Les suites géométriques
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- Reconnaitre une suite géométrique.
- Calculer la moyenne géométrique de deux nombres.
- Exprimer le terme général d'une suite
géométrique en fonction de
, et l’utiliser pour calculer un
terme donné.
- Modéliser un phénomène discret à croissance exponentielle par une suite géométrique.
- Une suite géométrique est une suite
récurrente définie par
où 
est un réel appelé
raison de la suite.
- Soient a et b deux nombres positifs. On appelle
moyenne géométrique de
a et
b le
nombre
- Pour tout
, 
, ou bien 
avec 
un entier.
- Notion de suite numérique et de terme général d'une suite numérique
- Notion de suite définie par récurrence
- Puissances d’un nombre
- Notions de fonctions exponentielles
est dite
géométrique s'il existe un réel
q tel
que 
pour tout 
. Le
réel 
est
appelé raison de la suite.
Dans une suite géométrique, on passe
d’un terme à son suivant en multipliant
toujours par le même nombre non nul 
.
La suite des nombres 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32....est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme u0=1.
.
, 
et 
trois nombres réels
rangés dans l’ordre croissant ou
décroissant.Les réels
, et sont des termes
consécutifs d’une suite
géométrique si la moyenne
géométrique de et est égale
à : 
.
Soit 
une suite
géométrique de raison 
et de premier terme 
.
On a les formules suivantes :
|
ou
|
avec :
|
le premier terme
de la suite
un terme de rang
un terme de rang
un nombre entier
naturel
un nombre entier
naturel
un nombre
réel
Pour obtenir 
:
- en partant de
: on multiplie
fois par la raison ;
- en partant de
(lorsque 
) : on multiplie
fois par la raison.
Ainsi, 
, 
, 
…
Pour une suite géométrique de raison (–0,3) et de premier terme
, on peut écrire
et ainsi connaitre directement la
valeur de n'importe quel terme de la suite.Par exemple,
.
Une suite géométrique étant de terme
général 
, on peut l'écrire
où 
est la fonction
exponentielle 
.
Par conséquent, la représentation graphique d'une suite géométrique est une série de points non alignés.
Une suite géométrique est donc l'expression discrète d'une fonction exponentielle.
:
, 
, 
, 
.
Une personne place la somme
de 10 000 € sur un placement
à intérêts composés lui
rapportant 3 % par an. Cela signifie que chaque
année, 3 % du montant du placement sont
ajoutés à la somme déjà
présente sur le placement. On
note 
le montant du placement au bout
de 
années.
est le terme
général d'une suite
géométrique de premier terme 
et de raison 1,03 puisque
« augmenter de 3 % »
revient à « multiplier par
, donc
par 1,03 ». On a donc 
.
On peut donc écrire le terme
général : 
.
Ainsi, on peut répondre à une question du
type « quelle sera la somme détenue
sur ce placement au bout de 2 ans ?
5 ans ? 10 ans ? » en
calculant 
, 
, 
.
On peut aussi répondre à une question du
type « au bout de combien d'années le
montant placé est-il
doublé ? » en
calculant 
pour des valeurs successives
de 
jusqu'à avoir 
.
On peut utiliser un tableur, en tapant « =10000*1,03^A2 » dans la cellule B2 et en étirant, pour répondre que c'est au bout de 24 ans.
On considère un carré 
de côté 9 cm.
On note 
le polygone obtenu en
complétant 
de la manière suivante.
On partage en 3 segments égaux chaque
côté du polygone et on construit, à
partir du 2e segment ainsi construit,
un triangle équilatéral à
l'extérieur du polygone. Voici 
et 
:
On poursuit la construction avec le
polygone 
ci-dessous, et ainsi de suite.
On s'intéresse alors à la
suite 
des périmètres
des figures 
.
=36cm car 
est un carré de
côté 9 cm.
= 48 cm car
chacun des 4 côtés
de 
de longueur 9 cm a
été remplacé
par 4 côtés de longueur
cm, soit 3 cm.
= 64 cm car
chacun des 16 côtés
de 
de longueur 3 cm a
été remplacé
par 4 côtés de
longueur 
cm, soit 1 cm. La
suite 
parait
géométrique de raison 
.
C'est bien le cas puisque pour passer de la
figure 
à la
figure 
, on remplace un
côté 
de
longueur 
par 4 côtés de 
de longueur 
. On a bien 
: la suite est
géométrique.
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