Nouvelle définition et propriétés de l'intégrale

Théorème
Soit a et b deux réels tels que a ≤ b.
Soit f une fonction continue et positive sur [a ; b].
La fonction est la primitive de f qui s'annule en a.

Donc et .
On dispose donc de l’égalité .

Si G est une autre primitive de f sur [a ; b], alors G = F + k, où k est une constante.

Donc G(b) – G(a) = F(b) – F(a) ; ainsi l’égalité ne dépend pas du choix de la primitive de f.

On démontre et on admet ici que cette égalité reste vraie lorsque f n’est pas positive.
On dispose alors maintenant d’une autre définition de l’intégrale, définition qui fournit un moyen de calcul simple et rapide de cette notion.

Propriété
Pour toute fonction f définie et continue sur [a ; b], , où F est une primitive de f sur [a ; b].

Remarque
Ainsi, et à partir de maintenant, n’est rien d’autre qu’un nombre, à savoir le nombre F(b) – F(a). Il reste que ce nombre sera de temps à autre un nombre qui exprimera une aire, mais il y aura d’autres applications.

Exemple
Calculer .
On a pour tout réel x, (x³)’ = 3x², donc est une primitive de f : x → x².
On a donc : .

Reste le cas où a > b.
Dans le cas contraire, on a , donc .

Propriété
Soit (a ; b) un couple de réels.
Pour toute fonction f continue sur un intervalle contenant les nombres a et b, on dispose de l’égalité :
.

Dans tout ce paragraphe, f est une fonction continue sur un intervalle I contenant le couple de nombres (a ; b).

Théorème : relation de Chasles
Si c est un réel de I, alors on dispose de l’égalité : .

Si a < b, on appelle valeur moyenne de f sur [a ; b] le nombre égal à .

Une entreprise fabrique un produit en quantité x (en tonnes) qui varie dans l’intervalle [0 ; 3]. Le bénéfice est alors donné, en milliers d’euros, par la fonction B définie par B(x) = –3x² + 8x – 1.
Calculons la valeur moyenne du bénéfice sur l’intervalle [0 ; 3].

On calcule la valeur moyenne de la fonction B sur [0 ; 3].

On cherche une primitive de la fonction B.
Pour tout réel x, on a (x³)’ = 3x², donc x ↦ –x³ est une primitive de la fonction x ↦ –3x².
Pour tout réel x, on a (x²)’ = 2x, donc x ↦ x² est une primitive de la fonction x ↦ 2x. Par conséquent, x ↦ 4x² est une primitive de la fonction x ↦ 8x.
Pour tout réel x, on a (x)’ = 1, donc x ↦ –x est une primitive de la fonction x ↦ –1.
Ainsi par somme, F : x ↦ –x³ + 4x² – x est une primitive de la fonction B.
Donc B(x)dx = F(3) – F(0) = –3³ + 4 × 3² – 3 – 0 = 6.

Ainsi la valeur moyenne du bénéfice sur l’intervalle [0 ; 3] est de 6 milliers d’euros.