Point moyen et droite d'ajustement - Maxicours

Point moyen et droite d'ajustement

Objectifs
  • Représenter un nuage de points.
  • Calculer les coordonnées d’un point moyen.
  • Utiliser un ajustement pour interpoler ou extrapoler dans le cadre d’une résolution de problème.
Points clés
  • Lorsqu'on étudie deux caractères statistiques sur une population donnée, on obtient une série statistique double. On note souvent les valeurs prises par le premier caractère x1 ; x2 ;  ... ;  xn et celles prises par le second y1 ;  y2 ;  ... ;  yn. Les valeurs prises par cette série sont alors les couples (x1 ; y1), (x2 ; y2), … , (xn ; yn).
  • L'ensemble des points M1M2, … , Mn de coordonnées respectives (x1 ; y1), (x2 ; y2), … , (xn ; yn) dans un repère du plan est appelé « nuage de points de la série ».
  • Le point moyen du nuage de points M1(x1 ; y1), M2(x2 ; y2), … , Mn(xn ; yn) est le point, souvent noté G, dont les coordonnées sont les moyennes arithmétiques des abscisses et des ordonnées des points M1M2, … , Mn. On a donc , soit .
  • Lorsqu’un nuage de points représentant une série statistique double est constitué de points à peu près alignés, on peut construire une droite passant au plus près de ces points. On dit alors qu’on réalise un ajustement affine du nuage.
Pour bien comprendre

Calculer la moyenne d’une série statistique.

1. Série statistique double
Lorsqu'on étudie deux caractères statistiques sur une population donnée, on obtient une série statistique double.
On note souvent les valeurs prises par le premier caractère x1 ; x2 ; … ; xn et celles prises par le second y1 ; y2 ; ... ; yn.
Les valeurs prises par cette série sont alors les couples (x1 ; y1), (x2 ; y2), … , (xn ; yn).
Exemple
En prévision du lancement d'un produit, une société a effectué une enquête auprès d'une population ciblée de clients potentiels pour fixer le prix de vente de ce produit. Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous.
Prix xi de vente en euros 100 110 120 130 140 150 160 170
Nombre yi d'acheteurs éventuels 105 95 75 68 53 46 31 28
Le premier caractère est le prix xi de vente en euros, le second le nombre yi d'acheteurs éventuels. Les valeurs prises par cette série sont donc les couples (100 ; 105), (110 ; 95), … , (170 ; 28).
2. Nuage de points
On considère une série statistique double qui prend les valeurs x1 ; … ; xn pour le premier caractère et y1 ; … ;  yn pour le second.
L'ensemble des points M1M2, … , Mn de coordonnées respectives (x1 ; y1), (x2 ; y2), … , (xn ; yn) dans un repère du plan est appelé « nuage de points de la série ».

On convient donc de représenter cette série graphiquement par son nuage de points associé.

Exemple
On peut représenter le nuage de points de la série de l'exemple précédent, en plaçant les points M1(100 ; 105), M2(110 ; 95), … , M8(170 ; 28) dans un repère aux unités graphiques adaptées à la situation.
Remarque
En pratique, dans les exercices d'entrainement au baccalauréat, les unités graphiques sont imposées afin de faciliter le tracé.
3. Point moyen
On considère une série statistique double qui prend les valeurs x1 ; … ; xn pour le premier caractère et y1 ; … ; yn pour le second. On représente cette série par un nuage de points.
Le point moyen du nuage de points M1(x1 ; y1), M2(x2 ; y2), … , Mn(xn ; yn) est le point, souvent noté G, dont les coordonnées sont les moyennes arithmétiques des abscisses et des ordonnées des points M1M2, … , Mn.
On a donc , soit .
Exemple
Dans l'exemple précédent, on a :


Soit à 0,01 près G(135 ; 62,63).
4. Droite d’ajustement affine
Lorsqu’un nuage de points représentant une série statistique double est constitué de points à peu près alignés, on peut construire une droite passant au plus près de ces points. On dit alors qu’on réalise un ajustement affine du nuage.

Plusieurs méthodes sont possibles pour obtenir une droite d’ajustement, on peut :

  • la faire passer par deux points du nuage ;
  • la tracer de manière à avoir autant de points de chaque côté de celle-ci ;
  • la faire passer par le point moyen ;
  • utiliser la méthode des moindres carrés…
Remarque
Se référer à la fiche « La droite de régression : la méthode des moindres carrés ».

Cet ajustement affine permet de faire des estimations :

  • une interpolation, quand on cherche à estimer une valeur dans le domaine d’étude ;
  • une extrapolation, quand on cherche à estimer une valeur en dehors du domaine d’étude.
Exemple
En reprenant le nuage de points obtenu dans les exemples précédents, on peut tracer une droite passant au plus près de ces points étant donné qu’ils semblent presque alignés.

Avec cet ajustement, on peut estimer que si le prix de vente est fixé à 155 €, il y aura environ 40 acheteurs éventuels (interpolation).
On peut également penser que si le prix de vente est fixé à 90 €, il y aura environ 112 acheteurs éventuels (extrapolation).

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