où k est une constante réelle.