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Les suites arithmético-géométriques

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Objectifs
  • Étudier les suites définies par la relation de récurrence un+1 = aun + b.
  • Modéliser un problème par une suite.
Points clés
  • Soit f une fonction et (un) une suite. On dit que la suite (un) est une suite définie par une relation de récurrence si on donne le premier terme de cette suite et un+1= f(un).
  • Soit (un) une suite numérique, a et b deux nombres réels et n un nombre entier naturel. (un) est une suite arithmético-géométrique si elle est définie par un premier terme et la relation de récurrence un+1 = aun + b.
  • Soit (un) une suite arithmético-géométrique définie, pour tout n entier naturel, par la relation de récurrence un+1= aun + b avec a et b deux réels tels que a ≠ 1 et b 0. Soit α un réel. α est le point fixe de la fonction affine f définie par f(x) = ax + b, c’est-à-dire f(α) = α. Alors la suite (vn) définie par vn = un – α est une suite géométrique de raison a.
  • Si 0 < a < 1, alors un = α . Si a > 1, alors un = +∞.
1. Suites définies par une relation de récurrence
a. Définition
Soit f une fonction et (un) une suite. On dit que la suite (un) est une suite définie par une relation de récurrence si on donne le premier terme de cette suite et un+1= f(un).
Exemple
Soit (un) la suite définie par u0= 2 et un+1 = (un)2 + un.
On a un+1= f(un) avec f(x) = x2 + x.
Ainsi on a u1 = (u0)2 + u0 = 22 + 2 = 6 et u2 = (u1)2 + u1 = 62 + 6 = 42.
b. Représentation graphique d'une suite récurrente

un+1 est l’image de un par la fonction f. On représente la suite en utilisant la courbe représentative de la fonction f et la droite d’équation y = x.

Exemple
Soit (un) la suite définie par u0= 3 et un+1 = 0,25(un)2.
Ici f(x) = 0,25 x2.
u1 est l’image de u0 par la fonction f, donc on place u1 sur l’axe des ordonnées par l’intermédiaire de la courbe représentative de f.
On « transporte » u1 vers l’axe des abscisses par la droite d’équation y x, ainsi on a placé u1 sur l’axe des abscisses. On répète ce processus pour u2 et u3.
2. Suites arithmético-géométriques
a. Définition
Soit (un) une suite numérique, a et b deux nombres réels et n un nombre entier naturel.
(un) est une suite arithmético-géométrique si elle est définie par un premier terme et la relation de récurrence un+1 = aun b.
Exemple
Soit (un) la suite définie par u0 = 1 et un+1 = 0,5 un + 1. Cette suite est une suite arithmético-géométrique. Ainsi u0 = 1 ; u1 = 1,5 ; u2 = 1,75 ; …
Remarques
Si a = 1 et b ≠ 0, on obtient une suite arithmétique de raison b.
Si  0 et b 0, on obtient une suite géométrique de raison a.
b. Représentation graphique

On utilise la même procédure que pour les suites définies par une relation de récurrence. Dans le cas des suites arithmético-géométriques, la fonction f est une fonction affine définie par f(x) ax + b.

Exemple
On considère la suite (un) définie par u0 = 1 et un+1 = 0,5un + 1 pour tout n entier naturel.
On trace la représentation graphique de la fonction affine f définie par f(x) = 0,5x + 1 qui est une droite.
On trace la droite d’équation y = x.
On place sur l’axe des abscisses u0= 1.
On commence le processus :

c. Suites arithmético-géométriques et suites géométriques associées
Propriété
Soit (un) une suite arithmético-géométrique définie, pour tout n entier naturel, par la relation de récurrence un+1 = aun + b avec a et b deux réels tels que a ≠ 1 et b ≠ 0. Soit un réel α.
α est le point fixe de la fonction affine f définie par f(x= ax + b, c’est-à-dire f(α= α.
Alors la suite (vn) définie par vn = un – α est une suite géométrique de raison a.
Démonstration

Soit (un) une suite arithmético-géométrique définie par la relation de récurrence un+1 = aun + b avec a ≠ 1 et b ≠ 0.
Soit α le point fixe de la fonction affine f définie par f(x) ax + b, c’est-à-dire le nombre tel que aα + b = α.

un+1 – α = aun + b – (aα + b)
un+1 – α = aun + b – aα – b
un+1 – α = aun – aα
un+1 – α = a (un – α)

On pose vn = un – α.
On a ainsi vn+1 = avn, donc la suite (vn) est une suite géométrique de raison a.

Exemple
Soit (un) la suite définie par u0 = 1 et un+1 = 0,5un + 1. Dans ce cas, le point fixe est α tel que : 0,5α + 1 = α, soit α = 2. Ainsi, (vn) la suite définie par vn = un – 2 est une suite géométrique de raison 0,5.
Démontrons-le.
vn+1 = un+1 – 2
vn+1 = 0,5 un + 1 – 2
vn+1 = 0,5 un – 1
vn+1 = 0,5
Or vn = un – 2 donc un = vn + 2 donc :
vn+1 = 0,5 (vn + 2) – 1
vn+1 = 0,5 vn + 1 – 1
vn+1 = 0,5 vn 
La suite (vn) est bien une suite géométrique de raison 0,5.
d. Expression d'une suite arithmético-géométrique en fonction de n

Soit n un nombre entier naturel et α un réel.
Soit (un) une suite arithmético-géométrique et (vn) la suite géométrique associée, qui est de raison a et de premier terme v0 = u0 – αα étant le point fixe de la suite (un). On a donc u0 = v0 + α.

(vn) étant une suite géométrique de raison a, on a :
vn = anv0
un = vn + α
un = anv0 + α

D’où un = an (u0 – α) + α.

Exemple
Reprenons la suite de l’exemple précédent. On a :
un = 0,5n × (1 – 2) + 2
un = 0,5n (–1) + 2
un = –0,5n + 2
3. Convergence ou divergence d'une suite arithmético-géométrique
a. Rappel
Propriété
Soit a un nombre réel.
Si 0 < a < 1, alors an = 0.
Si a > 1, alors an = +∞.
b. Limite d'une suite arithmético-géométrique

Soit n un entier naturel et a, b et α des réels.
Soit (un) une suite arithmético-géométrique définie par la relation de récurrence un+1 = aun + b et α tel que aα + b = α.
On a vu que un = an (u0 – α) + α.

Propriété
Si 0 < a < 1, alors un = α.
Si a > 1, alors un = +∞.

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