Limite infinie d'une fonction en un point
Objectifs :
• Définir la notion de limite infinie d'une
fonction en un réel 
.
• Évoquer sur un exemple la notion de limite à droite et à gauche d'un réel
.
.• Évoquer sur un exemple la notion de limite à droite et à gauche d'un réel
.
1. Limite infinie d'une fonction en a
Soit 
une fonction et 
un réel.
• «
tend vers 
lorsque 
tend vers 
» ou « 
a pour limite 
en 
» signifie que tout
intervalle de la forme 
contient tous les nombres
pour tout 
assez proche de 
.
On note
ou 
.
une fonction et un réel.• «
tend vers lorsque tend vers » ou « a pour limite en » signifie que tout
intervalle de la forme contient tous les nombres
pour tout assez proche de .On note
ou .
Remarque :
Il existe une démonstration similaire pour
tendant vers 
.Exemple :
définie pour 
par 
. La limite de 
en 
est 
.Pour établir ce résultat, on démontre que pour tout
, si 
; alors 
.En effet, si
alors 
et 
; et si 
alors 
et 
.
2. Limite à droite, limite à gauche
• « La limite à droite de
en 
est 
» signifie que tout intervalle 
avec 
,
contient 
pour tout 
assez proche de 
et
supérieur à 
.
• « La limite à droite de
en
est 
» signifie que tout intervalle 
avec 
,
contient 
pour tout 
assez proche de 
et
supérieur à 
.
On note :
et 
.
en
est
» signifie que tout intervalle
avec ,
contient
pour tout
assez proche de et
supérieur à .• « La limite à droite de
en
est
» signifie que tout intervalle
avec ,
contient
pour tout
assez proche de et
supérieur à .On note :
et .
On définit de même les expressions «
la limite à gauche de 
en 
est 
» et « la limite à gauche de
en 
est 
» en remplaçant et supérieur
à 
par et inférieur à 
.
On note :
et 
en est
» et « la limite à gauche de
en
est
» en remplaçant et supérieur
à
par et inférieur à .On note :
et
En pratique :
•
; si 
et 
et si lorsque 
, 
, alors la limite à
droite de 
en 
est 
.•
; si 
et 
et si lorsque 
, 
, alors la limite à
droite de 
en 
est 
.
De même pour la limite à gauche en
.
Exemples :
•
et 
;•
; en effet lorsque 
tend vers 
et 
, alors 
tend vers 
et 
.•
; en effet lorsque 
tend vers 
et 
, alors 
tend vers 
et 
.
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