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La loi géométrique

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Objectifs

Identifier des situations où une variable aléatoire suit une loi géométrique.
Calculer des probabilités pour une variable aléatoire suivant une loi géométrique.
Utiliser l’espérance d’une loi géométrique.
Utiliser en situation la caractérisation d’une loi géométrique par l’absence de mémoire.

Points clés

Lors de la répétition d’une épreuve de Bernoulli de paramètre p, la variable aléatoire X comptant le nombre d’essais nécessaires avant d’obtenir un premier succès suit la loi géométrique de paramètre p.
On a P(X = k) = (1 – p)^k–1 × p et .
Une variable aléatoire X suivant une loi géométrique est dite sans mémoire, P_X_>_n(X > m + n) = P(X > m).

Pour bien comprendre

Savoir ce qu’est une épreuve de Bernoulli et un schéma de Bernoulli.
Calculer une probabilité conditionnelle.

1. Définition et expression

Soit une épreuve de Bernoulli de paramètre p et X la variable aléatoire comptant le nombre de répétitions nécessaires de cette épreuve pour obtenir un premier succès.

Le premier succès ne pouvant survenir qu’après au moins une première épreuve, X prend des valeurs entières non nulles.

On dit que X suit la loi géométrique de paramètre p.

Exemple
On lance un dé cubique équilibré. La variable aléatoire X comptant le nombre de lancers nécessaires pour obtenir un 6 suit une loi géométrique de paramètre

Propriété
Si X suit la loi géométrique de paramètre p, alors, pour tout entier naturel k non nul, on a P(X = k) = (1 – p)^k – 1 × p.

En effet, P(X = k) est la probabilité que le premier succès survienne à la k^ième répétition de l’épreuve, c’est-à-dire que les (k – 1)^ième premières répétitions se soient soldées par un échec. Dans un schéma de Bernoulli, un seul chemin permet d’obtenir k – 1 échecs d’abord puis un succès ensuite, et la probabilité de ce chemin vaut (1 – p)^k – 1 × p.

Exemple
Lorsqu’on lance un dé cubique équilibré, la probabilité d’obtenir un 6 au cinquième lancer (et pas avant) est égale à :

2. Représentation graphique

On peut représenter graphiquement les lois géométriques.

Exemple
On considère la loi géométrique de paramètre 0,2.
On a P(X = k) = (1 – 0,2)^k^– 1 × 0,2 = 0,2 × 0,8^k^–¹.
On obtient le tableau de valeurs et la représentation graphique suivants.

k	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
P(X = k)	0,200	0,160	0,128	0,102	0,082	0,066	0,052	0,042	0,034	0,027

En faisant de même pour les lois géométriques de paramètres 0,5 et 0,8 on obtient :

Paramètre	k	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0,2	P(X = k)	0,200	0,160	0,128	0,102	0,082	0,066	0,052	0,042	0,034	0,027
0,5	P(X = k)	0,500	0,250	0,125	0,063	0,031	0,016	0,008	0,004	0,002	0,001
0,8	P(X = k)	0,800	0,160	0,032	0,006	0,001	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000

3. Modélisation

Une loi géométrique simule quelque chose qui survit k – 1 fois mais meurt la k^ième fois.

Exemples
Les problèmes de pannes ; la désintégration d’une particule radioactive.

4. Espérance

Propriété
Si X est une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre p, alors son espérance est :

Exemple
On lance un dé cubique équilibré.
La variable aléatoire X comptant le nombre de lancers nécessaires pour obtenir un 6 suit une loi géométrique de paramètre

. Son espérance E(X) est égale à

5. Propriété caractéristique

Propriété
Lorsqu’une variable aléatoire X suit une loi géométrique, on dit qu’elle est sans mémoire.
Autrement dit, pour deux entiers m et n non nuls : P_X_>_n(X > m + n) = P(X > m).

Sachant que les n premières expériences se sont soldées par un échec, la probabilité que les m prochaines expériences soient sans succès est égale à la probabilité que les m premières expériences se soldent par un échec.

Démonstration

Rappel : 1 + q + q²+ … + qⁿ =

Pour tout entier n non nul :

P(X > n) = 1 – P(X ≤ n)

P(X > n) = 1 – [P(X = 1) + P(X = 2) + … + P(X = n)]

P(X > n) = 1 – [p × (1 – p)⁰ + p × (1 – p)¹ + … + p × (1 – p)^n – 1]

P(X > n) = 1 – p × [1 + (1 – p)¹ + … + (1 – p)^n – 1]

P(X > n) = d’après (R1)

P(X > n) =

P(X > n) = 1 – (1 – (1 – p)ⁿ)

P(X > n) = (1 – p)ⁿ (R2)

P_X > n(X > m + n) =

P_X > n(X > m + n) = d’après (R2)

P_X > n(X > m + n) = (1 – p)^m

P_X > n(X > m + n) = P(X > m)

Exemple
Après 5 lancers d’un dé équilibré, aucun 6 n’est sorti.
La probabilité qu’aucun 6 ne sorte avant le 12^e lancer est égale à la probabilité qu’aucun 6 ne sorte sur les 7 prochains lancers.
P_X > 5(X = 12) = P_X > 5(X > 7 + 5) = P(X > 7)
On « oublie » le fait qu’aucun 6 ne soit sorti sur les 5 premiers lancers, on repart de 0 et on s'intéresse aux 7 prochains lancers.

Propriété
Réciproquement, si une variable aléatoire est sans mémoire, alors elle suit une loi géométrique.