Les suites arithmético-géométriques

u_n+1 est l’image de u_n par la fonction f. On représente la suite en utilisant la courbe représentative de la fonction f et la droite d’équation y = x.

Exemple
Soit (u_n) la suite définie par u₀= 3 et u_n+1 = 0,25(u_n)².
Ici f(x) = 0,25 x².
u₁ est l’image de u₀ par la fonction f, donc on place u₁ sur l’axe des ordonnées par l’intermédiaire de la courbe représentative de f.
On « transporte » u₁ vers l’axe des abscisses par la droite d’équation y = x, ainsi on a placé u₁ sur l’axe des abscisses. On répète ce processus pour u₂ et u₃.

On utilise la même procédure que pour les suites définies par une relation de récurrence. Dans le cas des suites arithmético-géométriques, la fonction f est une fonction affine définie par f(x) = ax + b.

Exemple
On considère la suite (u_n) définie par u₀ = 1 et u_n+1 = 0,5u_n + 1 pour tout n entier naturel.
On trace la représentation graphique de la fonction affine f définie par f(x) = 0,5x + 1 qui est une droite.
On trace la droite d’équation y = x.
On place sur l’axe des abscisses u₀= 1.
On commence le processus :

Soit (u_n) une suite arithmético-géométrique définie par la relation de récurrence u_n+1 = au_n + b avec a ≠ 1 et b ≠ 0.
Soit α le point fixe de la fonction affine f définie par f(x) = ax + b, c’est-à-dire le nombre tel que aα + b = α.

u_n+1 – α = au_n + b – (aα + b)
u_n+1 – α = au_n + b – aα – b
u_n+1 – α = au_n – aα
u_n+1 – α = a (u_n – α)

On pose v_n = u_n – α.
On a ainsi v_n+1 = av_n, donc la suite (v_n) est une suite géométrique de raison a.

Soit n un nombre entier naturel et α un réel.
Soit (u_n) une suite arithmético-géométrique et (v_n) la suite géométrique associée, qui est de raison a et de premier terme v₀ = u₀ – α, α étant le point fixe de la suite (u_n). On a donc u₀ = v₀ + α.

(v_n) étant une suite géométrique de raison a, on a :
v_n = aⁿv₀
u_n = v_n + α
u_n = aⁿv₀ + α
D’où u_n = aⁿ (u₀ – α) + α.

Soit n un entier naturel et a, b et α des réels.
Soit (u_n) une suite arithmético-géométrique définie par la relation de récurrence u_n+1 = au_n + b et α tel que aα + b = α.
On a vu que u_n = aⁿ (u₀ – α) + α.

Propriété
Si 0 < a < 1, alors u_n = α.
Si a > 1, alors u_n = +∞.