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La loi géométrique

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Objectifs
  • Identifier des situations où une variable aléatoire suit une loi géométrique.
  • Calculer des probabilités pour une variable aléatoire suivant une loi géométrique.
  • Utiliser l’espérance d’une loi géométrique.
  • Utiliser en situation la caractérisation d’une loi géométrique par l’absence de mémoire.
Points clés
  • Lors de la répétition d’une épreuve de Bernoulli de paramètre p, la variable aléatoire X comptant le nombre d’essais nécessaires avant d’obtenir un premier succès suit la loi géométrique de paramètre p.
  • On a P(X = k) = (1  p)k1 × p et .
  • Une variable aléatoire X suivant une loi géométrique est dite sans mémoire, PX > n(X > m + n) = P(X > m).
Pour bien comprendre
  • Savoir ce qu’est une épreuve de Bernoulli et un schéma de Bernoulli.
  • Calculer une probabilité conditionnelle.
1. Définition et expression
Soit une épreuve de Bernoulli de paramètre p et X la variable aléatoire comptant le nombre de répétitions nécessaires de cette épreuve pour obtenir un premier succès.

Le premier succès ne pouvant survenir qu’après au moins une première épreuve, X prend des valeurs entières non nulles.

On dit que X suit la loi géométrique de paramètre p.
Exemple
On lance un dé cubique équilibré. La variable aléatoire X comptant le nombre de lancers nécessaires pour obtenir un 6 suit une loi géométrique de paramètre .
Propriété
Si X suit la loi géométrique de paramètre p, alors, pour tout entier naturel k non nul, on a P(X = k) = (1 – p)k – 1 × p.

En effet, P(X = k) est la probabilité que le premier succès survienne à la kième répétition de l’épreuve, c’est-à-dire que les (k – 1)ième premières répétitions se soient soldées par un échec. Dans un schéma de Bernoulli, un seul chemin permet d’obtenir k – 1 échecs d’abord puis un succès ensuite, et la probabilité de ce chemin vaut (1 – p)k – 1 × p.

Exemple
Lorsqu’on lance un dé cubique équilibré, la probabilité d’obtenir un 6 au cinquième lancer (et pas avant) est égale à : .
2. Représentation graphique

On peut représenter graphiquement les lois géométriques.

Exemple
On considère la loi géométrique de paramètre 0,2.
On a P(X = k) = (1 – 0,2)k – 1 × 0,2 = 0,2 × 0,8k – 1.
On obtient le tableau de valeurs et la représentation graphique suivants.
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P(X = k) 0,200 0,160 0,128 0,102 0,082 0,066 0,052 0,042 0,034 0,027
En faisant de même pour les lois géométriques de paramètres 0,5 et 0,8 on obtient :
Paramètre k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0,2 P(X = k) 0,200 0,160 0,128 0,102 0,082 0,066 0,052 0,042 0,034 0,027
0,5 P(X = k) 0,500 0,250 0,125 0,063 0,031 0,016 0,008 0,004 0,002 0,001
0,8 P(X = k) 0,800 0,160 0,032 0,006 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
3. Modélisation

Une loi géométrique simule quelque chose qui survit k – 1 fois mais meurt la kième fois.

Exemples
Les problèmes de pannes ; la désintégration d’une particule radioactive.
4. Espérance
Propriété
Si X est une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre p, alors son espérance est : .
Exemple
On lance un dé cubique équilibré.
La variable aléatoire X comptant le nombre de lancers nécessaires pour obtenir un 6 suit une loi géométrique de paramètre . Son espérance E(X) est égale à .
5. Propriété caractéristique
Propriété
Lorsqu’une variable aléatoire X suit une loi géométrique, on dit qu’elle est sans mémoire.
Autrement dit, pour deux entiers m et n non nuls : PX > n(X > m + n) = P(X > m).

Sachant que les n premières expériences se sont soldées par un échec, la probabilité que les m prochaines expériences soient sans succès est égale à la probabilité que les m premières expériences se soldent par un échec.

Démonstration

Rappel : 1 + q + q2+  + qn =

Pour tout entier n non nul :

P(X > n) = 1 – P(X ≤ n)

P(X > n) = 1 – [P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = n)]

P(X > n) = 1 – [p × (1 – p)0 + p × (1 – p)1 + … p × (1 – p)n – 1]

P(X > n) = 1 – p × [1 + (1 – p)1 + (1 – p)n – 1]

P(X > n) =      d’après (R1)

P(X > n) =

P(X > n) = 1 – (1 – (1 – p)n)

P(X > n) = (1 – p)n     (R2)

PX > n(X > m + n) = 

PX > n(X > m + n) =

PX > n(X > m + n) =      d’après (R2)

PX > n(X > m + n) = (1 – p)m

PX > n(X > m + n) = P(X > m)

Exemple
Après 5 lancers d’un dé équilibré, aucun 6 n’est sorti.
La probabilité qu’aucun 6 ne sorte avant le 12e lancer est égale à la probabilité qu’aucun 6 ne sorte sur les 7 prochains lancers.
P
X > 5(X = 12) = PX > 5(X > 7 + 5) = P(X > 7)
On « oublie » le fait qu’aucun 6 ne soit sorti sur les 5 premiers lancers, on repart de 0 et on s'intéresse aux 7 prochains lancers.
Propriété
Réciproquement, si une variable aléatoire est sans mémoire, alors elle suit une loi géométrique.

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Question 1/5

La médiane de 6 notes est 13. Cela signifie que :

Question 2/5

On a obtenu la série statistique suivante :

Combien vaut la médiane ?

Question 3/5

On a obtenu la série ci-dessous :

Quelle est la médiane de cette série ?

Question 4/5

On a relevé les tailles en cm des élèves d’une classe :

 

Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?

Question 5/5

Les notes en français de deux classes littéraires sont données dans le tableau suivant :

Quelle est la note médiane ?

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