Les limites usuelles des fonctions de référence
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Connaitre les différentes valeurs des limites d’une fonction usuelle.
- Posséder un répertoire de limites permettant de déterminer une limite d'une fonction bâtie à partir de fonctions usuelles.
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Fonction Limite |
x ↦ x2 |
x ↦ x3 |
 |
 |
x ↦ lnx |
x ↦ ex |
| En –∞ | +∞ | –∞ | Fonction non définie | 0 | Fonction non définie | 0 |
| En 0 si x < 0 | 0 | 0 | Fonction non définie | –∞ | Fonction non définie | 1 |
| En 0 si x > 0 | 0 | 0 | 0 | +∞ | –∞ | 1 |
| En +∞ | +∞ | +∞ | +∞ | 0 | +∞ | +∞ |
- Connaitre les fonctions usuelles.
- Connaitre la notion de continuité d’une fonction.
Les deux fonctions x ↦ x2 et
x ↦ x3 sont
définies et continues sur 
.
Les fonctions carré et cube étant continues sur
, on a pour tout
réel a fixé :
et 
.
et 
.
Pour la fonction carré, par exemple, cela
signifie que, pour tout réel N > 0 il existe un
réel m > 0 tel que, pour
tout x > m, on a x2 > N.
Du point de vue graphique, avec la fonction
carré, on a :
Aussi grande soit la valeur de N choisie, il existera toujours une abscisse m au-delà de laquelle les ordonnées des points de la courbe seront supérieures à N.
et 
.
Pour la fonction cube, par exemple, cela signifie que,
pour tout réel N < 0, il existe un
réel m < 0 tel que, pour
tout x < m, on a x3 < N.
Du point de vue graphique, avec la fonction cube, on
a :
Aussi petite soit la valeur de N choisie, il existera toujours une abscisse m avant laquelle les ordonnées des points de la courbe seront inférieures à N.
La fonction 
est définie et
continue sur 
.
La fonction racine carrée étant continue sur
, et comme 
, on a :
.
Cela signifie que, pour tout réel
N
> 0, il existe
un réel m > 0 tel que, pour tout
x > m,
on a 
.
Du point de vue graphique, on a :
Aussi grande soit la valeur de N choisie, il existera toujours une abscisse m au-delà de laquelle les ordonnées des points de la courbe seront supérieures à N.
La fonction est définie et
continue sur 
et sur 
. Elle n'est pas continue
en 0, ce qui explique qu'elle ait deux limites
à étudier différemment selon
que x
tend vers 0 avec x < 0, ou que
x tend
vers 0 avec x > 0.
et 
.
Cela signifie que, pour tous réels N1< 0 et N2> 0, il existe des réels m1 < 0 et m2 > 0 tels que :
- pour tout x tel que m1< x < 0, on a
< N1.
- pour tout x tel que
0 < x < m2,
on a >
N2.
Du point de vue graphique, on a :
Aussi grandes soient les valeurs de N1 et N2 choisies, il existera toujours une abscisse m1< 0 telle que, pour tout x avec m1< x < 0, les ordonnées des points de la courbe d'abscisse x seront inférieures à N1, et une abscisse m2> 0 telle que, pour tout x avec 0 < x < m2, les ordonnées des points de la courbe d'abscisse x seront supérieures à N2.
Cela signifie que, pour tout réel
N
> 0, il existe
un réel m > 0 tel que, pour
tout x > m, on a 
.
Du point de vue graphique, on a :
Aussi petite soit la valeur positive de N choisie, il existera toujours une abscisse m au-delà de laquelle les ordonnées des points de la courbe seront positives mais inférieures à N.
Cette limite s'interprète de façon similaire à la précédente.
La fonction x
↦ ln
x est
définie et continue sur .
Comme la fonction ln n'est pas définie si x ≤ 0, on étudie la limite en 0 de cette fonction lorsque x tend vers 0 par valeurs positives, c'est-à-dire lorsque x tend vers 0 avec x > 0.
Cela signifie que, pour tout réel
N
< 0, il existe
un réel m > 0 tel que, pour
tout 0 < x < m,
on a ln x < N.
Du point de vue graphique, on a :
Aussi petite soit la valeur négative de N choisie, il existera toujours une abscisse m telle que, pour tout x avec 0 < x < m, les ordonnées des points de la courbe d'abscisse x seront inférieures à N.
Cela signifie que, pour tout réel
N
> 0, il existe
un réel m > 0 tel que, pour
tout x > m, on a ln x > N.
Du point de vue graphique, on a :
Aussi grande soit la valeur de N choisie, il existera toujours une abscisse m au-delà de laquelle les ordonnées des points de la courbe seront supérieures à N.
La fonction x
↦
ex est définie et
continue sur .
Cela signifie que, pour tout réel
N
> 0, il existe
un réel m < 0 tel que, pour
tout x < m,
on a ex < N.
Du point de vue graphique, on a :
Aussi petite soit la valeur positive de N choisie, il existera toujours une abscisse m telle que pour tout x < m les ordonnées des points de la courbe d'abscisse x seront positives mais inférieures à N.
Cela signifie que, pour tout réel
N
> 0, il existe
un réel m > 0 tel que, pour
tout x > m, on a ex > N.
Du point de vue graphique, on a :
Aussi grande soit la valeur de N choisie, il existera toujours une abscisse m au-delà de laquelle les ordonnées des points de la courbe seront supérieures à N.
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Fonction Limite |
x ↦ x2 |
x ↦ x3 |
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x ↦ lnx |
x ↦ ex |
| En –∞ | +∞ | –∞ | Fonction non définie | 0 | Fonction non définie | 0 |
| En 0 si x < 0 | 0 | 0 | Fonction non définie | –∞ | Fonction non définie | 1 |
| En 0 si x > 0 | 0 | 0 | 0 | +∞ | –∞ | 1 |
| En +∞ | +∞ | +∞ | +∞ | 0 | +∞ | +∞ |
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