Suites et inégalités
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
Établir la convergence ou la divergence d’une
suite vers 
.
- Soit (un) et (vn) deux suites et soit n et p deux entiers naturels. On dit que la suite (un) est majorée par la suite (vn) si un ≤ vn à partir d’un certain rang p, c’est-à-dire si, pour tout entier n ≥ p, un ≤ vn. On dit que la suite (vn) est minorée par la suite (un) si un ≥ vn à partir d’un certain rang p, c’est-à-dire si, pour tout entier n ≥ p, un ≥ vn.
- On dit que la suite (un) est une suite majorée s’il existe un nombre réel M tel que un ≤ M pour tout entier n. On dit que la suite (un) est une suite minorée s’il existe un nombre réel m tel que un ≥ m pour tout entier n. On dit qu’une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
- Théorème des convergences : Toute suite croissante et majorée est convergente et toute suite décroissante et minorée est convergente.
-
Soit (un) et (vn) deux suites convergentes telles que un ≤ vn à partir d'un certain rang, alors
.
-
Théorème des gendarmes : Soit
(un),
(vn)
et (wn) trois suites
convergentes telles que vn ≤ un ≤ wn
à partir d’un certain rang
et l un
réel. Si
alors 
.
- Soit (un) et (vn) deux suites telles que
un ≤ vn à partir
d’un certain rang. Si
, alors 
. Si 
,
alors 
.
- On dit que la suite (un) est majorée par la suite (vn) si un ≤ vn à partir d’un certain rang p, c’est-à-dire si, pour tout entier n ≥ p, un ≤ vn.
- On dit que la suite (vn) est minorée par la suite (un) si un ≥ vn à partir d’un certain rang p, c’est-à-dire si, pour tout entier n ≥ p, un ≥ vn.
La suite (un) est représentée en orange.
La suite (vn) est représentée en violet.
On peut dire que la suite (un) est majorée par la suite (vn) et aussi que la suite (vn) est minorée par la suite (un).
Si on considère qu’une des deux suites est une suite constante, on aboutit aux définitions suivantes.
- On dit que la suite (un) est une suite majorée s’il existe un nombre réel M tel que un ≤ M pour tout entier n.
- On dit que la suite (un) est une suite minorée s’il existe un nombre réel m tel que un ≥ m pour tout entier n.
- On dit qu’une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Autrement dit, une suite majorée est une suite dont tous les termes sont inférieurs à un nombre donné. Une suite minorée est une suite dont tous les termes sont supérieurs à un nombre donné.
Soit (un) et (vn) deux suites définies par
, avec
n entier
naturel, et 
, avec n entier naturel non nul.
-
un ≤ 4
Donc la suite (un) est majorée par 4.
-
vn ≥ 2
Donc la suite (vn) est minorée par 2.
On donne une représentation graphique d’une suite majorée par 5 et croissante.
On peut conjecturer que cette suite est convergente, c’est-à-dire que sa limite est finie.
On donne une représentation graphique d’une suite minorée par 1 et décroissante.
On peut conjecturer que cette suite est convergente, c’est-à-dire que sa limite est finie.
On admet alors le théorème suivant qu’on appelle théorème des convergences.
Toute suite croissante et majorée est convergente.
Toute suite décroissante et minorée est convergente.
Soit (un) la suite définie par un = 0,9n.
Cette suite est positive, donc minorée par 0.
De plus, cette suite est décroissante car :
0,9 < 1
0,9 × 0,9n < 1 × 0,9n
0,9n+1 < 0,9n
un + 1 < un
Donc cette suite est décroissante et minorée. On en déduit, d’après le théorème des convergences, que la suite (un) est convergente.
Soit (un) et (vn) deux suites convergentes telles que un ≤ vn à partir d’un certain rang, alors
.
Autrement dit, le passage à la limite ne change pas le sens d’une inégalité.
Soit (un) une suite convergente telle que
, pour tout
n entier naturel non
nul.On veut donner un encadrement de la limite de la suite (un).
donc 
donc 
Soit (un), (vn) et (wn) trois suites convergentes telles que vn ≤ un ≤ wn à partir d’un certain rang et l un réel.
Si
alors 
.
Soit (un), (vn) et (wn) trois suites convergentes et l un réel. (vn) et (wn) admettent la même limite l et vn ≤ un ≤ wn à partir d’un certain rang.
Le passage aux limites ne change pas le sens des inégalités :
est comprise entre
deux nombres égaux à l, donc 
.
On veut calculer
.–1 ≤ (–1)n ≤ 1
et 
Ces deux limites sont égales, donc, d’après le théorème des gendarmes,
.
Soit (un) et (vn) deux suites telles que un ≤ vn à partir d’un certain rang.
- Si
, alors
.
- Si
, alors
.
Soit (un) une suite telle que n2≤ un pour tout entier naturel n.
Par comparaison,
.
Évalue ce cours !
Des quiz et exercices pour mieux assimiler sa leçon
La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des quiz et exercices en accompagnement de chaque fiche de cours. Les exercices permettent de vérifier si la leçon est bien comprise ou s’il reste encore des notions à revoir.
Des exercices variés pour ne pas s’ennuyer
Les exercices se déclinent sous toutes leurs formes sur myMaxicours ! Selon la matière et la classe étudiées, retrouvez des dictées, des mots à relier ou encore des phrases à compléter, mais aussi des textes à trous et bien d’autres formats !
Dans les classes de primaire, l’accent est mis sur des exercices illustrés très ludiques pour motiver les plus jeunes.
Des quiz pour une évaluation en direct
Les quiz et exercices permettent d’avoir un retour immédiat sur la bonne compréhension du cours. Une fois toutes les réponses communiquées, le résultat s’affiche à l’écran et permet à l’élève de se situer immédiatement.
myMaxicours offre des solutions efficaces de révision grâce aux fiches de cours et aux exercices associés. L’élève se rassure pour le prochain examen en testant ses connaissances au préalable.
Des vidéos et des podcasts pour apprendre différemment
Certains élèves ont une mémoire visuelle quand d’autres ont plutôt une mémoire auditive. myMaxicours s’adapte à tous les enfants et adolescents pour leur proposer un apprentissage serein et efficace.
Découvrez de nombreuses vidéos et podcasts en complément des fiches de cours et des exercices pour une année scolaire au top !
Des podcasts pour les révisions
La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des podcasts de révision pour toutes les classes à examen : troisième, première et terminale.
Les ados peuvent écouter les différents cours afin de mieux les mémoriser en préparation de leurs examens. Des fiches de cours de différentes matières sont disponibles en podcasts ainsi qu’une préparation au grand oral avec de nombreux conseils pratiques.
Des vidéos de cours pour comprendre en image
Des vidéos de cours illustrent les notions principales à retenir et complètent les fiches de cours. De quoi réviser sa prochaine évaluation ou son prochain examen en toute confiance !
Fiches de cours les plus recherchées
Mathématiques complémentaires
Les suites arithmético-géométriques
Mathématiques complémentaires
Le calcul intégral : aire sous une courbe positive et continue - Maths complémentaires
Mathématiques complémentaires
Au programme !
Mathématiques complémentaires
La dérivée de fonctions composées simples
Mathématiques complémentaires
Loi uniforme, loi de Bernoulli et cas discret
Mathématiques complémentaires
La loi géométrique
Mathématiques complémentaires
Loi uniforme continue et loi exponentielle
Mathématiques complémentaires
Les limites usuelles des fonctions de référence
Mathématiques complémentaires
Rappels sur les suites numériques : opérations sur les limites
Mathématiques complémentaires
Limite infinie d'une fonction en un point
Mathématiques complémentaires
La limite finie ou infinie d'une fonction en l'infini
Mathématiques complémentaires
L'asymptote parallèle à l'un des axes de coordonnées
Mathématiques complémentaires
Fonctions continues et non continues sur un intervalle
Fermer
Accédez gratuitement à
