Les limites usuelles des fonctions de référence - Maxicours

Les limites usuelles des fonctions de référence

Objectifs
  • Connaitre les différentes valeurs des limites d’une fonction usuelle.
  • Posséder un répertoire de limites permettant de déterminer une limite d'une fonction bâtie à partir de fonctions usuelles.
Points clés

Fonction

Limite

x ↦ x2
 
 x ↦ x3
 
 
 
 
 
 x ↦ lnx
 
 x ↦ ex
 
En  +  Fonction non définie 0  Fonction non définie 0
En 0 si x < 0 0 0   Fonction non définie   Fonction non définie 1
En 0 si x > 0 0 0 0 +∞ –∞ 1
En +∞ +∞ +∞ +∞ 0 +∞ +∞
Pour bien comprendre
  • Connaitre les fonctions usuelles.
  • Connaitre la notion de continuité d’une fonction.
1. Fonction carré, fonction cube

Les deux fonctions x x2 et x x3 sont définies et continues sur .

a. Limite en a réel fixé
Propriété
Les fonctions carré et cube étant continues sur , on a pour tout réel a fixé : et .
b. Limite en +infini
Propriété
et
Interprétation

Pour la fonction carré, par exemple, cela signifie que, pour tout réel N > 0 il existe un réel m > 0 tel que, pour tout x > m, on a x2 > N.
Du point de vue graphique, avec la fonction carré, on a :

Aussi grande soit la valeur de N choisie, il existera toujours une abscisse m au-delà de laquelle les ordonnées des points de la courbe seront supérieures à N.

c. Limite en -infini
Propriété
et .
Interprétation

Pour la fonction cube, par exemple, cela signifie que, pour tout réel N < 0, il existe un réel m < 0 tel que, pour tout x < m, on a x3 < N.
Du point de vue graphique, avec la fonction cube, on a :

Aussi petite soit la valeur de N choisie, il existera toujours une abscisse m avant laquelle les ordonnées des points de la courbe seront inférieures à N.

2. Fonction racine carrée

La fonction est définie et continue sur .

a. Limite en 0
Propriété
La fonction racine carrée étant continue sur , et comme , on a : .
b. Limite en +infini
Propriété
Interprétation

Cela signifie que, pour tout réel N > 0, il existe un réel > 0 tel que, pour tout x > m, on a .
Du point de vue graphique, on a :

Aussi grande soit la valeur de N choisie, il existera toujours une abscisse m au-delà de laquelle les ordonnées des points de la courbe seront supérieures à N.

3. Fonction inverse

La fonction est définie et continue sur et sur . Elle n'est pas continue en 0, ce qui explique qu'elle ait deux limites à étudier différemment selon que x tend vers 0 avec x < 0, ou que x tend vers 0 avec x > 0.

a. Limite en 0
Propriété
et .
Interprétation

Cela signifie que, pour tous réels N1< 0 et N2> 0, il existe des réels m1 < 0 et m2 > 0 tels que :

  • pour tout x tel que m1< x < 0, on a < N1.
  • pour tout x tel que 0 x < m2, on a > N2.

Du point de vue graphique, on a :

Aussi grandes soient les valeurs de N1 et N2 choisies, il existera toujours une abscisse m1< 0 telle que, pour tout x avec m1x < 0, les ordonnées des points de la courbe d'abscisse x seront inférieures à N1, et une abscisse m2> 0 telle que, pour tout x avec 0 x < m2, les ordonnées des points de la courbe d'abscisse x seront supérieures à N2.

b. Limite en +infini
Propriété
 
Interprétation

Cela signifie que, pour tout réel N > 0, il existe un réel m > 0 tel que, pour tout x > m, on a .
Du point de vue graphique, on a :

Aussi petite soit la valeur positive de N choisie, il existera toujours une abscisse m au-delà de laquelle les ordonnées des points de la courbe seront positives mais inférieures à N.

c. Limite en -infini
Propriété
 

Cette limite s'interprète de façon similaire à la précédente.

4. Fonction logarithme népérien

La fonction x ↦ ln x est définie et continue sur .

a. Limite en 0

Comme la fonction ln n'est pas définie si x 0, on étudie la limite en 0 de cette fonction lorsque x tend vers 0 par valeurs positives, c'est-à-dire lorsque x tend vers 0 avec x > 0.

Propriété
 
Interprétation

Cela signifie que, pour tout réel N < 0, il existe un réel m > 0 tel que, pour tout 0 x < m, on a ln x < N.
Du point de vue graphique, on a :

Aussi petite soit la valeur négative de N choisie, il existera toujours une abscisse m telle que, pour tout x avec 0 x < m, les ordonnées des points de la courbe d'abscisse x seront inférieures à N.

b. Limite en +infini
Propriété
 
Interprétation

Cela signifie que, pour tout réel N > 0, il existe un réel m > 0 tel que, pour tout x > m, on a ln x > N.
Du point de vue graphique, on a :

Aussi grande soit la valeur de N choisie, il existera toujours une abscisse m au-delà de laquelle les ordonnées des points de la courbe seront supérieures à N.

5. Fonction exponentielle

La fonction x ↦ ex est définie et continue sur .

a. Limite en -infini
Propriété
 
Interprétation

Cela signifie que, pour tout réel N > 0, il existe un réel m < 0 tel que, pour tout x < m, on a ex < N.
Du point de vue graphique, on a :

Aussi petite soit la valeur positive de N choisie, il existera toujours une abscisse m telle que pour tout x < m les ordonnées des points de la courbe d'abscisse x seront positives mais inférieures à N.

b. Limite en +infini
Propriété
 
Interprétation

Cela signifie que, pour tout réel N > 0, il existe un réel m > 0 tel que, pour tout x > m, on a ex > N.
Du point de vue graphique, on a :

Aussi grande soit la valeur de N choisie, il existera toujours une abscisse m au-delà de laquelle les ordonnées des points de la courbe seront supérieures à N.

6. Tableau de synthèse

Fonction

Limite

x ↦ x2
 
 x ↦ x3
 
 
 
 
 
 x ↦ lnx
 
 x ↦ ex
 
En  +  Fonction non définie 0  Fonction non définie 0
En 0 si x < 0 0 0   Fonction non définie   Fonction non définie 1
En 0 si x > 0 0 0 0 +∞ –∞ 1
En +∞ +∞ +∞ +∞ 0 +∞ +∞

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