Loi uniforme continue et loi exponentielle - Maxicours

Loi uniforme continue et loi exponentielle

Objectifs
  • Calculer des probabilités, ainsi que l’espérance et la variance d'une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0 ; 1], puis sur [a ; b].
  • Calculer des probabilités et l’espérance d'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle, en utilisant si besoin la propriété d’absence de mémoire.
Points clés
  • Soit a et b deux réels tels que a < b. Soit f la fonction définie sur [a ; b] par f (x) = . f est une fonction de densité de probabilité sur [a ; b].
  • Soit X une variable aléatoire de densité de probabilité f. On dit que X suit la loi uniforme sur [a ; b]. Si on note F sa fonction de répartition sur , alors :
  • Pour c et d deux réels tels que a ≤ c < d ≤ b, alors P(c ≤ X ≤ d) = .
    L’espérance de X est égale à E(X) = .
    La variance de X est égale à V(X) = .
  • Soit λ un nombre réel tel que λ > 0. Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par f (x) = λe–λx. f est une fonction de densité de probabilité sur [0 ; +∞[.
  • Soit X une variable aléatoire de densité de probabilité f. On dit que X suit la loi exponentielle de paramètre λ. Si on note F sa fonction de répartition sur , alors :
  • Pour a et b deux réels positifs tels que a < b, P(a ≤ X ≤ b) = e–λa – e–λb. L’espérance de X est égale à E(X) = .
  • X est sans mémoire. Autrement dit, pour deux réels positifs m et n non nuls, PX ≥ n(X ≥ m + n) = P(X ≥ m).
Pour bien comprendre
  • Connaitre la notion de fonction de densité de probabilité.
  • Calculer une probabilité.
  • Connaitre la notion de fonction de répartition.
  • Calculer une espérance et une variance d'une loi à densité.
1. Loi uniforme continue

Lorsque l’on choisit un nombre au hasard entre a et b, il faut utiliser une loi uniforme sur [a ; b].

a. Loi uniforme sur [0 ; 1]
Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par f (x) = 1.
f est une fonction de densité de probabilité sur [0 ; 1].
Démonstration

f (x) = 1 0 pour tout x ∈ [0 ; 1].
f est continue sur [0 ; 1].

Soit X une variable aléatoire de densité de probabilité f.
On dit que X suit la loi uniforme sur [0 ; 1].
Si on note F sa fonction de répartition sur , alors :
Démonstration

Si x < 0, F(X) = P(X ≤ x) = 0 (car comme 0 ≤ X ≤ 1 et x < 0, alors x < 0 ≤ X et « X ≤ x » est un événement impossible).

Si x ∈ [0 ; 1], on a F(X) = P(X ≤ x) = .

Si x > 1, on a F(X) = P(X ≤ x) = 1 (car comme 0 ≤ X ≤ 1 et x > 1, alors X ≤ 1 < x et « X ≤ x » est un événement certain).

Propriétés
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0 ; 1].
Pour a et b deux réels tels que 0 ≤ a < b ≤ 1, alors P(a ≤ X ≤ b) = b – a.
L’espérance de X sur [0 ; 1] est égale à E(X) = .
La variance de X sur [0 ; 1] est égale à V(X) = .
Démonstrations

P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) – P(X ≤ a) = F(b) – F(a) = b – a






Exemple
On choisit un nombre au hasard sur l’intervalle [0 ; 1].
Quelle est la probabilité que ce nombre soit compris entre 0,2 et 0,6 ?
Si on note X le nombre choisi, alors X est la variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0 ; 1], dont la fonction de densité de probabilité f est définie sur [0 ; 1] par f (x) = 1.
On a P(0,2 ≤ X ≤ 0,6) = 0,6 – 0,2 = 0,4.
b. Loi uniforme sur [a ; b]
Soit a et b deux réels tels que a < b.
Soit f la fonction définie sur [a ; b] par f (x) = .
f est une fonction de densité de probabilité sur [a ; b].
Démonstration

f (x) = b – a ≥ 0 pour tout x ∈ [a ; b].
f est continue sur [a ; b].

Soit X une variable aléatoire de densité de probabilité f.
On dit que X suit la loi uniforme sur [a ; b].
Si on note F sa fonction de répartition sur , alors :
Démonstration

Si x < a, F(X) = P(X ≤ x) = 0 (car comme a ≤ X ≤ b et x < a, alors x < a ≤ X et « X ≤ x » est un événement impossible).

Si x ∈ [a ; b], on a F(X) = P(X ≤ x= .

Si x > b, on a F(X) = P(X ≤ x) = 1 (car comme a ≤ X ≤ b et x > b, alors X ≤ b < x et « X ≤ x » est un événement certain).

Propriétés
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [a ; b].
Pour c et d deux réels tels que a ≤ c < d ≤ b, alors P(c ≤ X ≤ d) = .
L’espérance de X est égale à E(X) = .
La variance de X est égale à V(X) = .
Démonstrations

P(c ≤ X ≤ d) = P(X ≤ d) – P(X ≤ c) = F(d) – F(c) =

E(X) = 

Exemple
On choisit un nombre au hasard sur l’intervalle [3 ; 13].
Quelle est la probabilité que ce nombre soit compris entre 5 et 9 ?
Si on note X le nombre choisi, alors X est la variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [3 ; 13], dont la fonction de densité de probabilité f est définie sur [3 ; 13] par f (x) =  = 0,1.
On a P(5 ≤ X ≤ 9) =  = 0,4.
2. Loi exponentielle
Soit λ un nombre réel tel que λ > 0.
Soit f la fonction définie sur [0 ; +[ par f (x) = λe–λx.
f est une fonction de densité de probabilité sur [0 ; +∞[.
Exemple
f (x) = λe–λx avec λ = 3. La représentation graphique de f (x) est la suivante.
Démonstration

f (x) = λe–λx > 0 pour x > 0.
f est continue sur [0 ; +∞[.

Or .
Donc .

Soit X une variable aléatoire de densité de probabilité f.
On dit que X suit la loi exponentielle de paramètre λ.
Si on note F sa fonction de répartition sur , alors :
Exemple
f (x) = λe–λx avec λ = 3. La représentation graphique de est la suivante.
Démonstration

Si x < 0, F(x) = P(X ≤ x) = 0 (car comme X ≥ 0 et x < 0, alors x < 0 ≤ X et « X ≤ x » est un événement impossible).

Si x ≥ 0, on a F(X) = P(X ≤ x) =  = 1 – e–λx.

Propriétés
Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ.
Pour a et b deux réels positifs tels que a < b, P(a ≤ X ≤ b) = e–λa – e–λb.
L’espérance de X est égale à E(X= .
Démonstrations

P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) – P(X ≤ a) = F(b) – F(a) = (1 – e–λb) – (1 – e–λa= e–λa – e–λb.




Or,
Donc .

Propriété
Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ.
X est sans mémoire, autrement dit, pour deux réels positifs m et n non nuls, PX ≥ n(X ≥ m + n) = P(X ≥ m).
Démonstration

P(X ≥ n) = 1 – P(X ≤ n) = 1 – F(n) = 1 – (1 – e–λn) = e–λn  (R1)
PX ≥ n(X ≥ m + n) =  (d’après (R1))
PX ≥ n(X ≥ m + n) = e–λm = 1 – (1 – e–λm) = 1 – F(m) = 1 – P(X ≤ m) = P(X ≥ m)

Exemple
Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre 5.
La fonction de densité de probabilité de X est la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par f (x= 5e5x.
Si on note F sa fonction de répartition sur , on a :

Son espérance E(X) est égale à  = 0,2.
On a, par exemple, P(0,2 ≤ X ≤ 0,8) = e5 × 0,2 – e5 × 0,8 = e1 – e4  0,35.
De plus, comme la loi exponentielle est sans mémoire, on a par exemple : PX ≥ 0,5(X ≥ 1,2) = PX ≥ 0,5(X ≥ 0,7 + 0,5) = P(X ≥ 0,7) = e0,7 × 5 = e3,5 = 0,03.

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