Limite infinie d'une fonction en un point
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Définir la notion de limite infinie d'une fonction en un réel a.
- Évoquer sur un exemple la notion de limite à droite et à gauche d'un réel a.
- Soit f une
fonction définie sur un
intervalle I et
soit a un
réel appartenant à I. On dit que f admet pour limite le
réel l lorsque x tend
vers a si
les valeurs de f (x) sont aussi proches
de l que
l’on veut lorsque les valeurs
de x
deviennent proches de a. On note
.
- On dit que f
est continue en a lorsque
.
- f est continue sur I si f est continue en tout point de I.
- On dit que f
admet pour limite +∞ lorsque x tend vers a si les valeurs
de f (x) deviennent de plus en
plus grandes lorsque les valeurs de x deviennent proches
de a. On
note
.
- On dit que f
admet pour limite –∞ lorsque
x tend
vers a si
les valeurs de f (x) deviennent
négatives et de plus en plus petites lorsque les
valeurs de x deviennent proches
de a. On
note
.
Connaitre l’allure des courbes représentatives des fonctions de référence.
On dit que f admet pour limite le réel l lorsque x tend vers a si les valeurs de f(x) sont aussi proches de l que l’on veut lorsque les valeurs de x deviennent proches de a.
On note
.
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f (x) = 3x2 – 1.
| x | 1,5 | 1,9 | 1,99 | 1,999 | 1,9999 |
| f (x) | 5,75 | 9,83 | 10,8803 | 10,9880 | 10,9988 |
Lorsque les valeurs de x se rapprochent de plus
en plus de 2, les valeurs de f (x) se rapprochent de
plus en plus de 11.
Ainsi 
.
Interprétation graphique :
Soit M un point
d’abscisse x de la courbe
représentant f : M(x ; f
(x)) et soit
A(2 ; f (2)).
Lorsque le point M se rapproche du
point A,
c’est-à-dire lorsque son
abscisse x devient proche de 2,
alors son ordonnée f (x) devient proche de
f (2) = 11.
On dit que f est continue
en a lorsque
.
Dans l’exemple précédent, la fonction f est continue en 2 car :
et
f (2)
= 3 ×
22 – 1 = 11, donc
.
Une fonction f est continue sur un intervalle I lorsqu’on peut tracer la courbe de f sur I sans lever le crayon.
Soit f la fonction inverse (f (x) =
) dont on donne la
représentation graphique ci-dessous.
, donc la fonction inverse
est continue sur 
.De même, on peut tracer la courbe sans lever le crayon sur
donc la fonction inverse
est continue sur 
.En revanche, la fonction inverse n’est pas continue en 0.
On dit que f admet pour limite +∞ lorsque x tend vers a si les valeurs de f (x) deviennent de plus en plus grandes lorsque les valeurs de x deviennent proches de a.
On note
.
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f (x) =
. Alors :
| x | 0,1 = 10–1 | 0,01 = 10–2 | 0,001 = 10–3 | 0,0001 = 10–4 | 0,00001 = 10–5 |
| f (x) |
 = 101
|
 = 102
|
 = 103
|
 = 104
|
 = 105
|
On remarque que lorsque les valeurs
de x
deviennent proches de 0, les valeurs
de f (x) deviennent de plus en
plus grandes.
Ainsi f
admet pour limite +∞ lorsque x tend vers 0,
avec x > 0.
Donc 
.
Interprétation graphique :
On imagine un point M sur la courbe dont
l’abscisse x devient de plus en
plus proche de 0. Le point M se déplace et son
ordonnée f (x) devient de plus en
plus grande.
On dit que f admet pour limite –∞ lorsque x tend vers a si les valeurs de f (x) deviennent négatives et de plus en plus petites lorsque les valeurs de x deviennent proches de a.
On note
.
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]–∞ ; 0[ par f (x) =
. Alors :
| x | –0,1 | –0,01 | –0,001 | –0,0001 |
| f (x) |
 = –10
|
 = –100
|
 = –1000
|
 = –10 000
|
On remarque que lorsque les valeurs
de x
négatives deviennent proches de 0, les
valeurs de f (x) deviennent
négatives et de plus en plus petites.
Ainsi f
admet pour limite –∞ lorsque x tend vers 0 avec
x < 0.
Donc 
.
Interprétation graphique :
On imagine un point M sur la courbe dont
l’abscisse x devient de plus en plus
proche de 0. Le point M se déplace et son
ordonnée f (x) devient de plus en
plus petite négativement.
Une fonction peut admettre deux limites différentes en un point a suivant si x > a ou x < a.
Par exemple, la fonction inverse admet deux limites différentes en 0 :
et
.
Évalue ce cours !
Des quiz et exercices pour mieux assimiler sa leçon
La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des quiz et exercices en accompagnement de chaque fiche de cours. Les exercices permettent de vérifier si la leçon est bien comprise ou s’il reste encore des notions à revoir.
Des exercices variés pour ne pas s’ennuyer
Les exercices se déclinent sous toutes leurs formes sur myMaxicours ! Selon la matière et la classe étudiées, retrouvez des dictées, des mots à relier ou encore des phrases à compléter, mais aussi des textes à trous et bien d’autres formats !
Dans les classes de primaire, l’accent est mis sur des exercices illustrés très ludiques pour motiver les plus jeunes.
Des quiz pour une évaluation en direct
Les quiz et exercices permettent d’avoir un retour immédiat sur la bonne compréhension du cours. Une fois toutes les réponses communiquées, le résultat s’affiche à l’écran et permet à l’élève de se situer immédiatement.
myMaxicours offre des solutions efficaces de révision grâce aux fiches de cours et aux exercices associés. L’élève se rassure pour le prochain examen en testant ses connaissances au préalable.
Des vidéos et des podcasts pour apprendre différemment
Certains élèves ont une mémoire visuelle quand d’autres ont plutôt une mémoire auditive. myMaxicours s’adapte à tous les enfants et adolescents pour leur proposer un apprentissage serein et efficace.
Découvrez de nombreuses vidéos et podcasts en complément des fiches de cours et des exercices pour une année scolaire au top !
Des podcasts pour les révisions
La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des podcasts de révision pour toutes les classes à examen : troisième, première et terminale.
Les ados peuvent écouter les différents cours afin de mieux les mémoriser en préparation de leurs examens. Des fiches de cours de différentes matières sont disponibles en podcasts ainsi qu’une préparation au grand oral avec de nombreux conseils pratiques.
Des vidéos de cours pour comprendre en image
Des vidéos de cours illustrent les notions principales à retenir et complètent les fiches de cours. De quoi réviser sa prochaine évaluation ou son prochain examen en toute confiance !
Fiches de cours les plus recherchées
Mathématiques complémentaires
La limite finie ou infinie d'une fonction en l'infini
Mathématiques complémentaires
L'asymptote parallèle à l'un des axes de coordonnées
Mathématiques complémentaires
Fonctions continues et non continues sur un intervalle
Mathématiques complémentaires
Le théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction continue strictement monotone - Maths complémentaires
Mathématiques complémentaires
La fonction logarithme népérien : propriétés et définitions, dérivée
Mathématiques complémentaires
La fonction logarithme népérien : variations et limites - maths complémentaires
Mathématiques complémentaires
La détermination de primitives - spé maths complémentaires
Mathématiques complémentaires
Le calcul intégral : aire sous une courbe de fonction continue - Maths complémentaires
Mathématiques complémentaires
Nouvelle définition et propriétés de l'intégrale- Maths complémentaires
Mathématiques complémentaires
Intégrales et primitives
Fermer
Accédez gratuitement à
