Nouvelle définition et propriétés de l'intégrale
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- Donner une nouvelle définition de la notion d’intégrale, liée à la notion de primitive, qui permettra dans de nombreux cas de calculer rapidement une intégrale.
- Donner les propriétés de l’intégrale.
- Soit a et b deux réels tels que a ≤ b et f une fonction continue sur [a ; b]. La fonction est la primitive de f qui s’annule en a.
- Pour toute fonction f définie et continue sur [a ; b], , où F est une primitive de f sur [a ; b].
- Soit (a ; b) un couple de réels. Pour toute fonction f continue sur un intervalle contenant les nombres a et b, on dispose de l’égalité .
- Relation de Chasles : Soit f une fonction continue sur un intervalle Icontenant le couple de nombres (a ; b). Si c est un réel de I, alors on dispose de l’égalité : .
- Si a < b, on appelle valeur moyenne de f sur [a ; b] le nombre égal à .
Déterminer la primitive d'une fonction.
Soit a et b deux réels tels que a ≤ b.
Soit f une fonction continue et positive sur [a ; b].
La fonction est la primitive de f qui s'annule en a.
Donc et .
On dispose donc de l’égalité
.
Si G est une
autre primitive de f sur [a ; b], alors
G = F + k, où
k est une
constante.
Donc G(b) – G(a) = F(b) – F(a) ;
ainsi l’égalité ne dépend pas du
choix de la primitive de f.
On démontre et on admet ici que cette
égalité reste vraie lorsque f n’est pas
positive.
On dispose alors maintenant d’une autre
définition de l’intégrale,
définition qui fournit un moyen de calcul simple
et rapide de cette notion.
Pour toute fonction f définie et continue sur [a ; b], , où F est une primitive de f sur [a ; b].
Ainsi, et à partir de maintenant, n’est rien d’autre qu’un nombre, à savoir le nombre F(b) – F(a). Il reste que ce nombre sera de temps à autre un nombre qui exprimera une aire, mais il y aura d’autres applications.
Calculer .
On a pour tout réel x, (x3)’ = 3x2, donc est une primitive de f : x → x2.
On a donc : .
Reste le cas où a > b.
Dans le cas contraire, on a , donc .
Soit (a ; b) un couple de réels.
Pour toute fonction f continue sur un intervalle contenant les nombres a et b, on dispose de l’égalité :
.
Dans tout ce paragraphe, f est une fonction continue sur un intervalle I contenant le couple de nombres (a ; b).
Si c est un réel de I, alors on dispose de l’égalité : .
Une entreprise fabrique un produit en quantité
x (en tonnes)
qui varie dans l’intervalle [0 ; 3]. Le
bénéfice est alors donné, en
milliers d’euros, par la fonction B définie par
B(x) = –3x2 + 8x
– 1.
Calculons la valeur moyenne du bénéfice sur
l’intervalle [0 ; 3].
On calcule la valeur moyenne de la fonction B sur
[0 ; 3].
On cherche une primitive de la fonction B.
Pour tout réel x, on a (x3)’
= 3x2, donc x ↦ –x3
est une primitive de la fonction x ↦ –3x2.
Pour tout réel x, on a (x2)’
= 2x, donc x ↦ x2
est une primitive de la fonction x ↦ 2x.
Par conséquent, x ↦ 4x2
est une primitive de la fonction x ↦ 8x.
Pour tout réel x, on a (x)’
= 1, donc x ↦ –x
est une primitive de la fonction x ↦ –1.
Ainsi par somme, F : x ↦ –x3 + 4x2
– x est une primitive de la
fonction B.
Donc B(x)dx = F(3) – F(0) =
–33 + 4 × 32 – 3 – 0 = 6.
Ainsi la valeur moyenne du bénéfice sur l’intervalle [0 ; 3] est de 6 milliers d’euros.
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