Limite infinie d'une fonction en un point
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- Définir la notion de limite infinie d'une fonction en un réel a.
- Évoquer sur un exemple la notion de limite à droite et à gauche d'un réel a.
- Soit f une
fonction définie sur un
intervalle I et
soit a un
réel appartenant à I. On dit que f admet pour limite le
réel l lorsque x tend
vers a si
les valeurs de f (x) sont aussi proches
de l que
l’on veut lorsque les valeurs
de x
deviennent proches de a. On note
.
- On dit que f
est continue en a lorsque
.
- f est continue sur I si f est continue en tout point de I.
- On dit que f
admet pour limite +∞ lorsque x tend vers a si les valeurs
de f (x) deviennent de plus en
plus grandes lorsque les valeurs de x deviennent proches
de a. On
note
.
- On dit que f
admet pour limite –∞ lorsque
x tend
vers a si
les valeurs de f (x) deviennent
négatives et de plus en plus petites lorsque les
valeurs de x deviennent proches
de a. On
note
.
Connaitre l’allure des courbes représentatives des fonctions de référence.
On dit que f admet pour limite le réel l lorsque x tend vers a si les valeurs de f(x) sont aussi proches de l que l’on veut lorsque les valeurs de x deviennent proches de a.
On note
.
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f (x) = 3x2 – 1.
| x | 1,5 | 1,9 | 1,99 | 1,999 | 1,9999 |
| f (x) | 5,75 | 9,83 | 10,8803 | 10,9880 | 10,9988 |
Lorsque les valeurs de x se rapprochent de plus
en plus de 2, les valeurs de f (x) se rapprochent de
plus en plus de 11.
Ainsi 
.
Interprétation graphique :
Soit M un point
d’abscisse x de la courbe
représentant f : M(x ; f
(x)) et soit
A(2 ; f (2)).
Lorsque le point M se rapproche du
point A,
c’est-à-dire lorsque son
abscisse x devient proche de 2,
alors son ordonnée f (x) devient proche de
f (2) = 11.
On dit que f est continue
en a lorsque
.
Dans l’exemple précédent, la fonction f est continue en 2 car :
et
f (2)
= 3 ×
22 – 1 = 11, donc
.
Une fonction f est continue sur un intervalle I lorsqu’on peut tracer la courbe de f sur I sans lever le crayon.
Soit f la fonction inverse (f (x) =
) dont on donne la
représentation graphique ci-dessous.
, donc la fonction inverse
est continue sur 
.De même, on peut tracer la courbe sans lever le crayon sur
donc la fonction inverse
est continue sur 
.En revanche, la fonction inverse n’est pas continue en 0.
On dit que f admet pour limite +∞ lorsque x tend vers a si les valeurs de f (x) deviennent de plus en plus grandes lorsque les valeurs de x deviennent proches de a.
On note
.
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f (x) =
. Alors :
| x | 0,1 = 10–1 | 0,01 = 10–2 | 0,001 = 10–3 | 0,0001 = 10–4 | 0,00001 = 10–5 |
| f (x) |
 = 101
|
 = 102
|
 = 103
|
 = 104
|
 = 105
|
On remarque que lorsque les valeurs
de x
deviennent proches de 0, les valeurs
de f (x) deviennent de plus en
plus grandes.
Ainsi f
admet pour limite +∞ lorsque x tend vers 0,
avec x > 0.
Donc 
.
Interprétation graphique :
On imagine un point M sur la courbe dont
l’abscisse x devient de plus en
plus proche de 0. Le point M se déplace et son
ordonnée f (x) devient de plus en
plus grande.
On dit que f admet pour limite –∞ lorsque x tend vers a si les valeurs de f (x) deviennent négatives et de plus en plus petites lorsque les valeurs de x deviennent proches de a.
On note
.
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]–∞ ; 0[ par f (x) =
. Alors :
| x | –0,1 | –0,01 | –0,001 | –0,0001 |
| f (x) |
 = –10
|
 = –100
|
 = –1000
|
 = –10 000
|
On remarque que lorsque les valeurs
de x
négatives deviennent proches de 0, les
valeurs de f (x) deviennent
négatives et de plus en plus petites.
Ainsi f
admet pour limite –∞ lorsque x tend vers 0 avec
x < 0.
Donc 
.
Interprétation graphique :
On imagine un point M sur la courbe dont
l’abscisse x devient de plus en plus
proche de 0. Le point M se déplace et son
ordonnée f (x) devient de plus en
plus petite négativement.
Une fonction peut admettre deux limites différentes en un point a suivant si x > a ou x < a.
Par exemple, la fonction inverse admet deux limites différentes en 0 :
et
.
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