Limite infinie d'une fonction en un point
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- Définir la notion de limite infinie d'une fonction en un réel a.
- Évoquer sur un exemple la notion de limite à droite et à gauche d'un réel a.
- Soit f une
fonction définie sur un
intervalle I et
soit a un
réel appartenant à I. On dit que f admet pour limite le
réel l lorsque x tend
vers a si
les valeurs de f (x) sont aussi proches
de l que
l’on veut lorsque les valeurs
de x
deviennent proches de a. On note
.
- On dit que f
est continue en a lorsque
.
- f est continue sur I si f est continue en tout point de I.
- On dit que f
admet pour limite +∞ lorsque x tend vers a si les valeurs
de f (x) deviennent de plus en
plus grandes lorsque les valeurs de x deviennent proches
de a. On
note
.
- On dit que f
admet pour limite –∞ lorsque
x tend
vers a si
les valeurs de f (x) deviennent
négatives et de plus en plus petites lorsque les
valeurs de x deviennent proches
de a. On
note
.
Connaitre l’allure des courbes représentatives des fonctions de référence.
On dit que f admet pour limite le réel l lorsque x tend vers a si les valeurs de f(x) sont aussi proches de l que l’on veut lorsque les valeurs de x deviennent proches de a.
On note
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f (x) = 3x2 – 1.
x | 1,5 | 1,9 | 1,99 | 1,999 | 1,9999 |
f (x) | 5,75 | 9,83 | 10,8803 | 10,9880 | 10,9988 |
Lorsque les valeurs de x se rapprochent de plus
en plus de 2, les valeurs de f (x) se rapprochent de
plus en plus de 11.
Ainsi .
Interprétation graphique :
Soit M un point
d’abscisse x de la courbe
représentant f : M(x ; f
(x)) et soit
A(2 ; f (2)).
Lorsque le point M se rapproche du
point A,
c’est-à-dire lorsque son
abscisse x devient proche de 2,
alors son ordonnée f (x) devient proche de
f (2) = 11.

On dit que f est continue
en a lorsque
.
Dans l’exemple précédent, la fonction f est continue en 2 car :


Une fonction f est continue sur un intervalle I lorsqu’on peut tracer la courbe de f sur I sans lever le crayon.
Soit f la fonction inverse (f (x) =




De même, on peut tracer la courbe sans lever le crayon sur


En revanche, la fonction inverse n’est pas continue en 0.
On dit que f admet pour limite +∞ lorsque x tend vers a si les valeurs de f (x) deviennent de plus en plus grandes lorsque les valeurs de x deviennent proches de a.
On note
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f (x) =

x | 0,1 = 10–1 | 0,01 = 10–2 | 0,001 = 10–3 | 0,0001 = 10–4 | 0,00001 = 10–5 |
f (x) |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
On remarque que lorsque les valeurs
de x
deviennent proches de 0, les valeurs
de f (x) deviennent de plus en
plus grandes.
Ainsi f
admet pour limite +∞ lorsque x tend vers 0,
avec x > 0.
Donc .
Interprétation graphique :
On imagine un point M sur la courbe dont
l’abscisse x devient de plus en
plus proche de 0. Le point M se déplace et son
ordonnée f (x) devient de plus en
plus grande.

On dit que f admet pour limite –∞ lorsque x tend vers a si les valeurs de f (x) deviennent négatives et de plus en plus petites lorsque les valeurs de x deviennent proches de a.
On note
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]–∞ ; 0[ par f (x) =

x | –0,1 | –0,01 | –0,001 | –0,0001 |
f (x) |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
On remarque que lorsque les valeurs
de x
négatives deviennent proches de 0, les
valeurs de f (x) deviennent
négatives et de plus en plus petites.
Ainsi f
admet pour limite –∞ lorsque x tend vers 0 avec
x < 0.
Donc .
Interprétation graphique :
On imagine un point M sur la courbe dont
l’abscisse x devient de plus en plus
proche de 0. Le point M se déplace et son
ordonnée f (x) devient de plus en
plus petite négativement.

Une fonction peut admettre deux limites différentes en un point a suivant si x > a ou x < a.
Par exemple, la fonction inverse admet deux limites différentes en 0 :
et
.

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