Développer une expression- Terminale- Mathématiques - Maxicours

Développer une expression

Objectifs
  • Reconnaitre la forme développée d'une expression.
  • Développer une expression factorisée.
  • Développer une expression avec des identités remarquables.
Points clés
  • Développer, c’est transformer une multiplication en une somme ou en une différence.
  • La multiplication est distributive sur l'addition. Cela signifie que, pour tous nombres k, a et b, on a : k(a + b) = ka + kb
  • De même, la multiplication est distributive sur la soustraction : k(a − b) = ka − kb
  • La double distributivité de la multiplication sur l’addition signifie que, pour tous nombres a, b, c et d : 
    (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
  • Les identités remarquables sont des développements particuliers d’expressions. On prendra a et b des nombres quelconques.
  • (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2
    (a − b)2 = (a − b)(a − b) = a2 − 2ab + b2
    (a − b)(a + b) = a2 − b2
Développer, c’est transformer une multiplication en une somme ou en une différence.
1. Distributivité de la multiplication
La multiplication est distributive sur l'addition. Cela signifie que, pour tous nombres k, a et b, on a :
k(a + b) = ka + kb

De même, la multiplication est distributive sur la soustraction :
k(a − b) = ka − kb.
Exemple
Développons les expressions suivantes :
3(x + 7) = 3x + 21 
9(2x − 7) = 18x − 63 
2x(3x + 1) = 6x2 + 2x
2. Double distributivité
La double distributivité de la multiplication sur l’addition signifie que, pour tous nombres a, b, c et d :
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.

De la même manière, on obtient les égalités suivantes :

(a + b)(c − d) = ac – ad + bc − bd ;

(a − b)(c + d) = acad – bc − bd ;

(a − b)(c − d) = ac – ad – bc + bd.

Exemple
Développons les expressions suivantes :
(x + 3)(2x + 1) = 2x2 + x + 6x + 3 
(5 + x)(3x − 2) = 15x – 10 + 3x2 − 2x
(6 − 5x)(7 − 4x) = 42 − 24x − 35x + 20x2
3. Identités remarquables
Les identités remarquables sont des développements particuliers d’expressions.

On prendra a et b des nombres quelconques.

► Développement de (a + b)2

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2
Exemple
(5x + 1)2 = (5x)2 + 2 × (5x) × 1 + 12 = 25x2 + 10x + 1


► Développement de (a − b)2

(a − b)2 = (a − b)(a − b) = a2 − 2ab + b2
Exemple
(3x − 7)2 = (3x)2 − 2 × (3x) × 7 + 72 = 9x2 − 42x + 49


► Développement de (a − b)(a + b)

(a − b)(a + b) = a2 − b2
Exemple
(4 − x)(4 + x) = 42 − x2 = 16 − x2
Remarques
• On retrouve chacune de ces expressions en utilisant la double distributivité.
• Ces expressions sont à connaitre « par cœur » sans utiliser la double distributivité.

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