Rappels sur les suites géométriques et notion de limite - Maxicours

Rappels sur les suites géométriques et notion de limite

Objectifs
  • Rappeler les propriétés d’une suite géométrique.
  • Observer le comportement de qn lorsque n tend vers +∞.
  • Modéliser un phénomène par une suite géométrique.
Points clés
  • Une suite géométrique est une suite récurrente définie par un+1 = qun où q est un réel appelé raison de la suite.
  • Pour tout n entier naturel, un = u0qn, ou bien un = upqnp avec p entier.
  • Soit q un nombre réel strictement positif.
    Si q > 1, alors qn = +∞.
    Si q = 1, alors qn = 1.
    Si 0 < q < 1, alors qn 0.
1. Rappels
a. Suites géométriques
Soit (un) une suite, définie pour tout n entier naturel, et q un nombre réel. On dit que la suite (un) est une suite géométrique de raison q si un+1 = qun.

Autrement dit, dans une suite géométrique, on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre non nul q.

Exemple
La suite définie par un+1 = 2un avec u0 = 1 est une suite géométrique de raison 2.
Les premiers termes de cette suite sont 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; …
b. Formulaire sur les suites géométriques

Soit (un) une suite géométrique de raison q et de premier terme u0, définie pour tout n entier naturel.

Propriétés 
un = u0 × qn

ou

un = up × qnp
  • u0 est le premier terme de la suite.
  • un est le terme de rang n.
    up est le terme de rang p.
  • p est un nombre entier naturel.
  • n est un nombre entier naturel.
  • q est un nombre réel.

 

Autrement dit, pour obtenir un :

  • en partant de u0, on multiplie n fois par la raison q.
  • en partant de up (lorsque n), on multiplie ( p) fois par la raison q.
Exemple
Soit une suite géométrique de raison 0,3 et de premier terme u0 = 7. On veut calculer u4.
u4 = 7 × 0,34 = 7 × 0,0081 = 0,0567.
Et si, connaissant u4, on veut calculer u7 :
un = qn–pup
u7 = 0,37–4 × 0,0567
u7 = 0,33 × 0,0567
u7 = 0,0015309
c. Sens de variation d'une suite géométrique
Propriété
Soit (un) une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q strictement positifs.
Si 0 < q < 1, alors la suite est décroissante.
Si q > 1, alors la suite est croissante.
2. Comportement de q^n lorsque n tend vers +∞
a. Lien avec les fonctions du type q^x

Une suite géométrique étant de terme général un = u0qn, on peut l'écrire sous la forme un = f(n) où f est la fonction f : ↦ u0qx.
Par conséquent, la représentation graphique d'une suite géométrique est une série de points non alignés.

Exemples
  • Soit n un nombre entier naturel.
    On considère la suite (un) définie par un = 3n.
    On a u0 = 1 u1 = 3 ; u2 = 9 ; u3 = 27 ; …
  • Soit n un nombre entier naturel.
    On considère maintenant la suite géométrique (un) définie par un = 0,2n.
    Ainsi, u0 = 1 ; u1 = 0,2 ; u2 = 0,04 ; u3 = 0,008 ; …
b. Fonctions du type q^x, avec q un nombre réel strictement positif

Les représentations graphiques des fonctions définies sur par f(x) = qx sont résumées dans le graphique suivant.

c. Comportement de q^n lorsque n tend vers +∞

D’après le graphique précédent, on peut admettre les propriétés suivantes.

Propriétés
Soit q un nombre réel strictement positif et n un nombre entier naturel.
Si q > 1, alors qn = +∞.
Si q = 1, alors qn = 1.
Si 0 < q < 1, alors qn = 0.
3. Modéliser avec une suite géométrique
a. Placement à intérêts composés
Situation

Une personne place la somme de 10 000 sur un placement à intérêts composés lui rapportant 3 % par an. Cela signifie que, chaque année, 3 % du montant du placement sont ajoutés à la somme déjà présente sur le placement. On note un le montant du placement au bout de n années.

Modélisation

un est le terme général d'une suite géométrique de premier terme u0 10 000 et de raison 1,03 puisque « augmenter de 3 % » revient à multiplier par , donc par 1,03. On a donc un+1 = 1,03un.

On peut donc écrire le terme général : un = 10 000 × 1,03n.

Utilisation

Ainsi, on peut répondre à une question du type « quelle sera la somme détenue sur ce placement au bout de 2 ans ? 5 ans ? 10 ans ? » en calculant u2, u5 et u10.
u2 = 10 000 × 1,032 = 10 609
u5 = 10 000 × 1,035 ≈ 11 592,74
u10 = 10 000 × 1,0310 ≈ 13 439,16

Au bout de 2 ans, il y aura 10 609 ; au bout de 5 ans, environ 11 593  et, au bout de 10 ans, environ 13 439 .
On peut aussi répondre à une question du type « au bout de combien d'années le montant placé est-il doublé ? » en calculant un pour des valeurs successives de n jusqu'à avoir un ≥ 20 000.
Pour cela, on peut utiliser un tableur, en tapant « =10000*1,03^A2 » dans la cellule B2. En étirant la formule, on peut répondre que c'est au bout de 24 ans que le montant placé sera doublé.

b. Carré de Von Koch

On considère un carré u0 de côté 9 cm. On note u1 le polygone obtenu en complétant u0 de la manière suivante : on partage en 3 segments égaux chaque côté du polygone, et on construit, à partir du 2e segment obtenu, un triangle équilatéral à l'extérieur du polygone. Voici u1 :

On poursuit la construction avec le polygone u2 ci-dessous, et ainsi de suite.

On s'intéresse alors à la suite (pn) des périmètres des figures (un).
p0 = 36 cm car u0 est un carré de côté 9 cm.
p1 = 48 cm car chacun des 4 côtés de u0 de longueur 9 cm a été remplacé par 4 côtés de longueur  cm, soit 3 cm.
p2 = 64 cm car chacun des 16 côtés de u1 de longueur 3 cm a été remplacé par 4 côtés de longueur  cm, soit 1 cm.

La suite (pn) semble être une suite géométrique de raison .
C'est bien le cas puisque, pour passer de la figure un à la figure un+1, on remplace un côté un de longueur a par 4 côtés de un+1 de longueur .
On a bien pn+1 = pn : la suite est bien géométrique de raison .

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