Factoriser une expression
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Objectifs
- Reconnaitre la forme factorisée d'une expression.
- Factoriser une expression avec un facteur commun.
- Factoriser une expression avec des identités remarquables.
Points clés
- Factoriser une expression numérique ou littérale, c’est l’écrire sous la forme d’un produit.
- On a :
k × a + k × b = k × (a + b)
k × a – k × b = k × (a – b)
avec k, a et b trois nombres quelconques. - Les identités remarquables rencontrées lors
des développements vont aussi nous permettre de
factoriser des expressions. Pour cela, il suffit
d’inverser ces formules de développement. On
obtient les formules suivantes :
1. Factorisation d'une expression
Factoriser une expression numérique ou
littérale, c’est l’écrire sous la
forme d’un produit.
Exemple d'expression factorisée
L'expression (3x – 7)(2x + 4) est factorisée car elle n'est composée que d'un seul terme qui comporte deux facteurs.
L'expression (3x – 7)(2x + 4) est factorisée car elle n'est composée que d'un seul terme qui comporte deux facteurs.
Exemples d'expressions non factorisées
Les expressions possèdent deux termes (séparés par un + ou un – ) comportant chacun deux facteurs.
Les expressions possèdent deux termes (séparés par un + ou un – ) comportant chacun deux facteurs.
2. Factorisation par facteur commun
Rappel
k × a + k × b = k × (a + b)
k × a – k × b = k × (a – b)
avec k, a et b trois nombres quelconques.
k × a + k × b = k × (a + b)
k × a – k × b = k × (a – b)
avec k, a et b trois nombres quelconques.
On dit que l’on a factorisé par k. On dit aussi que k est un facteur commun.
a. Facteur commun « évident »
Dans certains cas, on peut appliquer directement le rappel précédent.
Exemple 1
Factoriser l’expression .
On a factorisé par (2x + 3) l’expression E en un produit de 2 facteurs.
Factoriser l’expression .
On a factorisé par (2x + 3) l’expression E en un produit de 2 facteurs.
Exemple 2
Factoriser l’expression .
On a factorisé par 2 l’expression F en un produit de 2 facteurs, dont un à 3 termes.
Factoriser l’expression .
On a factorisé par 2 l’expression F en un produit de 2 facteurs, dont un à 3 termes.
b. Facteur commun « caché »
Parfois, le facteur commun n’est pas apparent. La première étape de calcul va alors consister à le faire apparaitre.
Exemple 1
Factoriser l’expression .
On remarque que . On peut donc réécrire l’expression sous la forme
Le facteur (x – 2) est commun aux deux termes ;
par conséquent :
Factoriser l’expression .
On remarque que . On peut donc réécrire l’expression sous la forme
Le facteur (x – 2) est commun aux deux termes ;
par conséquent :
Exemple 2
Factoriser l’expression
On remarque que . On peut donc réécrire l’expression sous la forme .
Le facteur (3x + 5) est commun aux deux termes ;
par conséquent :
Factoriser l’expression
On remarque que . On peut donc réécrire l’expression sous la forme .
Le facteur (3x + 5) est commun aux deux termes ;
par conséquent :
3. Factorisation par identités remarquables
Les identités remarquables rencontrées
lors des développements vont aussi nous permettre de
factoriser des expressions. Pour cela, il suffit
d’inverser ces formules de développement.
On obtient les formules suivantes :
On obtient les formules suivantes :
Exemple 1
Factoriser .
On reconnaît la deuxième identité remarquable en posant : a = x et b = 3.
Factoriser .
On reconnaît la deuxième identité remarquable en posant : a = x et b = 3.
Exemple 2
Factoriser .
On remarque que 81 = 92 ; on peut donc utiliser la première identité remarquable en posant :
a = 2x – 1 et b = 9.
Factoriser .
On remarque que 81 = 92 ; on peut donc utiliser la première identité remarquable en posant :
a = 2x – 1 et b = 9.
Exemple 3
Factoriser .
On remarque que et on utilise la première identité remarquable en posant :
a = 2 – 3x et b = .
Factoriser .
On remarque que et on utilise la première identité remarquable en posant :
a = 2 – 3x et b = .
Remarques
• Le plus souvent, on factorise avec un facteur commun ou l'identité remarquable .
• Factoriser une expression est très utile pour résoudre des équations-produits.
• Le plus souvent, on factorise avec un facteur commun ou l'identité remarquable .
• Factoriser une expression est très utile pour résoudre des équations-produits.
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