La loi géométrique
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Identifier des situations où une variable aléatoire suit une loi géométrique.
- Calculer des probabilités pour une variable aléatoire suivant une loi géométrique.
- Utiliser l’espérance d’une loi géométrique.
- Utiliser en situation la caractérisation d’une loi géométrique par l’absence de mémoire.
- Lors de la répétition d’une épreuve de Bernoulli de paramètre p, la variable aléatoire X comptant le nombre d’essais nécessaires avant d’obtenir un premier succès suit la loi géométrique de paramètre p.
- On a P(X = k) = (1 – p)k–1 × p et
.
- Une variable aléatoire X suivant une loi géométrique est dite sans mémoire, PX > n(X > m + n) = P(X > m).
- Savoir ce qu’est une épreuve de Bernoulli et un schéma de Bernoulli.
- Calculer une probabilité conditionnelle.
Le premier succès ne pouvant survenir qu’après au moins une première épreuve, X prend des valeurs entières non nulles.
On dit que X suit la loi géométrique de paramètre p.On lance un dé cubique équilibré. La variable aléatoire X comptant le nombre de lancers nécessaires pour obtenir un 6 suit une loi géométrique de paramètre
.
Si X suit la loi géométrique de paramètre p, alors, pour tout entier naturel k non nul, on a P(X = k) = (1 – p)k – 1 × p.
En effet, P(X = k) est la probabilité que le premier succès survienne à la kième répétition de l’épreuve, c’est-à-dire que les (k – 1)ième premières répétitions se soient soldées par un échec. Dans un schéma de Bernoulli, un seul chemin permet d’obtenir k – 1 échecs d’abord puis un succès ensuite, et la probabilité de ce chemin vaut (1 – p)k – 1 × p.
Lorsqu’on lance un dé cubique équilibré, la probabilité d’obtenir un 6 au cinquième lancer (et pas avant) est égale à :
.
On peut représenter graphiquement les lois géométriques.
On considère la loi géométrique de paramètre 0,2.
On a P(X = k) = (1 – 0,2)k – 1 × 0,2 = 0,2 × 0,8k – 1.
On obtient le tableau de valeurs et la représentation graphique suivants.
| k | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| P(X = k) | 0,200 | 0,160 | 0,128 | 0,102 | 0,082 | 0,066 | 0,052 | 0,042 | 0,034 | 0,027 |
| Paramètre | k | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 0,2 | P(X = k) | 0,200 | 0,160 | 0,128 | 0,102 | 0,082 | 0,066 | 0,052 | 0,042 | 0,034 | 0,027 |
| 0,5 | P(X = k) | 0,500 | 0,250 | 0,125 | 0,063 | 0,031 | 0,016 | 0,008 | 0,004 | 0,002 | 0,001 |
| 0,8 | P(X = k) | 0,800 | 0,160 | 0,032 | 0,006 | 0,001 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 |
Une loi géométrique simule quelque chose qui survit k – 1 fois mais meurt la kième fois.
Les problèmes de pannes ; la désintégration d’une particule radioactive.
Si X est une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre p, alors son espérance est :
.
On lance un dé cubique équilibré.
La variable aléatoire X comptant le nombre de lancers nécessaires pour obtenir un 6 suit une loi géométrique de paramètre
. Son
espérance E(X) est égale à
.
Lorsqu’une variable aléatoire X suit une loi géométrique, on dit qu’elle est sans mémoire.
Autrement dit, pour deux entiers m et n non nuls : PX > n(X > m + n) = P(X > m).
Sachant que les n premières expériences se sont soldées par un échec, la probabilité que les m prochaines expériences soient sans succès est égale à la probabilité que les m premières expériences se soldent par un échec.
Rappel : 1 + q + q2+ … + qn =
Pour tout entier n non nul :
P(X > n) = 1 – P(X ≤ n)
P(X > n) = 1 – [P(X = 1) + P(X = 2) + … + P(X = n)]
P(X > n) = 1 – [p × (1 – p)0 + p × (1 – p)1 + … + p × (1 – p)n – 1]
P(X > n) = 1 – p × [1 + (1 – p)1 + … + (1 – p)n – 1]
P(X > n) = 
d’après (R1)
P(X > n) = 
P(X > n) = 1 – (1 – (1 – p)n)
P(X > n) = (1 – p)n (R2)
PX > n(X > m + n) = 
PX > n(X > m + n) = 
PX > n(X > m + n) = 
d’après (R2)
PX > n(X > m + n) = (1 – p)m
PX > n(X > m + n) = P(X > m)
Après 5 lancers d’un dé équilibré, aucun 6 n’est sorti.
La probabilité qu’aucun 6 ne sorte avant le 12e lancer est égale à la probabilité qu’aucun 6 ne sorte sur les 7 prochains lancers.
PX > 5(X = 12) = PX > 5(X > 7 + 5) = P(X > 7)
On « oublie » le fait qu’aucun 6 ne soit sorti sur les 5 premiers lancers, on repart de 0 et on s'intéresse aux 7 prochains lancers.
Réciproquement, si une variable aléatoire est sans mémoire, alors elle suit une loi géométrique.
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