Coefficients binomiaux et loi de Pascal
Déterminer des coefficients binomiaux à l'aide du triangle de Pascal.
- Soit deux entiers naturels n et k tels que
et 
. Le coefficient binomial
(qu’on lit
« k
parmi n ») est le nombre
de parties de k éléments
distincts dans un ensemble de n éléments
(sans tenir compte de l’ordre).
- Le coefficient binomial est également le
nombre de chemins à
k succès d’un schéma
de Bernoulli de taille n.
- Soit n un
entier naturel. On a
; 
et 
.
- Relation de Pascal :
.
- Pour deux entiers naturels n et k tels que et , on a
.
- Pour deux entiers naturels n et k tels que et , dans le
développement de (x + 1)n, le
terme xk a pour coefficient le
coefficient binomial .
et .Le coefficient binomial
(qu’on lit
« k parmi n ») est le
nombre de parties de k éléments
distincts dans un ensemble de n éléments
(sans tenir compte de l’ordre).
est le nombre de
parties de 2 éléments dans un
ensemble de 3 éléments.
Les parties de 2 éléments dans
l’ensemble {A ; B ; C} sont {A ; B}, {A ; C} et {B ; C}.
On a donc = 3.
est le nombre de parties
de 2 éléments dans un ensemble de
5 éléments.Les parties de 2 éléments dans l’ensemble {A ; B ; C ; D ; E} sont {A ; B}, {A ; C}, {A ; D}, {A ; E}, {B ; C}, {B ; D}, {B ; E}, {C ; D}, {C ; E} et {D ; E}.
On a donc
= 10.
est
également le nombre de chemins à
k succès
d’un schéma de Bernoulli de
taille n.
est le nombre de chemins
à 2 succès d’un schéma
de Bernoulli de taille 3.
On retrouve = 3.
Soit n un entier naturel. On a
;
et .
|
est le nombre de parties de 0 élément dans un ensemble de n éléments. |
|
| est le nombre de chemins à 0 succès d’un schéma de Bernoulli de taille n. | ||
|
est le nombre de parties de n éléments dans un ensemble de n éléments. |
|
| est le nombre de chemins à n succès d’un schéma de Bernoulli de taille n. | ||
|
est le nombre de parties de 1 élément dans un ensemble de n éléments. |
|
| est le nombre de chemins à 1 succès d’un schéma de Bernoulli de taille n. |
.
Soit deux entiers naturels n et k tels que et .
Intéressons-nous au coefficient binomial
.
Ce coefficient binomial est le nombre de chemins
à k + 1 succès
d’un schéma de Bernoulli de taille
n + 1.
- S’ils commencent par un succès, il
reste à trouver le nombre de chemins à
k succès
d’un schéma de Bernoulli de
taille n, soit .
- S’ils commencent par un échec, il
reste à trouver le nombre de chemins à
k + 1 succès
d’un schéma de Bernoulli de
taille n, soit
.
On obtient ainsi la relation dite « de Pascal ».
Relation de Pascal :
Grâce à la formule de Pascal , on peut
construire le tableau suivant appelé triangle
de Pascal.
On lit par exemple que lorsque n = 3 et
k = 2,
alors 
.
- On prépare un tableau carré de la
taille souhaitée (ici 5 × 5).
- En utilisant le fait que pour tout
n,
, on remplit la
première colonne.
- Comme , alors on
obtient :
- Comme il est impossible d’obtenir plus de
succès qu’il n’y a
d’épreuves, alors
si
k > n.
- En utilisant la formule de Pascal , on a par
exemple
.
- On continue de cette manière pour
compléter le tableau.
On remarque que les valeurs non nulles du tableau se situent dans un triangle, c’est le triangle de Pascal.
On remarque également qu’il y a une symétrie sur chaque ligne :
Pour deux entiers naturels n et k tels que
et , on a
.
Pour deux entiers naturels n et k tels que
et , dans le
développement de (x + 1)n, le
terme xk a pour coefficient
le coefficient binomial .
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