Espérance et variance d'une loi à densité - Maxicours

Espérance et variance d'une loi à densité

Objectifs
  • Calculer l’espérance d’une variable aléatoire qui suit une loi à densité.
  • Calculer la variance d’une variable aléatoire qui suit une loi à densité.
Points clés

Soit f une fonction de densité de probabilité d’une variable X continue sur un intervalle [a ; b], alors :

  • l’espérance de X est égale à  ;
  • la variance de X est égale à .
Pour bien comprendre
  • Connaitre la définition d'une fonction de densité de probabilité.
  • Calculer une probabilité.
1. Espérance d’une loi à densité
Soit f une fonction de densité de probabilité d’une variable X continue sur un intervalle [a ; b], alors l’espérance de X est égale à .
Exemple
Soit f la fonction définie sur [0 ; 8] par .
f est une fonction de densité de probabilité sur [0 ; 8].
Soit X une variable aléatoire de densité de probabilité f.
On a :





Remarque
L’espérance d’une variable aléatoire à densité représente la moyenne des valeurs prises par la variable aléatoire.
2. Variance d’une loi à densité
Soit f une fonction de densité de probabilité d’une variable X continue sur un intervalle [a ; b], alors la variance de X est égale à .
Exemple
Soit f la fonction définie sur [0 ; 8] par .
f
est une fonction de densité de probabilité sur [0 ; 8].
Soit X une variable aléatoire de densité de probabilité f.
On a et :





On peut également calculer la variance de X en utilisant la formule de Koenig-Huygens : .
Exemple
En reprenant l’exemple précédent, on obtient :







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