Loi uniforme, loi de Bernoulli et cas discret
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- Reconnaitre une loi uniforme.
- Calculer l’espérance d’une variable aléatoire suivant une loi uniforme.
- Reconnaitre une loi de Bernoulli.
- Calculer l’espérance, la variance et l’écart-type d’une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli.
- Soit n un
entier naturel non nul et
X une variable aléatoire prenant ses
valeurs dans l’ensemble
{1 ; 2 ; … ; n}.
Si chaque valeur de
{1 ; 2 ; … ; n}
est équiprobable, c’est-à-dire si
, alors on dit que la
variable aléatoire X suit la loi uniforme
sur {1 ; 2 ; … ; n}.
- Soit n un
entier naturel non nul et
X une variable aléatoire suivant la loi
uniforme sur
{1 ; 2 ; … ; n}.
L’espérance de X est
.
- Une expérience aléatoire est
appelée épreuve de Bernoulli de
paramètre p lorsqu'elle n’admet que
deux issues : « succès »,
dont la probabilité vaut p, et
« échec », dont la
probabilité vaut 1 – p.
Si X est la variable aléatoire prenant pour valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec, alors on dit que X suit la loi de Bernoulli de paramètre p. - Soit X une
variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de
paramètre p. Alors son espérance
E(X) = p ;
sa variance V(X) = p(1 – p) et son écart-type
.
Si chaque valeur de {1 ; 2 ; … ; n} est équiprobable, c’est-à-dire si
, alors on dit que la
variable aléatoire X suit la loi
uniforme sur
{1 ; 2 ; … ; n}.
Soit n un entier naturel non nul et X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur {1 ; 2 ; … ; n}. L’espérance de X est
.
La loi de probabilité de X est :
| xi | 1 | 2 | … | n |
| pi |
|
|
… |
|
On a :
Si X est
la variable aléatoire égale au
résultat obtenu lors d’un lancer de
dé cubique équilibré, alors
X suit la
loi uniforme sur
{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}
et son espérance est 
.
Lors du lancer d’une pièce non
truquée, si X est la variable
aléatoire prenant pour valeur 1 si la
face obtenue est Pile et 2 si la face obtenue
est Face, alors X suit la loi uniforme
sur {1 ; 2} et son espérance est
.
- « succès », dont la probabilité vaut p ;
- « échec », dont la probabilité vaut 1 – p.
Si X est la variable aléatoire prenant pour valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec, alors on dit que X suit la loi de Bernoulli de paramètre p.
Dans une urne, il y a 4 boules blanches et 6 boules noires.
On tire au hasard une boule de cette urne et on note sa couleur.
Il n’y a que deux issues possibles :
- « obtenir une boule blanche », avec une probabilité de 0,4 ;
- « obtenir une boule noire », avec une probabilité de 0,6.
C’est une épreuve de Bernoulli :
- de paramètre 0,4 si « obtenir une boule blanche » est le succès ;
- de paramètre 0,6 si « obtenir une boule noire » est le succès.
Si X est la variable aléatoire prenant la valeur 1 si la boule tirée est blanche, 0 sinon, alors X suit la loi de Bernoulli de paramètre 0,4.
Soit X une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre p. Alors :
- son espérance E(X) = p ;
- sa variance V(X) = p(1 – p) ;
- son écart-type .
La loi de probabilité de X est :
| xi | 0 | 1 |
| pi | 1 – p | p |
Si X est la variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre 0,4 alors :
- son espérance E(X) = 0,4 ;
- sa variance V(X) = 0,4 × (1 – 0,4) = 0,4 × 0,6 = 0,24 ;
- son écart-type
.
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