La fonction logarithme népérien : propriétés et définitions, dérivée
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- Introduire une nouvelle fonction usuelle, à savoir la fonction logarithme népérien.
- Donner les premières propriétés de cette fonction.
- La fonction logarithme népérien,
notée ln, est la
fonction définie sur
qui à tout réel x strictement positif associe l’unique solution de l’équation d’inconnue t : et = x. L’inconnue réelle t est notée ln(x).
- Autrement dit, pour tout réel x strictement positif, la fonction ln est la fonction qui vérifie l’égalité : eln(x) = x.
- Pour tout couple de réels (x ; t), on dispose des
propositions suivantes.
- Si x > 0, alors
x = et
t = ln(x)
- ln(ex) = x
- ln(1) = 0 et ln(e) = 1.
- Si x > 0, alors
x = et
- Relation fonctionnelle : pour tout couple (a ; b) de réels strictement positifs, on dispose de l’égalité ln(a × b) = ln(a) + ln(b).
- Pour tout couple (a ; b) de réels
strictement positifs, on dispose des propositions
suivantes :
et
.
- Pour tout entier relatif
n, on a
et
.
- La fonction logarithme népérien est
continue et dérivable sur
et pour tout réel x strictement positif, on dispose de l’égalité
.
- Connaitre la fonction exponentielle.
- Maitriser le théorème des valeurs intermédiaires.
Conformément à l’esprit du programme officiel, on se place dans le cas où l’on connait déjà la fonction exponentielle, ainsi que le théorème des valeurs intermédiaires et ses corollaires.
La fonction exponentielle est continue (puisque
dérivable) et strictement croissante sur
.
Ses limites aux infinis sont : et
.
Donc l’ensemble image de par exp est l’intervalle
.
Le réel t, solution unique de l’équation et = λ sera appelé le logarithme népérien de λ et noté ln(λ).

L’inconnue réelle t est notée ln(x).
Autrement dit, pour tout réel x strictement positif, la fonction ln est la fonction qui vérifie l’égalité : eln(x) = x.
La fonction ln est liée de par sa définition à la fonction exp.
Pour tout couple de réels (x ; t), on dispose des propositions suivantes :
• (P1) : Si x > 0, alors x = et

• (P2) : ln(ex) = x
• (P3) : ln(1) = 0 et ln(e) = 1.
• (P1) n’est qu’une autre traduction de
la définition.
• Pour (P2) : Soit x un réel.
ex > 0,
on peut alors poser t = ln(ex).
t = ln(ex) ex = et,
d’après (P1) et ex = et
x = t.
• Pour (P3) : e0 = 1, donc ln(1) = 0 et e1 = e donc ln(e) = 1.
Pour tout couple (a ; b) de réels strictement positifs, on dispose de l’égalité :
ln(a × b) = ln(a) + ln(b).
Soit (a ; b) un couple de
réels tel que a > 0 et
b > 0.
a × b > 0,
donc on peut poser : P = ln(a × b)
et S = ln(a) + ln(b).
On a eP = a × b et eS = eln(a) + ln(b) = eln(a) × eln(b) = a × b, donc eP = eS, soit P = S.
On dit que le logarithme népérien transforme des produits en sommes.
Pour tout couple (a ; b) de réels strictement positifs, on dispose des propositions suivantes :
• (P1) :

• (P2) :

• (P3) : Pour tout entier relatif n,

• (P4) :

Soit (a ; b) un couple de
réels tel que a > 0 et
b > 0.
• Pour (P1) : , donc
;
or, ln(1) = 0, donc (P1)
est vraie.
• Pour (P2), on utilise .
• Pour (P3), on utilise un raisonnement par
récurrence (que l’on ne fait pas ici) pour
n entier
naturel.
Pour n entier
non naturel (n < 0), on
a :
.
• Pour (P4) : , donc
.
La fonction logarithme népérien est continue et dérivable sur


On admet ici la continuité et la
dérivabilité de ln ; on démontre la
formule.
Soit x un
réel tel que x > 0.
On a :
eln(x) = x ;
or ln est
dérivable sur , donc x → eln(x)
l’est aussi, donc (eln(x))’ = (x)’,
soit (ln
x)’ × elnx = 1,
ou encore (ln x)’ × x = 1.
Finalement .
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