La dérivée de fonctions composées simples
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- Comprendre la composition de deux fonctions.
- Trouver une image par une fonction composée.
- Dériver certaines fonctions composées.
- Soit f une
fonction définie sur un
intervalle I et
prenant ses valeurs dans un intervalle J.
Soit g une fonction définie sur J et prenant ses valeurs dans un intervalle K. On peut alors construire la fonction qui à tout nombre réel x de I associe g[f(x)]. Cette fonction est appelée la fonction composée de f par g. - Pour calculer une image par une fonction composée, on commence par calculer l’image par la première fonction, puis on injecte ce résultat dans la seconde fonction.
- Soit f une
fonction dérivable sur un
intervalle J et
I un intervalle
tel que, pour tout x appartenant à
I, on ait
ax + b appartient à
J, avec a et b des réels
fixés.
Alors la fonction x ↦ f(ax + b) est dérivable sur I et sa dérivée est, pour tout x appartenant à I : x ↦ af’(ax + b) - Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I pour tout x appartenant à I. Alors la fonction eu est dérivable sur I et on a, pour tout x appartenant à I : (eu)’(x) = u’(x)eu(x).
- Soit u une
fonction dérivable sur un
intervalle I telle
que u(x) > 0
pour tout x
appartenant à I. Alors la fonction ln u est dérivable
sur I et on a,
pour tout x
appartenant à I :
.
- Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I alors la fonction x ↦ (u(x))2 est dérivable sur I et sa dérivée est, pour tout x appartenant à I : x ↦ 2u’(x)u(x).
- Connaitre la notion d’image par une fonction.
- Connaitre la notion de nombre dérivé d'une fonction.
- Connaitre les dérivées des fonctions usuelles.
Soit g une fonction définie sur J et prenant ses valeurs dans un intervalle K.
On peut alors construire la fonction qui à tout nombre réel x de I associe g[f(x)]. Cette fonction est appelée la fonction composée de f par g et elle se note
.
Soit f et g deux fonctions définies sur
telles que
f(x) = x + 3
et g(x) = 2x – 5.On a :
Pour calculer une image par une fonction composée, on commence par calculer l’image par la première fonction, puis on injecte ce résultat dans la seconde fonction.
Soit deux fonctions f et g définies sur
telles que f(x) = x + 3
et g(x) = x2. Ainsi
.Calculons
.On a
car 
Cette fonction est la fonction composée de la fonction affine x ↦ ax + b par la fonction f.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle J et I un intervalle tel que, pour tout x appartenant à I, on ait ax + b appartient à J, avec a et b des réels fixés.
Alors la fonction x ↦ f(ax + b) est dérivable sur I et sa dérivée est, pour tout x appartenant à I :
Pour x appartenant à ]1 ; +∞[, calculer la dérivée de
.Ici on a
et ax + b = 7x – 3,
donc a = 7 et 
.Ainsi la dérivée de
est
ou encore
.
Cette fonction est la fonction composée de la fonction u par la fonction exponentielle.
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I pour tout x appartenant à I.
Alors la fonction eu est dérivable sur I et on a, pour tout x appartenant à I :
Utilisons le taux de variation de la fonction
eu :
.
Le second facteur du produit ci-dessus vaut u’(x) par définition du nombre dérivé de la fonction u.
Quant au premier facteur, posons k = u(x + h) – u(x).
On a k = u(x + h) − u(x) = u(x) – u(x) = 0,
donc, comme k tend vers 0 lorsque
h tend
vers 0, cela revient au même de
considérer la limite quand h tend vers 0 et la
limite quand k tend vers 0.
Comme k = u(x + h) – u(x),
alors u(x + h) = k + u(x),
donc 
et cette
dernière limite vaut le nombre
dérivé en u(x) de la
fonction exponentielle, soit eu(x).
Ainsi on peut écrire 
.
Soit u définie sur ]0 ; +∞[ par
. Posons 
.Calculons v’(x) :
, donc
.
Cette fonction est la fonction composée de la fonction u par la fonction ln.
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I telle que u(x) > 0 pour tout x appartenant à I.
Alors la fonction ln u est dérivable sur I et on a, pour tout x appartenant à I :
Utilisons le taux de variation de la fonction
ln u :
.
Le second facteur du produit ci-dessus vaut u’(x) par définition du nombre dérivé de la fonction u.
Quant au premier facteur, posons k = u(x + h) – u(x).
On a k = u(x + h) – u(x) = u(x) – u(x) = 0
donc, comme k tend vers 0
lorsque h
tend vers 0, cela revient au même de
considérer la limite quand h tend vers 0 et la
limite quand k tend vers 0.
Comme k = u(x + h) – u(x),
alors u(x + h) = k + u(x),
donc 
et cette
dernière limite vaut le nombre
dérivé en u(x) de la
fonction ln, soit
.
Ainsi on peut écrire :
.
Soit u définie sur
par u(x) = x2 + 2.
Posons v(x) = ln (x2 + 2).Calculons v’(x) : u’(x) = 2x donc
.
Cette fonction est la fonction composée de la fonction u par la fonction carré.
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction x ↦ (u(x))2 est dérivable sur I et sa dérivée est, pour tout x appartenant à I : x ↦ 2u’(x)u(x).
Pour x appartenant à
, soit u la fonction telle que
u(x) = 6x2 + 3.
Calculons la dérivée de x ↦ (6x2 + 3)2.Ici on a u(x) = 6x2 + 3, donc u’(x) = 6 × 2x = 12x et 2u’(x) = 2 × 12x = 24x.
Ainsi la dérivée de x ↦ (6x2 + 3)2 est x ↦ 24x(6x2 + 3).
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