Probabilité conditionnelle et arbre pondéré- Terminale- Mathématiques - Maxicours

Probabilité conditionnelle et arbre pondéré

Objectifs
  • Définir et calculer une probabilité conditionnelle.
  • Exploiter un arbre pondéré pour déterminer des probabilités.
  • Retrouver et utiliser la formule des probabilités totales.
Points clés
  • Soient A et B deux événements de E, avec . La probabilité conditionnelle de B sachant A est le nombre noté  défini par : .
  •  et (avec  et )
  • Dans un arbre pondéré :
    • La probabilité de l'événement correspondant à un chemin est le produit des probabilités des branches composant ce chemin (règle du produit).
    • La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1 (règle de la somme).
  • Formule des probabilité totale : .
    C'est à dire que 

Dans tout le chapitre, E désigne l’ensemble de toutes les issues d’une expérience aléatoire. Cet ensemble est appelé l’univers.

1. Probabilité conditionnelle
a. Un exemple pour comprendre

Un sachet de 100 bonbons contient 40 bonbons acidulés, les autres bonbons sont à la guimauve. 18 des bonbons à la guimauve sont au parfum orange et 10 bonbons sont acidulés et au parfum orange. Les bonbons qui ne sont pas au parfum orange sont à la fraise.

On choisit un bonbon au hasard dans ce sachet. On note :
• A : l’événement : « le bonbon choisi est acidulé »
• G : l’événement : « le bonbon choisi est à la guimauve »
• F : l’événement : « le bonbon choisi est à la fraise »
• O : l’événement : « le bonbon choisi est au parfum orange »

E est l’ensemble de tous les bonbons.

On a  et 

L’événement : « le bonbon choisi est à la guimauve et au parfum orange » se note .


et 

Supposons maintenant la condition suivante réalisée : « le bonbon choisi est à la guimauve »
Quelle est alors la probabilité que le bonbon choisi soit au parfum orange ?
Cette probabilité se note PG(O). C’est la probabilité que l’événement O se réalise sachant que l’événement G est réalisé. Ici l’ensemble de référence n’est plus E mais l’ensemble des bonbons à la guimauve :



On a aussi 

b. Définition et propriétés
Définition
Soient A et B deux événements de E, avec . La probabilité conditionnelle de B sachant A (probabilité que l’événement B soit réalisé sachant que l’événement A est réalisé) est le nombre noté  défini par : .

 

L’ensemble de référence n’est plus l’univers E mais devient l’événement A.
On étudie B parmi A, c’est-à-dire dans A.
Ainsi, 
Il s’agit d’une nouvelle probabilité, dite probabilité conditionnelle définie sur l’univers E. Elle a toutes les propriétés d’une probabilité.

Propriété 1
 et   où  est l'événement contraire de B.
c. Application à l'exemple

et 

 car F est l’événement contraire de O. En effet, si un bonbon n’est pas au parfum orange, il est à la fraise : .

De la définition, on déduit la propriété suivante :

Propriété  2
peut se calculer de deux façons :
  1.    (avec )
  2.    (avec )
2. Arbre pondéré et formule des probabilités totales
a. Arbre pondéré

Dans le cas d’une expérience aléatoire mettant en jeu des probabilités conditionnelles dans un univers E, on peut modéliser la succession de deux épreuves à l’aide d’un arbre pondéré. Pour cela, on peut envisager deux niveaux de branches : un premier niveau qui indique la probabilité de l’événement A, puis un second niveau qui permet de figurer les probabilités conditionnelles en rapport avec l’événement B.


Une branche relie deux événements. Sur chaque branche, on note la probabilité correspondante. Ainsi, la probabilité de la branche reliant A à B est  .

Un chemin est une suite de branches ; il représente l’intersection des événements rencontrés sur ce chemin. La probabilité d’un chemin est la probabilité de l’intersection des événements rencontrés sur ce chemin.

Un nœud est le point de départ d’une ou plusieurs branches.



 
Règle du produit
La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches composant ce chemin.



Règle de la somme
La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1.

b. Formule des probabilités totales
La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins conduisant à l’événement, on appelle cette probabilité la formule des probabilités totales.
Ainsi, si A1, A2, A3,...An forment une partition de E, alors la probabilité d'un événement quelconque B est donnée par .
C'est à dire que .
Exemple
Revenons à l'exemple précédent. La probabilité de choisir un bonbon au parfum à l’orange est :





Autre exemple : un magasin de sport propose des réductions sur les trois marques de vêtements qu’il distribue. La marque A représente 64 % des vêtements vendus ; la marque N, 28 % ; la marque O en représente 8 %.
30 % des vêtements de la marque A, 60 % de la marque N et 80 % de ceux de la marque O sont soldés.
On interroge au hasard un client ayant acheté un vêtement de sport.

La probabilité que le client interrogé ait acheté un vêtement soldé est :




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