Fonction logarithme décimal
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Objectif
- Découvrir le logarithme décimal.
- Connaitre le sens de variation de la fonction logarithme décimal.
- Connaitre les propriétés algébriques de la fonction logarithme décimal et les utiliser pour transformer des expressions mathématiques.
- Utiliser le logarithme décimal pour résoudre des équations et des inéquations.
Point clé
- La fonction qui à tout nombre x strictement positif associe log x est appelée fonction logarithme décimal.
- Propriétés :
- La fonction logarithme décimal est croissante pour toute valeur strictement positive.
- La solution de logx = a est 10a.
- La solution de ax = b est
- L'ensemble des solutions de log x ≤ a est ]0 ; 10a].
- L'ensemble des solutions de log x ≥ a est [10a ; +∞[.
Pour bien comprendre
- Savoir résoudre une équation et une inéquation de degré 1.
- Connaitre les puissances des nombres.
1. Généralités
a. Définition
La fonction qui à tout nombre x strictement positif
associe log
x est
appelée fonction logarithme décimal.
Pour trouver des valeurs, il faudra utiliser la touche log de votre calculatrice.
Valeurs remarquables
- log 1 = 0
- log 10 = 1
b. Propriétés algébriques
Propriétés avec x et y sont des réels
strictement positifs :
Exemple d'emploi
Sachant que log 2 ≈ 0,301, calculer log 5.
Comme 10 = 2×5 alors log 10 = log(2×5).
On sait que log 10 = 1 par définition et que log (xy) = log x + log y par propriété.
Ainsi log(2×5) = log 2 + log 5 ≈ 0,301 + log 5.
On en déduit : 1 ≈ 0,301 + log 5 et log 5 ≈ 0,699.
Sachant que log 2 ≈ 0,301, calculer log 5.
Comme 10 = 2×5 alors log 10 = log(2×5).
On sait que log 10 = 1 par définition et que log (xy) = log x + log y par propriété.
Ainsi log(2×5) = log 2 + log 5 ≈ 0,301 + log 5.
On en déduit : 1 ≈ 0,301 + log 5 et log 5 ≈ 0,699.
2. Variations
Propriété
La fonction logarithme décimal est croissante pour toute valeur strictement positive.
La fonction logarithme décimal est croissante pour toute valeur strictement positive.
Représentation graphique
3. Résolution d'équations,
d'inéquations
Propriété fondamentale due à
la croissance de la fonction log :
a. Résolution d'équations avec un
logarithme
Propriété – Résolution
de log x =
a
La solution de log x = a est 10a.
La solution de log x = a est 10a.
Exemple
La solution de log x = 5 est 105 = 100 000.
La solution de log x = 5 est 105 = 100 000.
b. Résolution d'inéquations avec un
logarithme
Propriété
1 – Résolution de log x ≤
a
On doit avoir x ≤ 10a, l'ensemble des solutions est donc : ]0 ; 10a].
On doit avoir x ≤ 10a, l'ensemble des solutions est donc : ]0 ; 10a].
Propriété
2 – Résolution de log x ≥ a
On doit avoir x ≥ 10a, l'ensemble des solutions est donc : [10a ; +∞[.
On doit avoir x ≥ 10a, l'ensemble des solutions est donc : [10a ; +∞[.
c. Résolution d'équations avec une
exponentielle
Propriété – Résolution
de ax = b
La solution de ax = b est
La solution de ax = b est
Preuve
ax= b équivaut à log ax = log b, et comme log ax=x log a, l'équation équivaut à x log a=log b d'où .
Exemple
L'évolution d'un capital de 2000 euros placé à 4% d'intérêt annuel en fonction du nombre n d'années est donné par la formule 20001,04n.
Au bout de combien d'années ce capital est-il doublé ?
On cherche à résoudre 20001,04n ⩾ 4000 soit 1,04n ⩾ 2 d'où log1,04n ⩾ log2 soit nlog1,04 ⩾ log2 et enfin n ⩾ log2log1,04 car log 1,04 > 0.
On trouve n ⩾ 18. Il faut 18 ans pour doubler un capital placé à 4% d'intérêt annuel.
L'évolution d'un capital de 2000 euros placé à 4% d'intérêt annuel en fonction du nombre n d'années est donné par la formule 20001,04n.
Au bout de combien d'années ce capital est-il doublé ?
On cherche à résoudre 20001,04n ⩾ 4000 soit 1,04n ⩾ 2 d'où log1,04n ⩾ log2 soit nlog1,04 ⩾ log2 et enfin n ⩾ log2log1,04 car log 1,04 > 0.
On trouve n ⩾ 18. Il faut 18 ans pour doubler un capital placé à 4% d'intérêt annuel.
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