Les calculs avec les fractions - Maxicours

Les calculs avec les fractions

Objectifs
  • Connaitre l’écriture fractionnaire d’un nombre. 
  • Effectuer des opérations entre des fractions simples (addition, soustraction, multiplication, division).
Points clés
  • Une écriture fractionnaire est composées de deux parties, le numérateur et le dénominateur, séparées par un trait de fraction. L'écriture fractionnaire (avec ) représente aussi le quotient de a par b. Si a et b sont des nombres entiers, l'écriture est appelée fraction.
  • Soient a, b et c des nombres relatifs
    On a :   et  
  • Soient a, b, c et d des nombres relatifs ().
    On a : .
  • Soient a, b, c et d des nombres relatifs ().
    On a : .
Pour bien comprendre
  • Nombres entiers naturels et relatifs
  • Inverse d'un nombre
1. Rappels sur l'écriture fractionnaire
a. Définition
Une écriture fractionnaire est composées de deux parties, le numérateur et le dénominateur, séparées par un trait de fraction.

L'écriture fractionnaire (avec ) représente aussi le quotient de a par b.

Si a et b sont des nombres entiers, l'écriture est appelée fraction.

b. Explications

 

Cette fraction se lit « deux tiers ». Elle représente un partage : le numérateur indique le nombre de parts que l’on prend, le dénominateur indique le nombre total de parts égales qui composent l’unité.

Exemple
Si on veut prendre d’une pizza, cela veut dire que l’on coupe la pizza en 3 parts égales et que l’on en prend 2.

2. Addition et soustraction de fractions
Soient a, b et c des nombres relatifs
On a :   et  
Méthode
Pour additionner (ou soustraire) deux écritures fractionnaires de dénominateurs différents :
  1. les transformer pour que les dénominateurs soient égaux ;
  2. garder le dénominateur commun ; 
  3. additionner (ou soustraire) les numérateurs.
Exemple 1
Les fractions ont un dénominateur commun :
   ;  
Exemple 2
Un dénominateur est multiple de l'autre :

         
→ 27 est un multiple de 9 car  9 × 3 = 27

         
→ 20 est un multiple de 5 car  5 × 4 = 20
Exemple 3
Les dénominateurs sont différents et non multiples :

Pour appliquer les règles d’addition et de soustraction, on cherchera un dénominateur commun en établissant la liste des multiples de chacun des dénominateurs.

• Calculer :

Multiples de 3 : 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18…
Multiples de 4 : 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20…
12 est un multiple pour les deux nombres, on peut donc l’utiliser comme dénominateur commun :
    et          (Règle d'égalité de fractions)
Donc:

• Calculer :
Multiples de 15 : 15 ; 30 ; 45 ; 60 ; 75
Multiples de 6 : 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; 42 ; 48, 54 ; 60
30 et 60 sont des multiples pour les 2 nombres, on peut donc les utiliser comme dénominateur commun. Pour éviter des nombres trop grands et des simplifications, on choisira le plus petit : 30
Donc :

3. Multiplication de fractions
Soient a, b, c et d des nombres relatifs ().
On a : .
Méthode

Pour multiplier deux écritures fractionnaires :

  1. multiplier les numérateurs entre eux ;
  2. multiplier les dénominateurs entre eux.
Exemples
                  
 

Remarque
Prendre la fraction d'une fraction revient à multiplier ces fractions entre elles. Prendre les des revient à calculer :
4. Division de fractions
a. Inverse d'une fraction
L’inverse d’un nombre a est le nombre qui, multiplié par a, donne 1.
Conséquence : L’inverse d’une fraction (avec a et b des nombres relatifs non nuls) est la fraction .

En effet, on a :   après simplification par a et b.

Exemples
L'inverse de la fraction est la fraction .
L'inverse de la fraction est la fraction .
L'inverse de la fraction est la fraction .
b. Division de deux fractions
Soient a, b, c et d des nombres relatifs ().
On a : .
Méthode
Pour diviser une fraction par (avec a et b des nombres relatifs non nuls), multiplier cette fraction par son inverse : .
Exemples

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