Les calculs avec les puissances
Objectifs
- Connaitre la définition d’une puissance d’exposant un entier positif.
- Connaitre la définition d’une puissance d’exposant un entier négatif.
- Effectuer des opérations entre des puissances (produit, quotient, puissance de puissance).
Points clés
- Soient n un nombre entier strictement positif
et a un nombre réel. On
appelle a puissance n le nombre
noté
tel que : 
.
- Soient n un nombre entier strictement positif
et a un nombre réel. On
appelle a puissance moins n le
nombre noté
tel que : 
.
- Soient a un nombre réel non
nul, m et n deux entiers relatifs.
On a :
et
.
- Soient a et b deux nombres
réels non nuls, m un entier
relatif.
On a :
et
.
- Soient a un nombre réel, m et
n deux entiers relatifs.
On a :
.
1. Définition
a. Puissance à exposant positif
Soit n un nombre entier strictement positif et
a un nombre réel.
On appelle a puissance n le nombre noté tel que : .
On appelle a puissance n le nombre noté
tel que : .
Remarque
n est appelé l’exposant.
n est appelé l’exposant.
Exemples
24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
(–3)3 = (–3) × (–3) × (–3) = –27
(3,2)2 = 3,2 × 3,2 = 10,24
24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
(–3)3 = (–3) × (–3) × (–3) = –27
(3,2)2 = 3,2 × 3,2 = 10,24
Par convention : 0n = 0 ; a1 = a ; a0 = 1
À la calculatrice, pour calculer une puissance, on
utilise, suivant les modèles, la touche 
ou 
.
Exemple
Pour calculer 24, on tape « 2 4 »
ou « 2 4 ».
Pour calculer 24, on tape « 2
4 »
ou « 2 4 ».
b. Puissance à exposant négatif
Soit n un nombre entier strictement positif
et a un nombre réel non nul.
On appelle a puissance moins n le nombre noté tel que : .
On appelle a puissance moins n le nombre noté
tel que : .
Exemples
Remarque
Quand
→ On
dit que 
est l'inverse de 
.
Quand
→ On
dit que est l'inverse de .
2. Règles de calculs sur les puissances
a. Produit et quotient de puissances d'un même
nombre
Soient a un nombre réel non
nul, m et n deux entiers
relatifs.
On a : et
.
On a :
et
.
Exemples
b. Puissance de produit et de quotient
Soient a et b deux nombres réels non
nuls, m un entier relatif.
On a : et
.
On a :
et
.
Exemples
c. Puissance de puissance
Soient a un nombre réel, m et
n deux entiers relatifs.
On a :.
On a :
.
Exemple
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