Isoler une variable - Maxicours

Isoler une variable

Objectif

Manipuler une égalité pour isoler une variable.

Points clés
  • Lorsqu'une variable est liée par une opération dans une égalité, on applique l'opération contraire des deux côtés de l'égalité pour isoler cette variable.
  • Si la variable est présente des deux côtés de l'égalité, on la ramène d'abord d'un seul côté.
  • Pour isoler une variable dans une expression, l’ordre des opérations à effectuer est l'ordre inverse des opérations à effectuer si on devait obtenir l'expression à partir de cette variable.
Pour bien comprendre
  • Les opérations algébriques
  • La fonction racine carrée
  • La fonction logarithme décimal et l'exponentielle de base 10

Pour résoudre de nombreux problèmes mathématiques, on est parfois amené à manipuler une égalité pour isoler une variable d’un côté de cette égalité.

1. Isoler une variable - Principe
En mathématiques, une variable est une valeur inconnue, qui varie dans un ensemble de nombres.
Une variable se note avec une lettre.
Exemple
La variable x peut prendre toutes les valeurs possibles : par exemple 1000, 10 ou encore 1000.
Isoler une variable dans une égalité consiste à travailler algébriquement cette égalité de sorte à avoir cette variable, et elle seule, d'un côté de l'égalité, sans que cette variable ne soit également présente de l'autre côté de l'égalité.
Exemples
  • Dans l'égalité 2x2 + y = 9  x, ni la variable x ni la variable y ne sont isolées.
  • Dans l'égalité y = 9  x – 2x2, la variable y est isolée, mais pas la variable x.
  • Dans l'égalité 2x2 – y  9 = x, la variable x n'est pas isolée à droite à cause du terme en x2 qui est présent du côté gauche.

Isoler une variable n'est pas toujours possible, mais des méthodes simples permettent d'isoler une variable dans de nombreuses situations.

2. Cas où la variable à isoler est d'un seul côté de l'égalité
a. Casser un lien

Il est possible d’isoler une variable d’un seul côté de l’égalité, en cassant un lien additif, un lien multiplicatif, un lien de carré, ou encore un lien logarithmique ou exponentiel.

Casser un lien additif
Lorsqu'il y a une quantité ajoutée ou soustraite à une variable à isoler, on soustrait ou on ajoute cette quantité des deux côtés de l'égalité.
Exemples
  • Pour isoler x dans l'égalité 2x + y = 3,
    on commence par soustraire  de chaque côté :
  • Pour isoler x dans l'égalité 2x – 4z = 3,
    on commence par ajouter  de chaque côté :

     
Remarque
Dans ces deux exemples, x n'est pas totalement isolée à cause du coefficient 2.
Casser un lien multiplicatif
Lorsqu'il y a une quantité multipliée ou divisée à une variable à isoler, on divise ou on multiplie cette quantité des deux côtés de l'égalité.
Exemple 1 
Pour isoler x dans l'égalité x × y = 3,
on divise par  de chaque côté :

Remarque
x est isolée.
Exemple 2
Pour isoler x dans l'égalité  = 3,
on commence par multiplier par  de chaque côté :

Remarque
x n’est pas totalement isolée à cause de la quantité « +2 » à gauche.
Casser un lien de carré
Rappels
  • La fonction qui à tout nombre x positif ou nul associe  est appelée fonction racine carrée.
  • On a  x et  = x ou –x.
Lorsque la variable à isoler est élevée au carré, on prend la racine carrée des deux côtés de l'égalité, en faisant attention aux conditions de signe (on ne peut prendre la racine carrée que d'un nombre positif) et en pensant que 2 nombres opposés ont le même carré.
Exemple
Pour isoler x dans l'égalité x2 = y + 7,
on prend la racine carrée de chaque côté :
  • si y + 7 < 0, on ne peut pas isoler x ;
  • si y + 7  0, alors x =  ou x = .
Casser un lien logarithmique ou exponentiel
Rappels
  • La fonction qui à tout nombre x strictement positif associe log x est appelée fonction logarithme décimal.
  • On a log(10x= x.
  • On a 10log x = x.
  • On a log(nxx log n.
Casser un lien logarithmique
Si la variable est dans un logarithme décimal (log), on applique la fonction exponentielle de base 10 de chaque côté de l'égalité en utilisant la relation : 10log x = x.
Exemple
Pour isoler x dans l'égalité log(x + 6) = 3y
on commence par prendre l'exponentielle de base 10 de chaque côté :

Remarque
x n'est pas isolée à cause de la quantité « +6 » à gauche.
Casser un lien exponentiel
Si la variable est en exposant, on applique le logarithme décimal des deux côtés de l'égalité en utilisant :
  • la relation log(10x= x ;
  • ou la relation log(nx= x log n.
Exemple 1
Pour isoler x dans l'égalité 10x−3 = 2y
on commence par prendre le logarithme décimal de chaque côté :

Remarque
x n'est pas isolée à cause de la quantité « 3 » à gauche.
Exemple 2
Pour isoler x dans l'égalité 3x = 2y
on commence par prendre le logarithme décimal de chaque côté :

Remarque
x n'est pas isolée à cause du coefficient « log 3 » à gauche.
b. Par quelle opération commencer ?

Pour isoler x dans l’égalité 3x2 + 1 = y, on peut hésiter entre commencer par diviser par 3, ou bien prendre la racine carrée, ou bien soustraire 1.

Pour effectuer les opérations dans le bon ordre, il faut suivre la méthode suivante.

Étape 1 Déterminer les opérations nécessaires pour obtenir l'expression à partir de la variable x.

Étape 2 Pour isoler x, effectuer les opérations inverses, dans l'ordre inverse.

Exemple
On souhaite isoler x dans l’égalité 3x2 + 1 = y.

Étape 1 – Pour obtenir l'expression 3x2 + 1 en partant de x, il faut :

  1. élever au carré x : x2 ;
  2. puis multiplier par 3 : 3x2 ;
  3. et enfin ajouter 1 : 3x2 + 1.

Étape 2 – Pour isoler x dans l’égalité 3x2 + 1 = y, il faut réaliser les opérations inverses, et ce dans l'ordre inverse :

  1. « soustraire 1 » :
  2. « diviser par 3 » :
  3. puis « prendre la racine carrée » : 

     
3. Cas où la variable à isoler est des deux côtés de l'égalité
Lorsque la variable qu’on souhaite isoler est des deux côtés de l’égalité, il faut commencer par ramener cette variable d'un seul côté de l'égalité (généralement à gauche).
Exemple 1

Pour isoler x dans l'égalité 9x  y + 4x + 2y :

  1. on enlève  des deux côtés pour qu'il n'y ait plus de terme en x à droite :
  2. on ajoute  des deux côtés pour qu'il n'y ait plus que le terme en x à gauche :
  3. on termine alors en divisant par  des deux côtés pour isoler x à gauche :
Exemple 2

Pour isoler x dans x =  :

  1. on multiplie chaque côté de l’égalité par  :
  2. on termine alors en prenant la racine carrée des deux côtés de l’égalité :
    si 4 + y ≥ O, on a x =  ou x = –.
Exemple 3

Pour isoler x dans (x + 3)2  7x = 3(5 + x+ x2 :

  1. on développe de chaque côté de l’égalité :
    Rappels
    Pour k, a et b des nombres quelconques :
    • k(a + b) = ka + kb
    • (a + b)2= a2 × a × b + b2
    • (a – b)2a2  2 × a × b + b2
  2. on ramène tous les termes en x à gauche en enlevant des deux côtés  et  :
  3. on termine alors en enlevant des deux côtés  puis en divisant par  :
Exemple 4

Pour isoler x dans  = y :

  1. on multiplie des deux côtés par  :
  2. on développe à droite pour libérer le terme en x de la parenthèse et on ramène les termes en x à gauche :
  3. on factorise à gauche par x afin de n'avoir qu'un terme en x à gauche :
  4. on termine en divisant par  des deux côtés :

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