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Isoler une variable

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Objectif

Manipuler une égalité pour isoler une variable.

Points clés

Lorsqu'une variable est liée par une opération dans une égalité, on applique l'opération contraire des deux côtés de l'égalité pour isoler cette variable.
Si la variable est présente des deux côtés de l'égalité, on la ramène d'abord d'un seul côté.
Pour isoler une variable dans une expression, l’ordre des opérations à effectuer est l'ordre inverse des opérations à effectuer si on devait obtenir l'expression à partir de cette variable.

Pour bien comprendre

Les opérations algébriques
La fonction racine carrée
La fonction logarithme décimal et l'exponentielle de base 10

Pour résoudre de nombreux problèmes mathématiques, on est parfois amené à manipuler une égalité pour isoler une variable d’un côté de cette égalité.

1. Isoler une variable - Principe

En mathématiques, une variable est une valeur inconnue, qui varie dans un ensemble de nombres.
Une variable se note avec une lettre.

Exemple
La variable x peut prendre toutes les valeurs possibles : par exemple 1000, 10 ou encore –1000.

Isoler une variable dans une égalité consiste à travailler algébriquement cette égalité de sorte à avoir cette variable, et elle seule, d'un côté de l'égalité, sans que cette variable ne soit également présente de l'autre côté de l'égalité.

Exemples

Dans l'égalité 2x² + y = 9 – x, ni la variable x ni la variable y ne sont isolées.
Dans l'égalité y = 9 – x – 2x², la variable y est isolée, mais pas la variable x.
Dans l'égalité –2x² – y – 9 = x, la variable x n'est pas isolée à droite à cause du terme en x² qui est présent du côté gauche.

Isoler une variable n'est pas toujours possible, mais des méthodes simples permettent d'isoler une variable dans de nombreuses situations.

2. Cas où la variable à isoler est d'un seul côté de l'égalité

a. Casser un lien

Il est possible d’isoler une variable d’un seul côté de l’égalité, en cassant un lien additif, un lien multiplicatif, un lien de carré, ou encore un lien logarithmique ou exponentiel.

Casser un lien additif

Lorsqu'il y a une quantité ajoutée ou soustraite à une variable à isoler, on soustrait ou on ajoute cette quantité des deux côtés de l'égalité.

Exemples

Pour isoler x dans l'égalité 2x + y = 3,
on commence par soustraire

de chaque côté :

Pour isoler x dans l'égalité 2x – 4z = 3,
on commence par ajouter

de chaque côté :

Remarque
Dans ces deux exemples, x n'est pas totalement isolée à cause du coefficient 2.

Casser un lien multiplicatif

Lorsqu'il y a une quantité multipliée ou divisée à une variable à isoler, on divise ou on multiplie cette quantité des deux côtés de l'égalité.

Exemple 1
Pour isoler x dans l'égalité x × y = 3,
on divise par

de chaque côté :

Remarque
x est isolée.

Exemple 2
Pour isoler x dans l'égalité

= 3,
on commence par multiplier par

de chaque côté :

Remarque
x n’est pas totalement isolée à cause de la quantité « +2 » à gauche.

Casser un lien de carré

Rappels

La fonction qui à tout nombre x positif ou nul associe est appelée fonction racine carrée.
On a = x et = x ou –x.

Lorsque la variable à isoler est élevée au carré, on prend la racine carrée des deux côtés de l'égalité, en faisant attention aux conditions de signe (on ne peut prendre la racine carrée que d'un nombre positif) et en pensant que 2 nombres opposés ont le même carré.

Exemple
Pour isoler x dans l'égalité x² = y + 7,
on prend la racine carrée de chaque côté :

si y + 7 < 0, on ne peut pas isoler x ;
si y + 7 ≥ 0, alors x = ou x = −.

Casser un lien logarithmique ou exponentiel

Rappels

La fonction qui à tout nombre x strictement positif associe log x est appelée fonction logarithme décimal.
On a log(10^x) = x.
On a 10^log^x = x.
On a log(n^x) = x log n.

Casser un lien logarithmique

Si la variable est dans un logarithme décimal (log), on applique la fonction exponentielle de base 10 de chaque côté de l'égalité en utilisant la relation : 10^log x = x.

Exemple
Pour isoler x dans l'égalité log(x + 6) = 3y,
on commence par prendre l'exponentielle de base 10 de chaque côté :

Remarque
x n'est pas isolée à cause de la quantité « +6 » à gauche.

Casser un lien exponentiel

Si la variable est en exposant, on applique le logarithme décimal des deux côtés de l'égalité en utilisant :

la relation log(10^x) = x ;
ou la relation log(n^x) = x log n.

Exemple 1
Pour isoler x dans l'égalité 10^x−3 = 2y,
on commence par prendre le logarithme décimal de chaque côté :

Remarque
x n'est pas isolée à cause de la quantité « –3 » à gauche.

Exemple 2
Pour isoler x dans l'égalité 3^x = 2y,
on commence par prendre le logarithme décimal de chaque côté :

Remarque
x n'est pas isolée à cause du coefficient « log 3 » à gauche.

b. Par quelle opération commencer ?

Pour isoler x dans l’égalité 3x² + 1 = y, on peut hésiter entre commencer par diviser par 3, ou bien prendre la racine carrée, ou bien soustraire 1.

Pour effectuer les opérations dans le bon ordre, il faut suivre la méthode suivante.

Étape 1 – Déterminer les opérations nécessaires pour obtenir l'expression à partir de la variable x.

Étape 2 – Pour isoler x, effectuer les opérations inverses, dans l'ordre inverse.

Exemple
On souhaite isoler x dans l’égalité 3x² + 1 = y.

Étape 1 – Pour obtenir l'expression 3x² + 1 en partant de x, il faut :

élever au carré x : x² ;
puis multiplier par 3 : 3x² ;
et enfin ajouter 1 : 3x² + 1.

Étape 2 – Pour isoler x dans l’égalité 3x² + 1 = y, il faut réaliser les opérations inverses, et ce dans l'ordre inverse :

« soustraire 1 » :

« diviser par 3 » :

puis « prendre la racine carrée » :

3. Cas où la variable à isoler est des deux côtés de l'égalité

Lorsque la variable qu’on souhaite isoler est des deux côtés de l’égalité, il faut commencer par ramener cette variable d'un seul côté de l'égalité (généralement à gauche).

Exemple 1

Pour isoler x dans l'égalité 9x – y = 8 + 4x + 2y :

on enlève

des deux côtés pour qu'il n'y ait plus de terme en x à droite :

on ajoute

des deux côtés pour qu'il n'y ait plus que le terme en x à gauche :

on termine alors en divisant par

des deux côtés pour isoler x à gauche :

Exemple 2

Pour isoler x dans x = :

on multiplie chaque côté de l’égalité par

on termine alors en prenant la racine carrée des deux côtés de l’égalité :
si 4 + y ≥ O, on a x = ou x = –.

Exemple 3

Pour isoler x dans (x + 3)² – 7x = 3(5 + x) + x² :

on développe de chaque côté de l’égalité :
Rappels
Pour k, a et b des nombres quelconques :
- k(a + b) = ka + kb
- (a + b)²= a² + 2 × a × b + b²
- (a – b)²= a² – 2 × a × b + b²