Rappels sur les suites géométriques et notion de limite

Autrement dit, dans une suite géométrique, on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre non nul q.

Soit (u_n) une suite géométrique de raison q et de premier terme u₀, définie pour tout n entier naturel.

Autrement dit, pour obtenir u_n :

• en partant de u₀, on multiplie n fois par la raison q.
• en partant de u_p (lorsque p ≤ n), on multiplie (n – p) fois par la raison q.

Une suite géométrique étant de terme général u_n = u₀qⁿ, on peut l'écrire sous la forme u_n = f(n) où f est la fonction f : x ↦ u₀q^x.
Par conséquent, la représentation graphique d'une suite géométrique est une série de points non alignés.

Exemples

• Soit n un nombre entier naturel.
  On considère la suite (u_n) définie par u_n = 3ⁿ.
  On a u₀ = 1 ; u₁ = 3 ; u₂ = 9 ; u₃ = 27 ; …

• Soit n un nombre entier naturel.
  On considère maintenant la suite géométrique (u_n) définie par u_n = 0,2ⁿ.
  Ainsi, u₀ = 1 ; u₁ = 0,2 ; u₂ = 0,04 ; u₃ = 0,008 ; …

Les représentations graphiques des fonctions définies sur par f(x) = q^x sont résumées dans le graphique suivant.

D’après le graphique précédent, on peut admettre les propriétés suivantes.

Propriétés
Soit q un nombre réel strictement positif et n un nombre entier naturel.
Si q > 1, alors qⁿ = +∞.
Si q = 1, alors qⁿ = 1.
Si 0 < q < 1, alors qⁿ = 0.

Une personne place la somme de 10 000 € sur un placement à intérêts composés lui rapportant 3 % par an. Cela signifie que, chaque année, 3 % du montant du placement sont ajoutés à la somme déjà présente sur le placement. On note u_n le montant du placement au bout de n années.

u_n est le terme général d'une suite géométrique de premier terme u₀ = 10 000 et de raison 1,03 puisque « augmenter de 3 % » revient à multiplier par , donc par 1,03. On a donc u_n+1 = 1,03u_n.

On peut donc écrire le terme général : u_n = 10 000 × 1,03ⁿ.

Ainsi, on peut répondre à une question du type « quelle sera la somme détenue sur ce placement au bout de 2 ans ? 5 ans ? 10 ans ? » en calculant u₂, u₅ et u₁₀.
u₂ = 10 000 × 1,03² = 10 609
u₅ = 10 000 × 1,03⁵ ≈ 11 592,74
u₁₀ = 10 000 × 1,03¹⁰ ≈ 13 439,16

Au bout de 2 ans, il y aura 10 609 € ; au bout de 5 ans, environ 11 593 € et, au bout de 10 ans, environ 13 439 €.
On peut aussi répondre à une question du type « au bout de combien d'années le montant placé est-il doublé ? » en calculant u_n pour des valeurs successives de n jusqu'à avoir u_n ≥ 20 000.
Pour cela, on peut utiliser un tableur, en tapant « =10000*1,03^A2 » dans la cellule B2. En étirant la formule, on peut répondre que c'est au bout de 24 ans que le montant placé sera doublé.

On considère un carré u₀ de côté 9 cm. On note u₁ le polygone obtenu en complétant u₀ de la manière suivante : on partage en 3 segments égaux chaque côté du polygone, et on construit, à partir du 2^e segment obtenu, un triangle équilatéral à l'extérieur du polygone. Voici u₁ :

On poursuit la construction avec le polygone u₂ ci-dessous, et ainsi de suite.

On s'intéresse alors à la suite (p_n) des périmètres des figures (u_n).
p₀ = 36 cm car u₀ est un carré de côté 9 cm.
p₁ = 48 cm car chacun des 4 côtés de u₀ de longueur 9 cm a été remplacé par 4 côtés de longueur  cm, soit 3 cm.
p₂ = 64 cm car chacun des 16 côtés de u₁ de longueur 3 cm a été remplacé par 4 côtés de longueur  cm, soit 1 cm.

La suite (p_n) semble être une suite géométrique de raison .
C'est bien le cas puisque, pour passer de la figure u_n à la figure u_n+1, on remplace un côté u_n de longueur a par 4 côtés de u_n+1 de longueur .
On a bien p_n+1 = p_n : la suite est bien géométrique de raison .