Fonction logarithme décimal- Terminale- Mathématiques - Maxicours

Fonction logarithme décimal

Objectif
  • Découvrir le logarithme décimal.
  • Connaitre le sens de variation de la fonction logarithme décimal.
  • Connaitre les propriétés algébriques de la fonction logarithme décimal et les utiliser pour transformer des expressions mathématiques.
  • Utiliser le logarithme décimal pour résoudre des équations et des inéquations.
Point clé
  • La fonction qui à tout nombre x strictement positif associe log x est appelée fonction logarithme décimal.
  • Propriétés :
  • La fonction logarithme décimal est croissante pour toute valeur strictement positive.
  • La solution de logx = a est 10a.
  • La solution de ax = est 
  • L'ensemble des solutions de log ≤   est  ]0 ; 10a].
  • L'ensemble des solutions de log x   est  [10a ; +∞[.
Pour bien comprendre
  • Savoir résoudre une équation et une inéquation de degré 1.
  • Connaitre les puissances des nombres.
1. Généralités
a. Définition
La fonction qui à tout nombre x strictement positif associe log x est appelée fonction logarithme décimal.

Pour trouver des valeurs, il faudra utiliser la touche log de votre calculatrice.

Valeurs remarquables
  • log= 0
  • log 10 = 1
b. Propriétés algébriques
Propriétés avec x et y sont des réels strictement positifs :
Exemple d'emploi
Sachant que log 2 ≈ 0,301, calculer log 5.
Comme 10 = 2×5 alors log 10 = log(2×5).
On sait que log 10 = 1 par définition et que log (xy) = log + log y par propriété.
Ainsi log(2×5) = log 2 + log 5 ≈ 0,301 + log 5.
On en déduit : 1 ≈ 0,301 + log 5 et log 5 ≈  0,699.
2. Variations
Propriété
La fonction logarithme décimal est croissante pour toute valeur strictement positive.

Représentation graphique


3. Résolution d'équations, d'inéquations
Propriété fondamentale due à la croissance de la fonction log :   
a. Résolution d'équations avec un logarithme
Propriété  Résolution de log x = a
La solution de log x = a  est 10a.
Exemple
La solution de log x = 5 est 105  = 100 000.
b. Résolution d'inéquations avec un logarithme
Propriété 1  Résolution de log xa
On doit avoir x 10a, l'ensemble des solutions est donc : ]0 ; 10a].
Propriété 2  Résolution de log x a
On doit avoir x 10a, l'ensemble des solutions est donc : [10a ; +∞[.
c. Résolution d'équations avec une exponentielle
Propriété  Résolution de ax = b
La solution de ax = b  est 
Preuve

ax= b équivaut à log ax = log b, et comme log ax=x log a, l'équation équivaut à x log a=log b  d'où

Exemple
L'évolution d'un capital de 2000 euros placé à 4% d'intérêt annuel en fonction du nombre n d'années est donné par la formule 20001,04n.
Au bout de combien d'années ce capital est-il doublé ? 
On cherche à résoudre 20001,04⩾ 4000 soit 1,04⩾ 2 d'où log1,04⩾ log2 soit nlog1,04 ⩾ log2 et enfin ⩾ log2log1,04 car log 1,04 > 0.
On trouve ⩾ 18. Il faut 18 ans pour doubler un capital placé à 4% d'intérêt annuel.

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