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Limite infinie d'une fonction en un point

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Objectifs

Définir la notion de limite infinie d'une fonction en un réel a.
Évoquer sur un exemple la notion de limite à droite et à gauche d'un réel a.

Points clés

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et soit a un réel appartenant à I. On dit que f admet pour limite le réel l lorsque x tend vers a si les valeurs de f (x) sont aussi proches de l que l’on veut lorsque les valeurs de x deviennent proches de a. On note .
On dit que f est continue en a lorsque .
f est continue sur I si f est continue en tout point de I.
On dit que f admet pour limite +∞ lorsque x tend vers a si les valeurs de f (x) deviennent de plus en plus grandes lorsque les valeurs de x deviennent proches de a. On note .
On dit que f admet pour limite –∞ lorsque x tend vers a si les valeurs de f (x) deviennent négatives et de plus en plus petites lorsque les valeurs de x deviennent proches de a. On note .

Pour bien comprendre

Connaitre l’allure des courbes représentatives des fonctions de référence.

1. Limite finie d'une fonction en un point a

Soit f définie sur un intervalle I et soit a un réel appartenant à I.

On dit que f admet pour limite le réel l lorsque x tend vers a si les valeurs de f(x) sont aussi proches de l que l’on veut lorsque les valeurs de x deviennent proches de a.

On note

Exemple
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f (x) = 3x² – 1.

x	1,5	1,9	1,99	1,999	1,9999
f (x)	5,75	9,83	10,8803	10,9880	10,9988

Lorsque les valeurs de x se rapprochent de plus en plus de 2, les valeurs de f (x) se rapprochent de plus en plus de 11.
Ainsi .

Interprétation graphique :
Soit M un point d’abscisse x de la courbe représentant f : M(x ; f (x)) et soit A(2 ; f (2)).
Lorsque le point M se rapproche du point A, c’est-à-dire lorsque son abscisse x devient proche de 2, alors son ordonnée f (x) devient proche de f (2) = 11.

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et soit a un réel appartenant à I.

On dit que f est continue en a lorsque .

On dit que f est continue sur I lorsque f est continue en tout point de I.

Exemple
Dans l’exemple précédent, la fonction f est continue en 2 car :

et f (2) = 3 × 2² – 1 = 11, donc

Interprétation graphique

Une fonction f est continue sur un intervalle I lorsqu’on peut tracer la courbe de f sur I sans lever le crayon.

Exemple
Soit f la fonction inverse (f (x) =

) dont on donne la représentation graphique ci-dessous.

On peut tracer la courbe sans lever le crayon sur

, donc la fonction inverse est continue sur

.
De même, on peut tracer la courbe sans lever le crayon sur

donc la fonction inverse est continue sur

.
En revanche, la fonction inverse n’est pas continue en 0.

2. Limite infinie d'une fonction en a

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et soit a un réel appartenant à I.

On dit que f admet pour limite +∞ lorsque x tend vers a si les valeurs de f (x) deviennent de plus en plus grandes lorsque les valeurs de x deviennent proches de a.

On note

Exemple
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f (x) =

. Alors :

x	0,1 = 10^–1	0,01 = 10^–2	0,001 = 10^–3	0,0001 = 10^–4	0,00001 = 10^–5
f (x)	= 10¹	= 10²	= 10³	= 10⁴	= 10⁵

On remarque que lorsque les valeurs de x deviennent proches de 0, les valeurs de f (x) deviennent de plus en plus grandes.
Ainsi f admet pour limite +∞ lorsque x tend vers 0, avec x > 0.
Donc .

Interprétation graphique :
On imagine un point M sur la courbe dont l’abscisse x devient de plus en plus proche de 0. Le point M se déplace et son ordonnée f (x) devient de plus en plus grande.

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et soit a un réel appartenant à I.

On dit que f admet pour limite –∞ lorsque x tend vers a si les valeurs de f (x) deviennent négatives et de plus en plus petites lorsque les valeurs de x deviennent proches de a.

On note

Exemple
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]–∞ ; 0[ par f (x) =

. Alors :

x	–0,1	–0,01	–0,001	–0,0001
f (x)	= –10	= –100	= –1000	= –10 000

On remarque que lorsque les valeurs de x négatives deviennent proches de 0, les valeurs de f (x) deviennent négatives et de plus en plus petites.
Ainsi f admet pour limite –∞ lorsque x tend vers 0 avec x < 0.
Donc .

Interprétation graphique :
On imagine un point M sur la courbe dont l’abscisse x devient de plus en plus proche de 0. Le point M se déplace et son ordonnée f (x) devient de plus en plus petite négativement.

Remarque importante
Une fonction peut admettre deux limites différentes en un point a suivant si x > a ou x < a.
Par exemple, la fonction inverse admet deux limites différentes en 0 :

et .