La convexité d'une fonction
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- Connaitre les différentes définitions d’une fonction convexe.
- Déterminer si une fonction est convexe.
- Trouver un point d’inflexion.
- Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
- Une fonction f est convexe si, pour tout couple de points A et B de la courbe de f, la sécante (AB) est au-dessus de la courbe de f.
- Si, pour tout couple de points A et B de la courbe de f, la sécante (AB) est en dessous de la courbe de f , alors on dit que f est concave.
- La fonction f est convexe si et seulement si ses tangentes sont en dessous de sa courbe représentative.
- La fonction f est concave si et seulement si ses tangentes sont au-dessus de sa courbe représentative.
- f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée f’ est croissante sur I.
- Soit f une fonction définie sur un intervalle I et deux fois dérivable sur I. f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée seconde f’’ est positive sur I.
- Connaitre la notion de dérivée seconde.
- Dériver une fonction.
- Connaitre l'équation de la tangente à une courbe.
- Ne pas confondre sécante et tangente.
Dans tout ce paragraphe on considère une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I.
On peut aussi donner les propriétés suivantes qui sont équivalentes aux définitions précédentes.
La fonction f est convexe si et seulement si ses tangentes sont en dessous de sa courbe représentative.
f est concave si et seulement si ses tangentes sont au-dessus de sa courbe représentative.
On peut aussi définir une fonction convexe à partir de la définition d’une fonction concave.
f est une fonction convexe sur I si (–f) est concave sur I.
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée f’ est croissante sur I.
Considérons la fonction f(x) = x2 définie et dérivable sur
.On a f’(x) = 2x.
f’ est donc une fonction affine, de coefficient directeur strictement positif, donc f’ croissante sur
. Donc la fonction
carré est une fonction convexe sur .
Il existe une propriété identique pour les fonctions concaves.
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
f est concave sur I si et seulement si sa dérivée f’ est décroissante sur I.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et deux fois dérivable sur I.
f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée seconde f’’ est positive sur I.
On considère la fonction
.On a f’(x) = 3x2 et f’’(x) = 6x. Pour
, 
donc f est convexe sur
.
On a la propriété correspondante sur les fonctions concaves. Soit f une fonction définie sur un intervalle I et deux fois dérivable sur I. f est concave sur I si et seulement si sa dérivée seconde f’’ est négative sur I.
Reprenons la fonction cube de l’exemple précédent.
On a f’(x) = 3x2 et f’’(x) = 6x. Pour x ∈ ]–∞ ; 0], on a f’’(x) ≤ 0, donc la fonction cube est concave sur ]–∞ ; 0].
La fonction ln est concave sur ]0 ; +∞[.
La fonction exponentielle est convexe sur
.La fonction inverse est concave sur ]–∞ ; 0[ et convexe sur ]0 ; +∞[.
Il s’agit d’une conséquence directe du signe de la dérivée seconde de chacune de ces fonctions sur ces intervalles.
On dit que C admet un point d’inflexion si, en ce point, la courbe C traverse sa tangente.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I telle que sa dérivée seconde existe sur I.
C admet un point d’inflexion d'abscisse a, avec a appartenant à I, s’il existe un réel a dans l'intervalle I tel que :
Lorsque C admet un point d’inflexion d'abscisse a, on dit que f change de convexité en a ( f passe de convexe à concave, ou bien de concave à convexe).
Écrivons l'équation de la tangente
à la courbe de la fonction exponentielle en un
point d'abscisse a réel.
Comme la dérivée de x ↦ ex
est x ↦ ex,
on trouve y = ea(x − a) + ea.
Comme la fonction exponentielle est convexe, sa courbe
est au-dessus de chacune de ses tangentes, ce qui
signifie que l'ordonné ex d'un point
de la courbe d'abscisse x est supérieure
à l'ordonnée ea(x − a) + ea
d'un point de la tangente en a
d'abscisse x, d'où
ex > ea(x − a) + ea.
En particulier, lorsque a = 0, on trouve
ex > e0(x − 0) + e0,
c'est-à-dire ex > x + 1.
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