Les calculs avec les puissances- Terminale- Mathématiques - Maxicours

Les calculs avec les puissances

Objectifs
  • Connaitre la définition d’une puissance d’exposant un entier positif.
  • Connaitre la définition d’une puissance d’exposant un entier négatif.
  • Effectuer des opérations entre des puissances (produit, quotient, puissance de puissance).
Points clés
  • Soient n un nombre entier strictement positif et a un nombre réel. On appelle a puissance n le nombre noté  tel que : .
  • Soient n un nombre entier strictement positif et a un nombre réel. On appelle a puissance moins n le nombre noté tel que : .
  • Soient a un nombre réel non nul, m et n deux entiers relatifs.
    On a :    et   .
  • Soient a et b deux nombres réels non nuls, m un entier relatif.
    On a :    et   .
  • Soient a un nombre réel, m et n deux entiers relatifs.
    On a : .
1. Définition
a. Puissance à exposant positif
Soit n un nombre entier strictement positif et a un nombre réel.
On appelle a puissance n le nombre noté  tel que : .
Remarque
n est appelé l’exposant.
Exemples
24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 
(–3)3 = (–3) × (–3) × (–3) = –27
(3,2)2 = 3,2 × 3,2 = 10,24 

Par convention :    0n = 0   ;   a1 = a   ;   a0 = 1

À la calculatrice, pour calculer une puissance, on utilise, suivant les modèles, la touche ou .

Exemple
Pour calculer 24, on tape « 2 4 »  ou  « 2 4 ».
b. Puissance à exposant négatif
Soit n un nombre entier strictement positif et a un nombre réel non nul.
On appelle a puissance moins n le nombre noté tel que : .
Exemples

Remarque
Quand   → On dit que est l'inverse de .
2. Règles de calculs sur les puissances
a. Produit et quotient de puissances d'un même nombre
Soient a un nombre réel non nul, m et n deux entiers relatifs.
On a :    et   .
Exemples
 
b. Puissance de produit et de quotient
Soient a et b deux nombres réels non nuls, m un entier relatif.
On a :    et   .
Exemples

c. Puissance de puissance
Soient a un nombre réel, m et n deux entiers relatifs.
On a : .
Exemple

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