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L'asymptote parallèle à l'un des axes de coordonnées

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Objectif

Interpréter graphiquement certaines limites.

Points clés

Soit une fonction f et (C) sa courbe représentative.

  • Si ƒ = L ou ƒ = L, alors la droite d'équation y = L est asymptote horizontale à la courbe (C).
  • Si la fonction ƒ admet une limite égale à +∞ ou –∞ en a (éventuellement quand x → a avec x > a ou quand x → a avec x < a), alors x = a est asymptote verticale à la courbe (C).
1. Asymptote horizontale
Soit une fonction ƒ et (C) sa courbe représentative.
Si ƒ = L ou ƒ = L, alors la droite d'équation y = L est asymptote horizontale à la courbe (C).
Remarque
Si pour x assez grand (ou négatif et assez grand en valeur absolue) ƒ(x) > L, alors la courbe (C) est au dessus de son asymptote y = L ; et si dans les même conditions, ƒ(x) < L, alors la courbe (C) est en dessous de son asymptote y = L.
Exemple
La droite y = 0 (l'axe des abscisses) est asymptote horizontale à la courbe de la fonction ƒ définie pour x ≠ 0 par ƒ(x) = et quel que soit x ≠ 0, ƒ(x) > 0 ; donc la courbe est au-dessus de son asymptote horizontale.
2. Asymptote verticale
Soit ƒ une fonction et (C) sa courbe représentative. Soit a un nombre réel.
Si la fonction ƒ admet une limite égale à +∞ ou –∞ en a (éventuellement quand x → a avec x > a ou quand x → a avec x < a), alors x = a est asymptote verticale à la courbe (C).
Exemple
Illustration graphique de la situation avec la fonction définie par pour x ≠ 5.
La droite d'équation x = 5 est une asymptote verticale à la courbe.

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