Suites et inégalités

Si on considère qu’une des deux suites est une suite constante, on aboutit aux définitions suivantes.

Autrement dit, une suite majorée est une suite dont tous les termes sont inférieurs à un nombre donné. Une suite minorée est une suite dont tous les termes sont supérieurs à un nombre donné.

Exemples
Soit  (u_n) et (v_n) deux suites définies par , avec n entier naturel, et , avec n entier naturel non nul.

• 
  
  u_n ≤ 4
  Donc la suite (u_n) est majorée par 4.

• 
  
  v_n ≥ 2
  Donc la suite (v_n) est minorée par 2.

On donne une représentation graphique d’une suite majorée par 5 et croissante.

On peut conjecturer que cette suite est convergente, c’est-à-dire que sa limite est finie.

On donne une représentation graphique d’une suite minorée par 1 et décroissante.

On peut conjecturer que cette suite est convergente, c’est-à-dire que sa limite est finie.

On admet alors le théorème suivant qu’on appelle théorème des convergences.

Propriété
Soit (u_n) et (v_n) deux suites convergentes telles que u_n ≤ v_n à partir d’un certain rang, alors .

Autrement dit, le passage à la limite ne change pas le sens d’une inégalité.

Exemple
Soit (u_n) une suite convergente telle que , pour tout n entier naturel non nul.
On veut donner un encadrement de la limite de la suite (u_n).
 donc
 donc

Théorème des gendarmes
Soit (u_n), (v_n) et (w_n) trois suites convergentes telles que v_n ≤ u_n ≤ w_n à partir d’un certain rang et l un réel.
Si  alors .

Soit (u_n), (v_n) et (w_n) trois suites convergentes et l un réel. (v_n) et (w_n) admettent la même limite l et  v_n ≤ u_n ≤ w_n à partir d’un certain rang.

Le passage aux limites ne change pas le sens des inégalités :

 est comprise entre deux nombres égaux à l, donc .

Exemple
On veut calculer .
–1 ≤ (–1)ⁿ ≤ 1

 et 
Ces deux limites sont égales, donc, d’après le théorème des gendarmes, .