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Loi uniforme continue et loi exponentielle

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Objectifs

Calculer des probabilités, ainsi que l’espérance et la variance d'une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0 ; 1], puis sur [a ; b].
Calculer des probabilités et l’espérance d'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle, en utilisant si besoin la propriété d’absence de mémoire.

Points clés

Soit a et b deux réels tels que a < b. Soit f la fonction définie sur [a ; b] par f (x) = . f est une fonction de densité de probabilité sur [a ; b].
Soit X une variable aléatoire de densité de probabilité f. On dit que X suit la loi uniforme sur [a ; b]. Si on note F sa fonction de répartition sur , alors :
Pour c et d deux réels tels que a ≤ c < d ≤ b, alors P(c ≤ X ≤ d) = .
L’espérance de X est égale à E(X) = .
La variance de X est égale à V(X) = .
Soit λ un nombre réel tel que λ > 0. Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par f (x) = λe^–λx. f est une fonction de densité de probabilité sur [0 ; +∞[.
Soit X une variable aléatoire de densité de probabilité f. On dit que X suit la loi exponentielle de paramètre λ. Si on note F sa fonction de répartition sur , alors :
Pour a et b deux réels positifs tels que a < b, P(a ≤ X ≤ b) = e^–λa – e^–λ^b. L’espérance de X est égale à E(X) = .
X est sans mémoire. Autrement dit, pour deux réels positifs m et n non nuls, P_X_≥_n(X ≥ m + n) = P(X ≥ m).

Pour bien comprendre

Connaitre la notion de fonction de densité de probabilité.
Calculer une probabilité.
Connaitre la notion de fonction de répartition.
Calculer une espérance et une variance d'une loi à densité.

1. Loi uniforme continue

Lorsque l’on choisit un nombre au hasard entre a et b, il faut utiliser une loi uniforme sur [a ; b].

a. Loi uniforme sur [0 ; 1]

Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par f (x) = 1.
f est une fonction de densité de probabilité sur [0 ; 1].

Démonstration

f (x) = 1 ≥ 0 pour tout x ∈ [0 ; 1].
f est continue sur [0 ; 1].

Soit X une variable aléatoire de densité de probabilité f.
On dit que X suit la loi uniforme sur [0 ; 1].
Si on note F sa fonction de répartition sur

, alors :

Démonstration

Si x < 0, F(X) = P(X ≤ x) = 0 (car comme 0 ≤ X ≤ 1 et x < 0, alors x < 0 ≤ X et « X ≤ x » est un événement impossible).

Si x ∈ [0 ; 1], on a F(X) = P(X ≤ x) = .

Si x > 1, on a F(X) = P(X ≤ x) = 1 (car comme 0 ≤ X ≤ 1 et x > 1, alors X ≤ 1 < x et « X ≤ x » est un événement certain).

Propriétés
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0 ; 1].
Pour a et b deux réels tels que 0 ≤ a < b ≤ 1, alors P(a ≤ X ≤ b) = b – a.
L’espérance de X sur [0 ; 1] est égale à E(X) =

.
La variance de X sur [0 ; 1] est égale à V(X) =

Démonstrations

P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) – P(X ≤ a) = F(b) – F(a) = b – a

Exemple
On choisit un nombre au hasard sur l’intervalle [0 ; 1].
Quelle est la probabilité que ce nombre soit compris entre 0,2 et 0,6 ?
Si on note X le nombre choisi, alors X est la variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0 ; 1], dont la fonction de densité de probabilité f est définie sur [0 ; 1] par f (x) = 1.
On a P(0,2 ≤ X ≤ 0,6) = 0,6 – 0,2 = 0,4.

b. Loi uniforme sur [a ; b]

Soit a et b deux réels tels que a < b.
Soit f la fonction définie sur [a ; b] par f (x) =

.
f est une fonction de densité de probabilité sur [a ; b].

Démonstration

f (x) = b – a ≥ 0 pour tout x ∈ [a ; b].
f est continue sur [a ; b].

Soit X une variable aléatoire de densité de probabilité f.
On dit que X suit la loi uniforme sur [a ; b].
Si on note F sa fonction de répartition sur

, alors :

Démonstration

Si x < a, F(X) = P(X ≤ x) = 0 (car comme a ≤ X ≤ b et x < a, alors x < a ≤ X et « X ≤ x » est un événement impossible).

Si x ∈ [a ; b], on a F(X) = P(X ≤ x) = .

Si x > b, on a F(X) = P(X ≤ x) = 1 (car comme a ≤ X ≤ b et x > b, alors X ≤ b < x et « X ≤ x » est un événement certain).

Propriétés
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [a ; b].
Pour c et d deux réels tels que a ≤ c < d ≤ b, alors P(c ≤ X ≤ d) =

.
L’espérance de X est égale à E(X) =

.
La variance de X est égale à V(X) =

Démonstrations

P(c ≤ X ≤ d) = P(X ≤ d) – P(X ≤ c) = F(d) – F(c) =

E(X) =

Exemple
On choisit un nombre au hasard sur l’intervalle [3 ; 13].
Quelle est la probabilité que ce nombre soit compris entre 5 et 9 ?
Si on note X le nombre choisi, alors X est la variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [3 ; 13], dont la fonction de densité de probabilité f est définie sur [3 ; 13] par f (x) =

= 0,1.
On a P(5 ≤ X ≤ 9) =

= 0,4.

2. Loi exponentielle

Soit λ un nombre réel tel que λ > 0.
Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par f (x) = λe^–λ^x.
f est une fonction de densité de probabilité sur [0 ; +∞[.

Exemple
f (x) = λe^–λ^x avec λ = 3. La représentation graphique de f (x) est la suivante.

Démonstration

f (x) = λe^–λ^x > 0 pour x > 0.
f est continue sur [0 ; +∞[.

Or .
Donc .

Soit X une variable aléatoire de densité de probabilité f.
On dit que X suit la loi exponentielle de paramètre λ.
Si on note F sa fonction de répartition sur

, alors :

Exemple
f (x) = λe^–λ^x avec λ = 3. La représentation graphique de

est la suivante.

Démonstration

Si x < 0, F(x) = P(X ≤ x) = 0 (car comme X ≥ 0 et x < 0, alors x < 0 ≤ X et « X ≤ x » est un événement impossible).

Si x ≥ 0, on a F(X) = P(X ≤ x) = = 1 – e^–λ^x.

Propriétés
Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ.
Pour a et b deux réels positifs tels que a < b, P(a ≤ X ≤ b) = e^–λ^a – e^–λ^b.
L’espérance de X est égale à E(X) =

Démonstrations

P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) – P(X ≤ a) = F(b) – F(a) = (1 – e^–λ^b) – (1 – e^–λ^a) = e^–λ^a – e^–λ^b.

Or,
Donc .

Propriété
Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ.
X est sans mémoire, autrement dit, pour deux réels positifs m et n non nuls, P_X_≥_n(X ≥ m + n) = P(X ≥ m).

Démonstration

P(X ≥ n) = 1 – P(X ≤ n) = 1 – F(n) = 1 – (1 – e^–λⁿ) = e^–λⁿ (R1)
P_X_≥_n(X ≥ m + n) = (d’après (R1))
P_X_≥_n(X ≥ m + n) = e^–λ^m = 1 – (1 – e^–λ^m) = 1 – F(m) = 1 – P(X ≤ m) = P(X ≥ m)

Exemple
Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre 5.
La fonction de densité de probabilité de X est la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par f (x) = 5e^–⁵^x.
Si on note F sa fonction de répartition sur

, on a :

Son espérance E(X) est égale à

= 0,2.
On a, par exemple, P(0,2 ≤ X ≤ 0,8) = e^–^5 × 0,2 – e^–^5 × 0,8 = e^–¹ – e^–⁴ ≈ 0,35.
De plus, comme la loi exponentielle est sans mémoire, on a par exemple : P_X_≥_0,5(X ≥ 1,2) = P_X_≥_0,5(X ≥ 0,7 + 0,5) = P(X ≥ 0,7) = e^–^0,7 × 5 = e^–^3,5 = 0,03.