Rappels sur les suites géométriques et notion de limite
- Rappeler les propriétés d’une suite géométrique.
- Observer le comportement de qn lorsque n tend vers +∞.
- Modéliser un phénomène par une suite géométrique.
- Une suite géométrique est une suite récurrente définie par un+1 = qun où q est un réel appelé raison de la suite.
- Pour tout n entier naturel, un = u0qn, ou bien un = upqn–p avec p entier.
- Soit q un
nombre réel strictement positif.
Si q > 1, alorsqn = +∞.
Si q = 1, alorsqn = 1.
Si 0 < q < 1, alorsqn = 0.
Autrement dit, dans une suite géométrique, on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre non nul q.
La suite définie par un+1 = 2un avec u0 = 1 est une suite géométrique de raison 2.
Les premiers termes de cette suite sont 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; …
Soit (un) une suite géométrique de raison q et de premier terme u0, définie pour tout n entier naturel.
un = u0 × qn ou un = up × qn–p |
|
Autrement dit, pour obtenir un :
- en partant de u0, on multiplie n fois par la raison q.
- en partant de up (lorsque p ≤ n), on multiplie (n – p) fois par la raison q.
Soit une suite géométrique de raison 0,3 et de premier terme u0 = 7. On veut calculer u4.
u4 = 7 × 0,34 = 7 × 0,0081 = 0,0567.
Et si, connaissant u4, on veut calculer u7 :
un = qn–pup
u7 = 0,37–4 × 0,0567
u7 = 0,33 × 0,0567
u7 = 0,0015309
Soit (un) une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q strictement positifs.
Si 0 < q < 1, alors la suite est décroissante.
Si q > 1, alors la suite est croissante.
Une suite géométrique étant de
terme général un = u0qn,
on peut l'écrire sous la forme un = f(n) où f est la fonction
f : x ↦ u0qx.
Par conséquent, la représentation
graphique d'une suite géométrique
est une série de points non
alignés.
- Soit n
un nombre entier naturel.
On considère la suite (un) définie par un = 3n.
On a u0 = 1 ; u1 = 3 ; u2 = 9 ; u3 = 27 ; …

- Soit n
un nombre entier naturel.
On considère maintenant la suite géométrique (un) définie par un = 0,2n.
Ainsi, u0 = 1 ; u1 = 0,2 ; u2 = 0,04 ; u3 = 0,008 ; …

Les représentations graphiques des fonctions
définies sur par
f(x) = qx sont
résumées dans le graphique suivant.

D’après le graphique précédent, on peut admettre les propriétés suivantes.
Soit q un nombre réel strictement positif et n un nombre entier naturel.
Si q > 1, alors

Si q = 1, alors

Si 0 < q < 1, alors

Une personne place la somme de 10 000 € sur un placement à intérêts composés lui rapportant 3 % par an. Cela signifie que, chaque année, 3 % du montant du placement sont ajoutés à la somme déjà présente sur le placement. On note un le montant du placement au bout de n années.
un est le terme
général d'une suite
géométrique de premier terme
u0 = 10 000 et
de raison 1,03 puisque « augmenter
de 3 % » revient à
multiplier par , donc par 1,03. On a donc
un+1 =
1,03un.
On peut donc écrire le terme général : un = 10 000 × 1,03n.
Ainsi, on peut répondre à une question du
type « quelle sera la somme détenue
sur ce placement au bout de 2 ans ?
5 ans ? 10 ans ? » en
calculant u2,
u5
et u10.
u2
= 10 000 × 1,032 = 10
609
u5
= 10 000 × 1,035 ≈ 11
592,74
u10
= 10 000 × 1,0310 ≈ 13
439,16
Au bout de 2 ans, il y aura 10 609 € ; au bout de 5 ans,
environ 11 593 € et, au bout de 10 ans,
environ 13 439 €.
On peut aussi répondre à une question du
type « au bout de combien d'années le
montant placé est-il
doublé ? » en calculant
un pour des
valeurs successives de n jusqu'à avoir
un ≥ 20 000.
Pour cela, on peut utiliser un tableur, en tapant
« =10000*1,03^A2 » dans
la cellule B2. En étirant la formule, on
peut répondre que c'est au bout
de 24 ans que le montant placé sera
doublé.

On considère un carré u0 de côté 9 cm. On note u1 le polygone obtenu en complétant u0 de la manière suivante : on partage en 3 segments égaux chaque côté du polygone, et on construit, à partir du 2e segment obtenu, un triangle équilatéral à l'extérieur du polygone. Voici u1 :

On poursuit la construction avec le polygone u2 ci-dessous, et ainsi de suite.

On s'intéresse alors à la suite
(pn) des
périmètres des figures (un).
p0 = 36 cm
car u0 est un
carré de côté 9 cm.
p1
= 48 cm car chacun
des 4 côtés de u0 de longueur
9 cm a été remplacé
par 4 côtés de longueur
cm, soit
3 cm.
p2
= 64 cm car chacun
des 16 côtés de u1 de longueur
3 cm a été remplacé
par 4 côtés de
longueur cm, soit 1 cm.
La suite (pn) semble
être une suite géométrique de
raison .
C'est bien le cas puisque, pour passer de la figure
un à
la figure un+1, on remplace un
côté un de
longueur a par 4 côtés
de un+1 de
longueur .
On a bien pn+1
= pn : la
suite est bien géométrique de raison
.

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