Fonction logarithme décimal
- Découvrir le logarithme décimal.
- Connaitre le sens de variation de la fonction logarithme décimal.
- Connaitre les propriétés algébriques de la fonction logarithme décimal et les utiliser pour transformer des expressions mathématiques.
- Utiliser le logarithme décimal pour résoudre des équations et des inéquations.
- La fonction qui à tout nombre x strictement positif associe log x est appelée fonction logarithme décimal.
- Propriétés :
-
- La fonction logarithme décimal est croissante pour toute valeur strictement positive.
- La solution de logx = a est 10a.
- La solution de ax =
b est
- L'ensemble des solutions de log x ≤ a est ]0 ; 10a].
- L'ensemble des solutions de log x ≥ a est [10a ; +∞[.
- Savoir résoudre une équation et une inéquation de degré 1.
- Connaitre les puissances des nombres.
Pour trouver des valeurs, il faudra utiliser la touche log de votre calculatrice.
- log 1 = 0
- log 10 = 1
Sachant que log 2 ≈ 0,301, calculer log 5.
Comme 10 = 2×5 alors log 10 = log(2×5).
On sait que log 10 = 1 par définition et que log (xy) = log x + log y par propriété.
Ainsi log(2×5) = log 2 + log 5 ≈ 0,301 + log 5.
On en déduit : 1 ≈ 0,301 + log 5 et log 5 ≈ 0,699.
La fonction logarithme décimal est croissante pour toute valeur strictement positive.
Représentation graphique

La solution de log x = a est 10a.
La solution de log x = 5 est 105 = 100 000.
On doit avoir x ≤ 10a, l'ensemble des solutions est donc : ]0 ; 10a].
On doit avoir x ≥ 10a, l'ensemble des solutions est donc : [10a ; +∞[.
La solution de ax = b est

ax= b
équivaut à log ax = log b, et comme
log ax=x log
a, l'équation équivaut
à x log a=log
b d'où .
L'évolution d'un capital de 2000 euros placé à 4% d'intérêt annuel en fonction du nombre n d'années est donné par la formule 20001,04n.
Au bout de combien d'années ce capital est-il doublé ?
On cherche à résoudre 20001,04n ⩾ 4000 soit 1,04n ⩾ 2 d'où log1,04n ⩾ log2 soit nlog1,04 ⩾ log2 et enfin n ⩾ log2log1,04 car log 1,04 > 0.
On trouve n ⩾ 18. Il faut 18 ans pour doubler un capital placé à 4% d'intérêt annuel.

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