La fonction logarithme népérien : propriétés et définitions, dérivée
- Fiche de cours
- Quiz
- Profs en ligne
- Videos
- Application mobile
- Introduire une nouvelle fonction usuelle, à savoir la fonction logarithme népérien.
- Donner les premières propriétés de cette fonction.
- La fonction logarithme népérien,
notée ln, est la
fonction définie sur
qui à tout réel
x strictement
positif associe l’unique solution de
l’équation
d’inconnue t :
et = x.
L’inconnue réelle t est
notée ln(x).
- Autrement dit, pour tout réel x strictement positif, la fonction ln est la fonction qui vérifie l’égalité : eln(x) = x.
- Pour tout couple de réels (x ; t), on dispose des
propositions suivantes.
- Si x > 0, alors
x = et
t = ln(x)
- ln(ex) = x
- ln(1) = 0 et ln(e) = 1.
- Si x > 0, alors
x = et
- Relation fonctionnelle : pour tout couple (a ; b) de réels strictement positifs, on dispose de l’égalité ln(a × b) = ln(a) + ln(b).
- Pour tout couple (a ; b) de réels
strictement positifs, on dispose des propositions
suivantes :
et 
.
- Pour tout entier relatif
n, on a
et 
.
- La fonction logarithme népérien est
continue et dérivable sur
et pour tout
réel x strictement positif, on
dispose de l’égalité 
.
- Connaitre la fonction exponentielle.
- Maitriser le théorème des valeurs intermédiaires.
Conformément à l’esprit du programme officiel, on se place dans le cas où l’on connait déjà la fonction exponentielle, ainsi que le théorème des valeurs intermédiaires et ses corollaires.
La fonction exponentielle est continue (puisque
dérivable) et strictement croissante sur
.
Ses limites aux infinis sont : 
et 
.
Donc l’ensemble image de 
par exp est l’intervalle
.
Le réel t, solution unique de l’équation et = λ sera appelé le logarithme népérien de λ et noté ln(λ).
qui à tout
réel x strictement positif
associe l’unique solution de
l’équation d’inconnue t :
et = x.L’inconnue réelle t est notée ln(x).
Autrement dit, pour tout réel x strictement positif, la fonction ln est la fonction qui vérifie l’égalité : eln(x) = x.
La fonction ln est liée de par sa définition à la fonction exp.
Pour tout couple de réels (x ; t), on dispose des propositions suivantes :
• (P1) : Si x > 0, alors x = et
t = ln(x)• (P2) : ln(ex) = x
• (P3) : ln(1) = 0 et ln(e) = 1.
• (P1) n’est qu’une autre traduction de
la définition.
• Pour (P2) : Soit x un réel.
ex > 0,
on peut alors poser t = ln(ex).
t = ln(ex) 
ex = et,
d’après (P1) et ex = et 
x = t.
• Pour (P3) : e0 = 1, donc ln(1) = 0 et e1 = e donc ln(e) = 1.
Pour tout couple (a ; b) de réels strictement positifs, on dispose de l’égalité :
ln(a × b) = ln(a) + ln(b).
Soit (a ; b) un couple de
réels tel que a > 0 et
b > 0.
a × b > 0,
donc on peut poser : P = ln(a × b)
et S = ln(a) + ln(b).
On a eP = a × b et eS = eln(a) + ln(b) = eln(a) × eln(b) = a × b, donc eP = eS, soit P = S.
On dit que le logarithme népérien transforme des produits en sommes.
Pour tout couple (a ; b) de réels strictement positifs, on dispose des propositions suivantes :
• (P1) :
• (P2) :
• (P3) : Pour tout entier relatif n,
• (P4) :
.
Soit (a ; b) un couple de
réels tel que a > 0 et
b > 0.
• Pour (P1) : 
, donc 
;
or, ln(1) = 0, donc (P1)
est vraie.
• Pour (P2), on utilise 
.
• Pour (P3), on utilise un raisonnement par
récurrence (que l’on ne fait pas ici) pour
n entier
naturel.
Pour n entier
non naturel (n < 0), on
a :
.
• Pour (P4) : 
, donc 
.
La fonction logarithme népérien est continue et dérivable sur
et pour tout
réel x strictement positif, on
dispose de l’égalité :
.
On admet ici la continuité et la
dérivabilité de ln ; on démontre la
formule.
Soit x un
réel tel que x > 0.
On a :
eln(x) = x ;
or ln est
dérivable sur 
, donc x → eln(x)
l’est aussi, donc (eln(x))’ = (x)’,
soit (ln
x)’ × elnx = 1,
ou encore (ln x)’ × x = 1.
Finalement 
.
Comment as-tu trouvé ce cours ?
Évalue ce cours !
Vous avez obtenu75%de bonnes réponses !
Recevez l'intégralité des bonnes réponses ainsi que les rappels de cours associés :
Fiches de cours les plus recherchées
Mathématiques complémentaires
La fonction logarithme népérien : variations et limites - maths complémentaires
Mathématiques complémentaires
La détermination de primitives - spé maths complémentaires
Mathématiques complémentaires
Le calcul intégral : aire sous une courbe de fonction continue - Maths complémentaires
Mathématiques complémentaires
Nouvelle définition et propriétés de l'intégrale- Maths complémentaires
Mathématiques complémentaires
Intégrales et primitives
Mathématiques complémentaires
Schéma de Bernoulli et loi binomiale
Mathématiques complémentaires
Coefficients binomiaux et loi de Pascal
Mathématiques complémentaires
Densité de probabilité et fonction de répartition
Mathématiques complémentaires
Point moyen et droite d'ajustement
Mathématiques complémentaires
La droite de régression : la méthode des moindres carrés
Fermer
Accédez gratuitement à
