Suites et inégalités
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Établir la convergence ou la divergence d’une
suite vers .
- Soit (un) et (vn) deux suites et soit n et p deux entiers naturels. On dit que la suite (un) est majorée par la suite (vn) si un ≤ vn à partir d’un certain rang p, c’est-à-dire si, pour tout entier n ≥ p, un ≤ vn. On dit que la suite (vn) est minorée par la suite (un) si un ≥ vn à partir d’un certain rang p, c’est-à-dire si, pour tout entier n ≥ p, un ≥ vn.
- On dit que la suite (un) est une suite majorée s’il existe un nombre réel M tel que un ≤ M pour tout entier n. On dit que la suite (un) est une suite minorée s’il existe un nombre réel m tel que un ≥ m pour tout entier n. On dit qu’une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
- Théorème des convergences : Toute suite croissante et majorée est convergente et toute suite décroissante et minorée est convergente.
-
Soit (un) et (vn) deux suites convergentes telles que un ≤ vn à partir d'un certain rang, alors
.
-
Théorème des gendarmes : Soit
(un),
(vn)
et (wn) trois suites
convergentes telles que vn ≤ un ≤ wn
à partir d’un certain rang
et l un
réel. Si
alors
.
- Soit (un) et (vn) deux suites telles que
un ≤ vn à partir
d’un certain rang. Si
, alors
. Si
, alors
.
- On dit que la suite (un) est majorée par la suite (vn) si un ≤ vn à partir d’un certain rang p, c’est-à-dire si, pour tout entier n ≥ p, un ≤ vn.
- On dit que la suite (vn) est minorée par la suite (un) si un ≥ vn à partir d’un certain rang p, c’est-à-dire si, pour tout entier n ≥ p, un ≥ vn.
La suite (un) est représentée en orange.
La suite (vn) est représentée en violet.

On peut dire que la suite (un) est majorée par la suite (vn) et aussi que la suite (vn) est minorée par la suite (un).
Si on considère qu’une des deux suites est une suite constante, on aboutit aux définitions suivantes.
- On dit que la suite (un) est une suite majorée s’il existe un nombre réel M tel que un ≤ M pour tout entier n.
- On dit que la suite (un) est une suite minorée s’il existe un nombre réel m tel que un ≥ m pour tout entier n.
- On dit qu’une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Autrement dit, une suite majorée est une suite dont tous les termes sont inférieurs à un nombre donné. Une suite minorée est une suite dont tous les termes sont supérieurs à un nombre donné.
Soit (un) et (vn) deux suites définies par


-
un ≤ 4
Donc la suite (un) est majorée par 4.
-
vn ≥ 2
Donc la suite (vn) est minorée par 2.
On donne une représentation graphique d’une suite majorée par 5 et croissante.

On peut conjecturer que cette suite est convergente, c’est-à-dire que sa limite est finie.
On donne une représentation graphique d’une suite minorée par 1 et décroissante.

On peut conjecturer que cette suite est convergente, c’est-à-dire que sa limite est finie.
On admet alors le théorème suivant qu’on appelle théorème des convergences.
Toute suite croissante et majorée est convergente.
Toute suite décroissante et minorée est convergente.
Soit (un) la suite définie par un = 0,9n.
Cette suite est positive, donc minorée par 0.
De plus, cette suite est décroissante car :
0,9 < 1
0,9 × 0,9n < 1 × 0,9n
0,9n+1 < 0,9n
un + 1 < un
Donc cette suite est décroissante et minorée. On en déduit, d’après le théorème des convergences, que la suite (un) est convergente.
Soit (un) et (vn) deux suites convergentes telles que un ≤ vn à partir d’un certain rang, alors

Autrement dit, le passage à la limite ne change pas le sens d’une inégalité.
Soit (un) une suite convergente telle que

On veut donner un encadrement de la limite de la suite (un).






Soit (un), (vn) et (wn) trois suites convergentes telles que vn ≤ un ≤ wn à partir d’un certain rang et l un réel.
Si


Soit (un), (vn) et (wn) trois suites convergentes et l un réel. (vn) et (wn) admettent la même limite l et vn ≤ un ≤ wn à partir d’un certain rang.
Le passage aux limites ne change pas le sens des inégalités :
est comprise entre
deux nombres égaux à l, donc
.
On veut calculer

–1 ≤ (–1)n ≤ 1



Ces deux limites sont égales, donc, d’après le théorème des gendarmes,

Soit (un) et (vn) deux suites telles que un ≤ vn à partir d’un certain rang.
- Si
, alors
.
- Si
, alors
.
Soit (un) une suite telle que n2≤ un pour tout entier naturel n.

Par comparaison,

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