Fiche de cours

Probabilité conditionnelle et arbre pondéré- Terminale- Mathématiques

Lycée   >   Terminale techno   >   Mathématiques   >   Probabilité conditionnelle et arbre pondéré- Terminale- Mathématiques

  • Fiche de cours
  • Quiz et exercices
  • Vidéos et podcasts
Objectifs
  • Définir et calculer une probabilité conditionnelle.
  • Exploiter un arbre pondéré pour déterminer des probabilités.
  • Retrouver et utiliser la formule des probabilités totales.
Points clés
  • Soient A et B deux événements de E, avec . La probabilité conditionnelle de B sachant A est le nombre noté  défini par : .
  •  et (avec  et )
  • Dans un arbre pondéré :
    • La probabilité de l'événement correspondant à un chemin est le produit des probabilités des branches composant ce chemin (règle du produit).
    • La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1 (règle de la somme).
  • Formule des probabilité totale : .
    C'est à dire que 

Dans tout le chapitre, E désigne l’ensemble de toutes les issues d’une expérience aléatoire. Cet ensemble est appelé l’univers.

1. Probabilité conditionnelle
a. Un exemple pour comprendre

Un sachet de 100 bonbons contient 40 bonbons acidulés, les autres bonbons sont à la guimauve. 18 des bonbons à la guimauve sont au parfum orange et 10 bonbons sont acidulés et au parfum orange. Les bonbons qui ne sont pas au parfum orange sont à la fraise.

On choisit un bonbon au hasard dans ce sachet. On note :
• A : l’événement : « le bonbon choisi est acidulé »
• G : l’événement : « le bonbon choisi est à la guimauve »
• F : l’événement : « le bonbon choisi est à la fraise »
• O : l’événement : « le bonbon choisi est au parfum orange »

E est l’ensemble de tous les bonbons.

On a  et 

L’événement : « le bonbon choisi est à la guimauve et au parfum orange » se note .


et 

Supposons maintenant la condition suivante réalisée : « le bonbon choisi est à la guimauve »
Quelle est alors la probabilité que le bonbon choisi soit au parfum orange ?
Cette probabilité se note PG(O). C’est la probabilité que l’événement O se réalise sachant que l’événement G est réalisé. Ici l’ensemble de référence n’est plus E mais l’ensemble des bonbons à la guimauve :



On a aussi 

b. Définition et propriétés
Définition
Soient A et B deux événements de E, avec . La probabilité conditionnelle de B sachant A (probabilité que l’événement B soit réalisé sachant que l’événement A est réalisé) est le nombre noté  défini par : .

 

L’ensemble de référence n’est plus l’univers E mais devient l’événement A.
On étudie B parmi A, c’est-à-dire dans A.
Ainsi, 
Il s’agit d’une nouvelle probabilité, dite probabilité conditionnelle définie sur l’univers E. Elle a toutes les propriétés d’une probabilité.

Propriété 1
 et   où  est l'événement contraire de B.
c. Application à l'exemple

et 

 car F est l’événement contraire de O. En effet, si un bonbon n’est pas au parfum orange, il est à la fraise : .

De la définition, on déduit la propriété suivante :

Propriété  2
peut se calculer de deux façons :
  1.    (avec )
  2.    (avec )
2. Arbre pondéré et formule des probabilités totales
a. Arbre pondéré

Dans le cas d’une expérience aléatoire mettant en jeu des probabilités conditionnelles dans un univers E, on peut modéliser la succession de deux épreuves à l’aide d’un arbre pondéré. Pour cela, on peut envisager deux niveaux de branches : un premier niveau qui indique la probabilité de l’événement A, puis un second niveau qui permet de figurer les probabilités conditionnelles en rapport avec l’événement B.


Une branche relie deux événements. Sur chaque branche, on note la probabilité correspondante. Ainsi, la probabilité de la branche reliant A à B est  .

Un chemin est une suite de branches ; il représente l’intersection des événements rencontrés sur ce chemin. La probabilité d’un chemin est la probabilité de l’intersection des événements rencontrés sur ce chemin.

Un nœud est le point de départ d’une ou plusieurs branches.



 
Règle du produit
La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches composant ce chemin.



Règle de la somme
La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1.

b. Formule des probabilités totales
La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins conduisant à l’événement, on appelle cette probabilité la formule des probabilités totales.
Ainsi, si A1, A2, A3,...An forment une partition de E, alors la probabilité d'un événement quelconque B est donnée par .
C'est à dire que .
Exemple
Revenons à l'exemple précédent. La probabilité de choisir un bonbon au parfum à l’orange est :





Autre exemple : un magasin de sport propose des réductions sur les trois marques de vêtements qu’il distribue. La marque A représente 64 % des vêtements vendus ; la marque N, 28 % ; la marque O en représente 8 %.
30 % des vêtements de la marque A, 60 % de la marque N et 80 % de ceux de la marque O sont soldés.
On interroge au hasard un client ayant acheté un vêtement de sport.

La probabilité que le client interrogé ait acheté un vêtement soldé est :




Évalue ce cours !

 

Des quiz et exercices pour mieux assimiler sa leçon

La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des quiz et exercices en accompagnement de chaque fiche de cours. Les exercices permettent de vérifier si la leçon est bien comprise ou s’il reste encore des notions à revoir.

S’abonner

 

Des exercices variés pour ne pas s’ennuyer

Les exercices se déclinent sous toutes leurs formes sur myMaxicours ! Selon la matière et la classe étudiées, retrouvez des dictées, des mots à relier ou encore des phrases à compléter, mais aussi des textes à trous et bien d’autres formats !

Dans les classes de primaire, l’accent est mis sur des exercices illustrés très ludiques pour motiver les plus jeunes.

S’abonner

 

Des quiz pour une évaluation en direct

Les quiz et exercices permettent d’avoir un retour immédiat sur la bonne compréhension du cours. Une fois toutes les réponses communiquées, le résultat s’affiche à l’écran et permet à l’élève de se situer immédiatement.

myMaxicours offre des solutions efficaces de révision grâce aux fiches de cours et aux exercices associés. L’élève se rassure pour le prochain examen en testant ses connaissances au préalable.

S’abonner

Des vidéos et des podcasts pour apprendre différemment

Certains élèves ont une mémoire visuelle quand d’autres ont plutôt une mémoire auditive. myMaxicours s’adapte à tous les enfants et adolescents pour leur proposer un apprentissage serein et efficace.

Découvrez de nombreuses vidéos et podcasts en complément des fiches de cours et des exercices pour une année scolaire au top !

S’abonner

 

Des podcasts pour les révisions

La plateforme de soutien scolaire en ligne myMaxicours propose des podcasts de révision pour toutes les classes à examen : troisième, première et terminale.

Les ados peuvent écouter les différents cours afin de mieux les mémoriser en préparation de leurs examens. Des fiches de cours de différentes matières sont disponibles en podcasts ainsi qu’une préparation au grand oral avec de nombreux conseils pratiques.

S’abonner

 

Des vidéos de cours pour comprendre en image

Des vidéos de cours illustrent les notions principales à retenir et complètent les fiches de cours. De quoi réviser sa prochaine évaluation ou son prochain examen en toute confiance !

S’abonner

Découvrez le soutien scolaire en ligne avec myMaxicours

Le service propose une plateforme de contenus interactifs, ludiques et variés pour les élèves du CP à la Terminale. Nous proposons des univers adaptés aux tranches d'âge afin de favoriser la concentration, encourager et motiver quel que soit le niveau. Nous souhaitons que chacun se sente bien pour apprendre et progresser en toute sérénité ! 

Fiches de cours les plus recherchées

Mathématiques

Indépendance de deux évènements- Terminale- Mathématiques

Mathématiques

Variable aléatoire et loi de probabilité (rappels)

Mathématiques

Espérance d'une variable aléatoire discrète

Mathématiques

Loi binomiale

Mathématiques

Définitions et notations ensemblistes- Terminale techno - Mathématiques

Mathématiques

Le vocabulaire de la logique- Terminale techno - Mathématiques

Mathématiques

Listes en Python : création et manipulation- Terminale techno - Mathématiques

Mathématiques

Liste en Python : application aux ensembles- Terminale- Mathématiques

Mathématiques

Proportions et pourcentages- Terminale- Mathématiques

Mathématiques

Taux d'évolution et coefficient multiplicateur- Terminale- Mathématiques