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Fonction logarithme décimal

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Objectif

Découvrir le logarithme décimal.
Connaitre le sens de variation de la fonction logarithme décimal.
Connaitre les propriétés algébriques de la fonction logarithme décimal et les utiliser pour transformer des expressions mathématiques.
Utiliser le logarithme décimal pour résoudre des équations et des inéquations.

Point clé

La fonction qui à tout nombre x strictement positif associe log x est appelée fonction logarithme décimal.
Propriétés :
La fonction logarithme décimal est croissante pour toute valeur strictement positive.
La solution de logx = a est 10^a.
La solution de a^x = b est
L'ensemble des solutions de log x ≤ a est ]0 ; 10^a].
L'ensemble des solutions de log x ≥ a est [10^a ; +∞[.

Pour bien comprendre

Savoir résoudre une équation et une inéquation de degré 1.
Connaitre les puissances des nombres.

1. Généralités

a. Définition

La fonction qui à tout nombre x strictement positif associe log x est appelée fonction logarithme décimal.

Pour trouver des valeurs, il faudra utiliser la touche log de votre calculatrice.

Valeurs remarquables

log 1 = 0
log 10 = 1

b. Propriétés algébriques

Propriétés avec x et y sont des réels strictement positifs :

Exemple d'emploi
Sachant que log 2 ≈ 0,301, calculer log 5.
Comme 10 = 2×5 alors log 10 = log(2×5).
On sait que log 10 = 1 par définition et que log (xy) = log x + log y par propriété.
Ainsi log(2×5) = log 2 + log 5 ≈ 0,301 + log 5.
On en déduit : 1 ≈ 0,301 + log 5 et log 5 ≈ 0,699.

2. Variations

Propriété
La fonction logarithme décimal est croissante pour toute valeur strictement positive.

Représentation graphique

3. Résolution d'équations, d'inéquations

Propriété fondamentale due à la croissance de la fonction log :

a. Résolution d'équations avec un logarithme

Propriété – Résolution de log x = a
La solution de log x = a est 10^a.

Exemple
La solution de log x = 5 est 10⁵= 100 000.

b. Résolution d'inéquations avec un logarithme

Propriété 1 – Résolution de log x ≤ a
On doit avoir x ≤ 10^a, l'ensemble des solutions est donc : ]0 ; 10^a].

Propriété 2 – Résolution de log x ≥ a
On doit avoir x ≥ 10^a, l'ensemble des solutions est donc : [10^a ; +∞[.

c. Résolution d'équations avec une exponentielle

Propriété – Résolution de a^x = b
La solution de a^x = b est

Preuve

ax= b équivaut à log ax = log b, et comme log ax=x log a, l'équation équivaut à x log a=log b d'où .

Exemple
L'évolution d'un capital de 2000 euros placé à 4% d'intérêt annuel en fonction du nombre n d'années est donné par la formule 20001,04n.
Au bout de combien d'années ce capital est-il doublé ?
On cherche à résoudre 20001,04n ⩾ 4000 soit 1,04n ⩾ 2 d'où log1,04n ⩾ log2 soit nlog1,04 ⩾ log2 et enfin n ⩾ log2log1,04 car log 1,04 > 0.
On trouve n ⩾ 18. Il faut 18 ans pour doubler un capital placé à 4% d'intérêt annuel.

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