Coefficients binomiaux et loi de Pascal

Soit deux entiers naturels n et k tels que et .
Intéressons-nous au coefficient binomial .
Ce coefficient binomial est le nombre de chemins à k + 1 succès d’un schéma de Bernoulli de taille n + 1.

• S’ils commencent par un succès, il reste à trouver le nombre de chemins à k succès d’un schéma de Bernoulli de taille n, soit .
• S’ils commencent par un échec, il reste à trouver le nombre de chemins à k + 1 succès d’un schéma de Bernoulli de taille n, soit .

On obtient ainsi la relation dite « de Pascal ».

Propriété
Relation de Pascal :

Exemple

Grâce à la formule de Pascal , on peut construire le tableau suivant appelé triangle de Pascal.

On lit par exemple que lorsque n = 3 et k = 2, alors .

1. On prépare un tableau carré de la taille souhaitée (ici 5 × 5).
   
2. En utilisant le fait que pour tout n, , on remplit la première colonne.
   
3. Comme , alors on obtient :
   
4. Comme il est impossible d’obtenir plus de succès qu’il n’y a d’épreuves, alors si k > n.
   
5. En utilisant la formule de Pascal , on a par exemple .
   
6. On continue de cette manière pour compléter le tableau.
   

On remarque que les valeurs non nulles du tableau se situent dans un triangle, c’est le triangle de Pascal.

On remarque également qu’il y a une symétrie sur chaque ligne :

Propriété
Pour deux entiers naturels n et k tels que et , on a .