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Les limites usuelles des fonctions de référence

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Objectifs

Connaitre les différentes valeurs des limites d’une fonction usuelle.
Posséder un répertoire de limites permettant de déterminer une limite d'une fonction bâtie à partir de fonctions usuelles.

Points clés

Fonction Limite	x ↦ x²	x ↦ x³			x ↦ lnx	x ↦ e^x
En –∞	+∞	–∞	Fonction non définie	0	Fonction non définie	0
En 0 si x < 0	0	0	Fonction non définie	–∞	Fonction non définie	1
En 0 si x > 0	0	0	0	+∞	–∞	1
En +∞	+∞	+∞	+∞	0	+∞	+∞

Pour bien comprendre

Connaitre les fonctions usuelles.
Connaitre la notion de continuité d’une fonction.

1. Fonction carré, fonction cube

Les deux fonctions x ↦ x² et x ↦ x³ sont définies et continues sur .

a. Limite en a réel fixé

Propriété
Les fonctions carré et cube étant continues sur

, on a pour tout réel a fixé :

b. Limite en +infini

Propriété
et .

Interprétation

Pour la fonction carré, par exemple, cela signifie que, pour tout réel N > 0 il existe un réel m > 0 tel que, pour tout x > m, on a x² > N.
Du point de vue graphique, avec la fonction carré, on a :

Aussi grande soit la valeur de N choisie, il existera toujours une abscisse m au-delà de laquelle les ordonnées des points de la courbe seront supérieures à N.

c. Limite en -infini

Propriété

Interprétation

Pour la fonction cube, par exemple, cela signifie que, pour tout réel N < 0, il existe un réel m < 0 tel que, pour tout x < m, on a x³ < N.
Du point de vue graphique, avec la fonction cube, on a :

Aussi petite soit la valeur de N choisie, il existera toujours une abscisse m avant laquelle les ordonnées des points de la courbe seront inférieures à N.

2. Fonction racine carrée

La fonction est définie et continue sur .

a. Limite en 0

Propriété
La fonction racine carrée étant continue sur

, et comme

, on a :

b. Limite en +infini

Propriété

Interprétation

Cela signifie que, pour tout réel N > 0, il existe un réel m > 0 tel que, pour tout x > m, on a .
Du point de vue graphique, on a :

Aussi grande soit la valeur de N choisie, il existera toujours une abscisse m au-delà de laquelle les ordonnées des points de la courbe seront supérieures à N.

3. Fonction inverse

La fonction est définie et continue sur et sur . Elle n'est pas continue en 0, ce qui explique qu'elle ait deux limites à étudier différemment selon que x tend vers 0 avec x < 0, ou que x tend vers 0 avec x > 0.

a. Limite en 0

Propriété

Interprétation

Cela signifie que, pour tous réels N₁< 0 et N₂> 0, il existe des réels m₁ < 0 et m₂ > 0 tels que :

pour tout x tel que m₁< x < 0, on a < N₁.
pour tout x tel que 0 < x < m₂, on a > N₂.

Du point de vue graphique, on a :

Aussi grandes soient les valeurs de N₁ et N₂ choisies, il existera toujours une abscisse m₁< 0 telle que, pour tout x avec m₁< x < 0, les ordonnées des points de la courbe d'abscisse x seront inférieures à N₁, et une abscisse m₂> 0 telle que, pour tout x avec 0 < x < m₂, les ordonnées des points de la courbe d'abscisse x seront supérieures à N₂.

b. Limite en +infini

Propriété

Interprétation

Cela signifie que, pour tout réel N > 0, il existe un réel m > 0 tel que, pour tout x > m, on a .
Du point de vue graphique, on a :

Aussi petite soit la valeur positive de N choisie, il existera toujours une abscisse m au-delà de laquelle les ordonnées des points de la courbe seront positives mais inférieures à N.

c. Limite en -infini

Propriété

Cette limite s'interprète de façon similaire à la précédente.

4. Fonction logarithme népérien

La fonction x ↦ ln x est définie et continue sur .

a. Limite en 0

Comme la fonction ln n'est pas définie si x ≤ 0, on étudie la limite en 0 de cette fonction lorsque x tend vers 0 par valeurs positives, c'est-à-dire lorsque x tend vers 0 avec x > 0.

Propriété

Interprétation

Cela signifie que, pour tout réel N < 0, il existe un réel m > 0 tel que, pour tout 0 < x < m, on a ln x < N.
Du point de vue graphique, on a :

Aussi petite soit la valeur négative de N choisie, il existera toujours une abscisse m telle que, pour tout x avec 0 < x < m, les ordonnées des points de la courbe d'abscisse x seront inférieures à N.

b. Limite en +infini

Propriété

Interprétation

Cela signifie que, pour tout réel N > 0, il existe un réel m > 0 tel que, pour tout x > m, on a ln x > N.
Du point de vue graphique, on a :

Aussi grande soit la valeur de N choisie, il existera toujours une abscisse m au-delà de laquelle les ordonnées des points de la courbe seront supérieures à N.

5. Fonction exponentielle

La fonction x ↦ e^x est définie et continue sur .

a. Limite en -infini

Propriété

Interprétation

Cela signifie que, pour tout réel N > 0, il existe un réel m < 0 tel que, pour tout x < m, on a e^x < N.
Du point de vue graphique, on a :

Aussi petite soit la valeur positive de N choisie, il existera toujours une abscisse m telle que pour tout x < m les ordonnées des points de la courbe d'abscisse x seront positives mais inférieures à N.

b. Limite en +infini

Propriété

Interprétation

Cela signifie que, pour tout réel N > 0, il existe un réel m > 0 tel que, pour tout x > m, on a e^x > N.
Du point de vue graphique, on a :

Aussi grande soit la valeur de N choisie, il existera toujours une abscisse m au-delà de laquelle les ordonnées des points de la courbe seront supérieures à N.

6. Tableau de synthèse

Fonction Limite	x ↦ x²	x ↦ x³			x ↦ lnx	x ↦ e^x
En –∞	+∞	–∞	Fonction non définie	0	Fonction non définie	0
En 0 si x < 0	0	0	Fonction non définie	–∞	Fonction non définie	1
En 0 si x > 0	0	0	0	+∞	–∞	1
En +∞	+∞	+∞	+∞	0	+∞	+∞