Limite infinie d'une fonction en un point - Cours de Mathématiques Terminale S avec Maxicours - Lycée

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Limite infinie d'une fonction en un point

Objectifs :
• Définir la notion de limite infinie d'une fonction en un réel .
• Évoquer sur un exemple la notion de limite à droite et à gauche d'un réel .
1. Limite infinie d'une fonction en a
Soit une fonction et un réel.
• « tend vers lorsque tend vers » ou « a pour limite en » signifie que tout intervalle de la forme contient tous les nombres pour tout assez proche de .
On note   ou  .

Remarque :
Il existe une démonstration similaire pour tendant vers .
 
Exemple : définie pour par . La limite de en est .
Pour établir ce résultat, on démontre que pour tout , si ; alors .
En effet, si alors et ; et si   alors et .
2. Limite à droite, limite à gauche
• « La limite à droite de en est » signifie que tout intervalle avec , contient pour tout assez proche de et supérieur à .

• « La limite à droite de en est » signifie que tout intervalle avec , contient  pour tout assez proche de et supérieur à .
On note :  et  .
 
On définit de même les expressions « la limite à gauche de en est » et « la limite à gauche de en est » en remplaçant et supérieur à par et inférieur à .
On note :   et 

En pratique :

  • ; si et et si lorsque , , alors la limite à droite de en est .

  ; si et et si lorsque , , alors la limite à droite de en est .

De même pour la limite à gauche en .

Exemples :

  et  ;

  ; en effet lorsque tend vers et , alors tend vers et .

; en effet lorsque tend vers et , alors tend vers et .

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