Les suites arithmético-géométriques
- Étudier les suites définies par la relation de récurrence un+1 = aun + b.
- Modéliser un problème par une suite.
- Soit f une fonction et (un) une suite. On dit que la suite (un) est une suite définie par une relation de récurrence si on donne le premier terme de cette suite et un+1= f(un).
- Soit (un) une suite numérique, a et b deux nombres réels et n un nombre entier naturel. (un) est une suite arithmético-géométrique si elle est définie par un premier terme et la relation de récurrence un+1 = aun + b.
- Soit (un) une suite arithmético-géométrique définie, pour tout n entier naturel, par la relation de récurrence un+1= aun + b avec a et b deux réels tels que a ≠ 1 et b ≠ 0. Soit α un réel. α est le point fixe de la fonction affine f définie par f(x) = ax + b, c’est-à-dire f(α) = α. Alors la suite (vn) définie par vn = un – α est une suite géométrique de raison a.
- Si 0 < a <
1, alors
un = α . Si
a > 1,
alors 
un = +∞.
Soit (un) la suite définie par u0= 2 et un+1 = (un)2 + un.
On a un+1= f(un) avec f(x) = x2 + x.
Ainsi on a u1 = (u0)2 + u0 = 22 + 2 = 6 et u2 = (u1)2 + u1 = 62 + 6 = 42.
un+1 est l’image de un par la fonction f. On représente la suite en utilisant la courbe représentative de la fonction f et la droite d’équation y = x.
Soit (un) la suite définie par u0= 3 et un+1 = 0,25(un)2.
Ici f(x) = 0,25 x2.
u1 est l’image de u0 par la fonction f, donc on place u1 sur l’axe des ordonnées par l’intermédiaire de la courbe représentative de f.
On « transporte » u1 vers l’axe des abscisses par la droite d’équation y = x, ainsi on a placé u1 sur l’axe des abscisses. On répète ce processus pour u2 et u3.
(un) est une suite arithmético-géométrique si elle est définie par un premier terme et la relation de récurrence un+1 = aun + b.
Soit (un) la suite définie par u0 = 1 et un+1 = 0,5 un + 1. Cette suite est une suite arithmético-géométrique. Ainsi u0 = 1 ; u1 = 1,5 ; u2 = 1,75 ; …
Si a = 1 et b ≠ 0, on obtient une suite arithmétique de raison b.
Si a ≠ 0 et b = 0, on obtient une suite géométrique de raison a.
On utilise la même procédure que pour les suites définies par une relation de récurrence. Dans le cas des suites arithmético-géométriques, la fonction f est une fonction affine définie par f(x) = ax + b.
On considère la suite (un) définie par u0 = 1 et un+1 = 0,5un + 1 pour tout n entier naturel.
On trace la représentation graphique de la fonction affine f définie par f(x) = 0,5x + 1 qui est une droite.
On trace la droite d’équation y = x.
On place sur l’axe des abscisses u0= 1.
On commence le processus :
Soit (un) une suite arithmético-géométrique définie, pour tout n entier naturel, par la relation de récurrence un+1 = aun + b avec a et b deux réels tels que a ≠ 1 et b ≠ 0. Soit un réel α.
α est le point fixe de la fonction affine f définie par f(x) = ax + b, c’est-à-dire f(α) = α.
Alors la suite (vn) définie par vn = un – α est une suite géométrique de raison a.
Soit (un) une suite
arithmético-géométrique
définie par la relation de récurrence
un+1 = aun + b
avec a ≠ 1 et
b ≠ 0.
Soit α
le point fixe de la fonction affine f définie par
f(x) = ax + b,
c’est-à-dire le nombre tel que
aα + b = α.
un+1
– α = aun + b – (aα + b)
un+1 – α = aun + b – aα – b
un+1 – α = aun – aα
un+1 – α = a (un – α)
On pose vn = un – α.
On a ainsi vn+1 = avn,
donc la suite (vn)
est une suite géométrique de
raison a.
Soit (un) la suite définie par u0 = 1 et un+1 = 0,5un + 1. Dans ce cas, le point fixe est α tel que : 0,5α + 1 = α, soit α = 2. Ainsi, (vn) la suite définie par vn = un – 2 est une suite géométrique de raison 0,5.
Démontrons-le.
vn+1 = un+1 – 2
vn+1 = 0,5 un + 1 – 2
vn+1 = 0,5 un – 1
vn+1 = 0,5
Or vn = un – 2 donc un = vn + 2 donc :
vn+1 = 0,5 (vn + 2) – 1
vn+1 = 0,5 vn + 1 – 1
vn+1 = 0,5 vn
La suite (vn) est bien une suite géométrique de raison 0,5.
Soit n un
nombre entier naturel et α un réel.
Soit (un) une suite
arithmético-géométrique et
(vn) la suite
géométrique associée, qui est de
raison a et
de premier terme v0 = u0
– α, α étant le point
fixe de la suite (un). On a donc
u0 = v0 + α.
(vn)
étant une suite géométrique de
raison a, on
a :
vn =
anv0
un = vn + α
un =
anv0 + α
D’où un = an
(u0
– α) +
α.
Reprenons la suite de l’exemple précédent. On a :
un = 0,5n × (1 – 2) + 2
un = 0,5n (–1) + 2
un = –0,5n + 2
Soit a un nombre réel.
Si 0 < a < 1, alors
an = 0.Si a > 1, alors
an = +∞.
Soit n un
entier naturel et a, b et α des réels.
Soit (un) une suite
arithmético-géométrique
définie par la relation de récurrence
un+1 = aun + b
et α tel que
aα + b = α.
On a vu que un =
an (u0 – α) + α.
Si 0 < a < 1, alors
un = α.Si a > 1, alors
un = +∞.
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