Intégrales et primitives
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Établir le lien entre le calcul intégral et la notion de dérivation.
- Définir la nouvelle notion de primitives.
- Pour toute fonction f continue et positive sur un
intervalle [a ; b], la fonction
est dérivable sur
[a ; b] et on a 
.
- Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit qu'une fonction F est une primitive de f sur I lorsque F est dérivable sur I et que F' = f.
- Propriétés :
• f admet des primitives sur I.
• Si F est l'une de ses primitives, alors l'ensemble des primitives de f sur I est l'ensemble des fonctions de la forme F + k, où k est une constante réelle.
• Parmi toutes les primitives de f sur I, il en existe une unique, notée par exemple G, qui vérifie G(x0) = y0 pour (x0 ; y0) un couple de réels donnés de I.
Pour toute fonction f continue et positive sur un intervalle [a ; b], la fonction F : x →
est dérivable sur
[a ; b] et a
pour fonction dérivée f.Autrement dit, pour tout réel x de [a ; b], on a :
.
Dans l'écriture de l'intégrale, on utilise deux variables x et t.
x est la variable de la fonction F tandis que t celle de f. On ne DOIT surtout pas utiliser la même lettre pour ces deux variables.
On considère un repère (O, I, J) orthogonal. Sauf
mention contraire, les aires seront exprimées en
unités d'aire (u.a).
Soit (a
; b) un couple de réels
vérifiant a
b.
Soit f une
fonction continue, positive et
strictement monotone sur [a ; b] de courbe
représentative Cf.
On va ici supposer que f est strictement
croissante sur [a ;
b].
Le cas où f est strictement décroissante se traite de la même façon.
Soit t un
réel de [a ;
b].
On considère la partie du plan définie
par :
{M(x ; y), a 
x 
t et 0 
y 
f(x)} et on note A(t) son aire.
Soit h un
réel non nul vérifiant t + h 
[a ; b].
Voici une figure qui illustre la situation dans le cas
où h
> 0.
On se place dans le cas de la figure, à savoir le cas où h > 0.
Par définition, on a : A(t) = 
.
Donc A(t + h) – A(t) représente l'aire de la partie verte. Cette aire est ainsi comprise entre les aires de deux rectangles de base commune de mesure h et de hauteurs respectives : f(t)et f(t + h).
Ainsi on dispose des inégalités
h ×
f(t) 
A(t + h) –
A(t) 
h
× f(t + h), et puisque h > 0 :
.
On fait maintenant intervenir la continuité de
f sur
[a ; b], donc
en t.
Ainsi lorsque h tend vers 0, on a :
.
En utilisant le théorème d'encadrement dit
des « gendarmes », on a : 
.
On traite le cas h
< 0 de la même façon, on
obtient aussi : 
.
Finalement on dispose de
l’égalité : 
.
Cela signifie que la fonction A est dérivable en
t et que
A'(t) = f(t).
Puisque t est
quelconque sur [a ;
b], la fonction A est dérivable sur
[a ; b] et
A' = f
sur [a ; b].
On dit qu'une fonction F est une primitive de f sur I lorsque F est dérivable sur I et que F' = f.
Avec les notations et conditions du
théorème précédent, la
fonction x → 
est une primitive de la fonction f sur [a ; b].
Pour tout réel x, (x² + 3)' = 2x, donc x → x² + 3 est une primitive de la fonction x → 2x.
Pour toute fonction f définie et continue sur un intervalle I, on dispose des propositions suivantes :
- (P1) f admet des primitives sur I.
- (P2) Si F est l'une de ses primitives, alors l'ensemble des primitives de f sur I est l'ensemble des fonctions de la forme F + k, où k est une constante réelle.
- (P3) Parmi toutes les primitives de f sur I, il en existe une unique, notée par exemple G, qui vérifie G(x0) = y0 pour (x0 ; y0) un couple de réels donnés de I.
On se place dans le cas où I = [a ; b].
- Pour (P1)
Il est nécessaire d'admettre le théorème qui énonce que toute fonction continue sur un intervalle I = [a ; b] admet un minimum m sur I.
Graphiquement, cela semble cohérent :
Ainsi, pour tout réel x de I, f(x) 
m, donc f(x) – m 
0.
La fonction g :
x → f(x) –
m est
continue et positive sur I, elle admet donc une
primitive, à savoir la fonction G : x → 
.
Donc G'(x) = g(x) =
f(x) – m, soit encore f(x) = G'(x) +
m.
Finalement, la fonction F : x →
G(x) + mx
est une primitive de f car
F'(x) = G'(x) + m = f(x).
- Pour (P2)
Si F est une
primitive de f sur I, alors (F + k)' = F' = f, donc
F + k est
aussi une primitive de f sur I.
Réciproquement, soit G une primitive de
f sur
I. Alors
G' = f = F',
donc G' – F' = 0,
soit encore (G – F)' = 0.
Autrement dit, G
– F = k où k est une constante
réelle, soit G =
F + k.
- Pour (P3)
Si G est une
primitive de f sur I telle que G(x0) = y0, alors
F(x0)
+ k =
y0, donc
k = y0 – F(x0).
Ainsi G est
l'unique fonction définie sur I par x → F(x) + y0 –
F(x0).
• Déterminer les primitives sur 
de 
.
On cherche d'abord une fonction F continue et
dérivable sur 
telle que
F'(x) =
f(x).
On va utiliser ses connaissances sur les
dérivées, à savoir :
(x3)'
= 3x2, donc
(
x3)'
= 2x2 et
(
x2+
x)'
= 5x + 1.
Ainsi, (
x3+
x2+
x)' = 2x2+
5x + 1
= f(x)
et F(x) = 
x3+
x2+ x.
Les primitives de f sur I sont donc les fonctions de
la forme 
, où
k est une
constante réelle.
• Déterminer la primitive G de f qui s'annule en 1.
G
vérifie : G(x) = 
x3+ 
x2+ x + k pour tout réel
x et
G(1) = 0.
Donc 
.
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