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Fonctions réciproques et aspects graphiques

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Objectifs
  • Déterminer une fonction réciproque.
  • Reconnaitre graphiquement deux fonctions réciproques.
Points clés
  • Soit f une fonction définie, continue et strictement monotone sur un intervalle I et à valeurs dans un intervalle J. La fonction  x, définie sur J, s’appelle la fonction réciproque de la fonction f. On la note f –1.
  • Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives des fonctions f et f –1 sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.
  • Les fonctions carré et racine carrée sont des fonctions réciproques.
    équivaut à .
  • Les fonctions exponentielle et logarithme népérien sont des fonctions réciproques.
    équivaut à .
Pour bien comprendre
  • Étudier la continuité d’une fonction.
  • Connaitre le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction continue et strictement monotone.
  • Connaitre les fonctions usuelles : carré, racine carrée, logarithme népérien et exponentielle.
1. Fonctions réciproques
Soit f une fonction définie, continue et strictement monotone sur un intervalle I et à valeurs dans un intervalle J.
D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel , il existe un unique réel tel que f (x) = y.
La fonction y ↦ x, définie sur J, s’appelle la fonction réciproque de la fonction f. On la note f –1.
Remarque
équivaut à .
Propriété
Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives des fonctions f et f –1 sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.
2. Application aux fonctions carré et racine carrée

On considère la fonction carré sur .
Cette fonction prend ses valeurs dans l’intervalle car, pour tout réel x, on a .
f est continue, strictement croissante sur .
Donc la fonction f admet une fonction réciproque, notée f –1, qui est la fonction racine carrée.
Pour tout , il existe un unique tel que y = f (x).
On a .

Propriété
Les fonctions carré et racine carrée sont des fonctions réciproques.
équivaut à .
Aspect graphique

Les courbes représentatives des fonctions carré et racine carrée sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x sur .

3. Application aux fonctions logarithme népérien et exponentielle

On considère la fonction exponentielle définie sur .
Cette fonction prend ses valeurs dans l’intervalle car, pour tout réel x, on a .
f est continue et strictement croissante sur .
Donc la fonction f admet une fonction réciproque, notée f –1, qui est la fonction logarithme népérien.
Pour tout , il existe un unique tel que f (x).
On a .

Propriétés
Les fonctions exponentielle et logarithme népérien sont des fonctions réciproques.
équivaut à .
Aspect graphique

Les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.

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