Fiche de cours

Coefficients binomiaux et loi de Pascal

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Objectif

Déterminer des coefficients binomiaux à l'aide du triangle de Pascal.

Points clés
  • Soit deux entiers naturels n et k tels que et . Le coefficient binomial (qu’on lit « k parmi n ») est le nombre de parties de k éléments distincts dans un ensemble de n éléments (sans tenir compte de l’ordre).
  • Le coefficient binomial est également le nombre de chemins à k succès d’un schéma de Bernoulli de taille n.
  • Soit n un entier naturel. On a  ; et .
  • Relation de Pascal : .
  • Pour deux entiers naturels n et k tels que et , on a .
  • Pour deux entiers naturels n et k tels que et , dans le développement de (x + 1)n, le terme xk a pour coefficient le coefficient binomial .
1. Coefficients binomiaux
a. Définitions
Soit deux entiers naturels n et k tels que et .
Le coefficient binomial (qu’on lit « k parmi n ») est le nombre de parties de k éléments distincts dans un ensemble de n éléments (sans tenir compte de l’ordre).
Exemples

est le nombre de parties de 2 éléments dans un ensemble de 3 éléments.
Les parties de 2 éléments dans l’ensemble {A ; B ; C} sont {A ; B}, {A ; C} et {B ; C}.
On a donc  = 3.

est le nombre de parties de 2 éléments dans un ensemble de 5 éléments.
Les parties de 2 éléments dans l’ensemble {A ; B ; C ; D ; E} sont {A ; B}, {A ; C}, {A ; D}, {A ; E}, {B ; C}, {B ; D}, {B ; E}, {C ; D}, {C ; E} et {D ; E}.
On a donc  = 10.
Le coefficient binomial est également le nombre de chemins à k succès d’un schéma de Bernoulli de taille n.
Exemple
est le nombre de chemins à 2 succès d’un schéma de Bernoulli de taille 3.

On retrouve  = 3.

b. Cas particuliers
Propriétés
Soit n un entier naturel. On a   ; et .
Démonstrations
est le nombre de parties de 0 élément dans un ensemble de n éléments.
est le nombre de chemins à 0 succès d’un schéma de Bernoulli de taille n.
est le nombre de parties de n éléments dans un ensemble de n éléments.
est le nombre de chemins à n succès d’un schéma de Bernoulli de taille n.
est le nombre de parties de 1 élément dans un ensemble de n éléments.
est le nombre de chemins à 1 succès d’un schéma de Bernoulli de taille n.
Exemples
.
2. Loi et triangle de Pascal
a. La formule (ou loi) de Pascal

Soit deux entiers naturels n et k tels que et .
Intéressons-nous au coefficient binomial .
Ce coefficient binomial est le nombre de chemins à k + 1 succès d’un schéma de Bernoulli de taille n + 1.

  • S’ils commencent par un succès, il reste à trouver le nombre de chemins à k succès d’un schéma de Bernoulli de taille n, soit .
  • S’ils commencent par un échec, il reste à trouver le nombre de chemins à k + 1 succès d’un schéma de Bernoulli de taille n, soit .

On obtient ainsi la relation dite « de Pascal ».

Propriété
Relation de Pascal :
Exemple
b. Triangle de Pascal et symétrie

Grâce à la formule de Pascal , on peut construire le tableau suivant appelé triangle de Pascal.

On lit par exemple que lorsque n = 3 et k = 2, alors .

Construction du triangle
  1. On prépare un tableau carré de la taille souhaitée (ici 5 × 5).
  2. En utilisant le fait que pour tout n, , on remplit la première colonne.
  3. Comme , alors on obtient :
  4. Comme il est impossible d’obtenir plus de succès qu’il n’y a d’épreuves, alors si k > n.
  5. En utilisant la formule de Pascal , on a par exemple .
  6. On continue de cette manière pour compléter le tableau.

On remarque que les valeurs non nulles du tableau se situent dans un triangle, c’est le triangle de Pascal.

On remarque également qu’il y a une symétrie sur chaque ligne :

Propriété
Pour deux entiers naturels n et k tels que et , on a .
c. Lien avec le développement de (x + 1)^n
Propriété
Pour deux entiers naturels n et k tels que et , dans le développement de (x + 1)n, le terme xk a pour coefficient le coefficient binomial .
Exemples




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