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Fonctions polynômes de degré 2 : définition et représentation

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Objectifs

Connaitre l'expression algébrique d'une fonction polynôme du second degré.
Connaitre les représentations graphiques des fonctions polynômes du type
- (cas général) ;
- et (cas particuliers).

Connaitre l'axe ou les axes de symétrie d'une fonction polynôme du second degré.
Connaitre le signe d'une fonction polynôme du second degré sous forme factorisée, grâce à l'image mentale de sa courbe.

Points clés

Une fonction polynôme du second degré est une fonction définie sur R par, avec a un réel non nul, b et c deux réels.
Sa représentation graphique est une parabole dont les branches sont tournées vers le haut lorsque et vers le bas lorsque .
Le sommet S de la parabole est le point de la parabole d'abscisse .
La parabole admet un axe de symétrie vertical d'équation .
Dans le cas particulier où b = 0 et c = 0, c'est-à-dire où l'on a :
- la parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées du repère ;
- le sommet de la parabole est le point O (0 ; 0).
Dans le cas particulier où c = 0, c'est-à-dire où l'on a , la parabole est la même que celle de la fonction mais « décalée » vers le haut ou vers le bas en fonction de la valeur de b.
Lorsque f est sous forme factorisée f(x) = a(x – x₁)(x – x₂), on visualise mentalement sa parabole coupant l'axe des abscisses aux points d'abscisses x₁ et x₂, tournée vers le haut ou le bas suivant le signe de a, et on a directement les ensembles solution des inéquations f(x) ≥ 0 et f(x) ≤ 0.

Pour bien comprendre

Fonction impaire
Images, antécédents
Fonction carré
Représentation graphique d'une fonction

Nous allons ici étudier un type de fonctions liées à la fonction carrée.

1. Fonction polynôme de degré 2

Une fonction (polynôme) du second degré est une fonction qui peut s'écrire sous la forme

, avec a un réel non nul, b et c deux réels.

Exemples

La fonction f définie par est une fonction du second degré. On identifie les coefficients : .
La fonction g définie par est une fonction du second degré. On identifie les coefficients : .

Remarque
Une fonction du second degré peut s'écrire sous plusieurs formes. On appelle forme développée la forme

. La forme

est la forme factorisée.

2. Représentation graphique

a. Cas général

On appelle parabole la courbe représentative d'une fonction du second degré.
La parabole a pour équation

, avec a un réel non nul, b et c deux réels.

L'allure de la parabole d'équation

dépend du signe de a :

si alors les branches de la parabole sont tournées vers le haut ;
si alors les branches de la parabole sont tournées vers le bas.

Moyen mnémotechnique : lorsqu'on est positif, on sourit

, alors que lorsqu'on est négatif, on fait la moue

Le sommet S de la parabole est le point de la parabole d'abscisse

Exemple 1 : cas où

On va étudier la fonction f définie sur l'intervalle [-1 ; 4] par

.
Ici

.
Un tableau de valeurs obtenu avec la calculatrice est :

x	–1	0	1	2	3	4
*f(x)*	5	1	–1	–1	1	5

D'après ce tableau on peut lire que

.

Sur le graphique ci-dessous, on lit les coordonnées du curseur X = 1,5 et Y = –1,25. Ce sont les coordonnées du sommet de la parabole : S(1,5 ; –1,25).

Exemple 2 : cas où

On va étudier la fonction g définie sur l'intervalle [-2 ; 6] par

. Ici

. Un tableau de valeurs obtenu avec la calculatrice est :

x	–2	–1	0	1	2	3	4	5	6
*g(x)*	–3	0,5	3	4,5	5	4,5	3	0,5	–3

D'après ce tableau on peut lire que .

Sur le graphique ci-dessous, on lit les coordonnées du curseur X = 2 et Y = 5. Ce sont les coordonnées du sommet de la parabole : S(2 ; 5).

La parabole admet un axe de symétrie vertical d'équation

Remarque
On a vu au paragraphe précédent que le sommet de la parabole avait pour abscisse

.
L'axe de symétrie de la parabole passe donc par ce sommet.

Exemple 1
Reprenons l'exemple 1 du paragraphe précédent.
La parabole représentative de la fonction f définie sur l'intervalle [-1 ; 4] par

admet un axe de symétrie vertical d'équation

Exemple 2
Reprenons l'exemple 2 du paragraphe précédent.
La parabole représentative de la fonction g définie sur l'intervalle [-2 ; 6] par

admet un axe de symétrie vertical d'équation

b. Cas particulier lorsque b = 0 et c = 0

Parmi les fonctions polynômes du second degré, on considère celles du type .

Pour tout réel x, on a f(–x) = a (–x)² = ax² = f(x). La fonction f est donc paire.

Par conséquent, la courbe représentative d’une fonction polynôme du type

est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées du repère.

On a vu au paragraphe précédent que le sommet S d'une parabole d'équation était le point de la parabole d'abscisse . Ici, comme b = 0, le sommet S de la parabole a pour abscisse . et pour ordonnée .

Le sommet de la parabole est donc le point O (0 ; 0).

Exemple
Soit f(x) = 0,2x². On peut dresser un tableau de valeurs de f :

x	–3	–2	–1	0	1	2	3
f(x)	1,8	0,8	0,2	0	0,2	0,8	1,8

puis, placer les points de coordonnées (x ; f(x)) dans un repère et enfin, tracer la courbe passant par ces points :

c. Cas particulier lorsque c = 0

Parmi les fonctions polynômes du second degré, on considère celles du type

. La courbe représentative d’une fonction du type

est la même que celle de la fonction

mais « décalée » vers le haut ou vers le bas en fonction de la valeur de b.

Exemple
Reprenons la fonction f(x) = 0,2x³ de l’exemple précédent, et considérons les fonctions g et h définies par g(x) = 0,2x²+ 2 et h(x) = 0,2x² – 3. Visualisons leur représentation graphique dans un même repère :

On remarque que, par rapport à la courbe de f, la courbe de g est « décalée » de 2 vers le haut (b = 2) et que celle de h est « décalée » de 3 vers le bas (b = –3).

3. Signe d'un polynôme du second degré

On peut déterminer le signe d'un polynôme du second degré rapidement à partir de sa forme factorisée, en ayant en tête l'image mentale de sa courbe représentative.

a. Cas le plus fréquent : 2 racines distinctes

Soit f une fonction polynôme de degré 2 telle qu'il existe 3 réels a, x₁ et x₂ tels que f(x) = a(x – x₁)(x – x₂).
Il y a 2 possibilités pour la parabole représentant f :

Si a > 0

La parabole est tournée vers le haut et coupe l'axe des abscisses en changeant de signe pour x = x₁ et pour x = x₂.

On sait ainsi que :
f(x) ≤ 0 pour tout réel x dans [x₁, x₂]
f(x) ≥ 0 pour tout réel x dans ]–∞ ; x₁] ∪ [x₂ ; +∞[

Exemple
Résoudre 3(x + 4)(x – 5) < 0 :
On reconnait la forme factorisée d'un polynôme de degré 2 avec a = 3.
a > 0 donc la parabole est tournée vers le haut, avec x₂ = –4 et x₁ = 5.
L'ensemble solution de l'inéquation est donc [–4 ; 5].

Si a < 0

La parabole est tournée vers le bas et coupe l'axe des abscisses en changeant de signe pou x = x₁ et pour x = x₂.

On sait ainsi que :
f(x) ≤ 0 pour tout réel x dans [x₁, x₂]
f(x) ≥ 0 pour tout réel x dans ]–∞ ; x₁] ∪ [x₂ ; +∞[

Exemple
Résoudre –3(x + 4)(x – 5) < 0 :
On reconnaît la forme factorisée d'un polynôme de degré 2 avec a = –3.
a < 0 donc la parabole est tournée vers le bas, avec x₂ = –4 et x₁ = 5.
L'ensemble solution de l'inéquation est donc ]–∞ ; –4[ ∪ ]5 ; +∞[.

b. Autres cas

Que f soit sans racine (comme f(x) = x² + 1 par exemple) ou avec une seule racine (appelée racine « double », comme f(x) = 5(x – 2)² par exemple), la parabole va rester du même côté de l'axe des abscisses, sans le toucher dans le premier cas, avec un point de contact unique dans le deuxième cas (en x = 2 si f(x) = 5(x – 2)² par exemple).
Conséquence : le signe de f ne change pas sur , et f est donc du signe de a.