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Les suites géométriques

Objectifs
  • Reconnaitre une suite géométrique.
  • Calculer la moyenne géométrique de deux nombres.
  • Exprimer le terme général d'une suite géométrique en fonction de , et l’utiliser pour calculer un terme donné.
  • Modéliser un phénomène discret à croissance exponentielle par une suite géométrique.
Points clés
  • Une suite géométrique est une suite récurrente définie par est un réel appelé raison de la suite.
  • Soient a et b deux nombres positifs. On appelle moyenne géométrique de a et b le nombre 
  • Pour tout , , ou bien avec  un entier.

 

Pour bien comprendre
  • Notion de suite numérique et de terme général d'une suite numérique
  • Notion de suite définie par récurrence
  • Puissances d’un nombre
  • Notions de fonctions exponentielles
1. Définition
Une suite est dite géométrique s'il existe un réel q tel que  pour tout . Le réel est appelé raison de la suite.

Dans une suite géométrique, on passe d’un terme à son suivant en multipliant toujours par le même nombre non nul .

Exemple
La suite des nombres 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32....est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme u0=1.
2. Moyenne géométrique de deux nombres positifs
a. Définition
 Soient a et b deux nombres positifs. On appelle moyenne géométrique de a et b le nombre .
Exemple : la moyenne géométrique des nombres 25 et 4 est : 
b. Application aux suites géométriques
Soient ,  et  trois nombres réels rangés dans l’ordre croissant ou décroissant.
Les réels ,  et   sont des termes consécutifs d’une suite géométrique si la moyenne géométrique de  et   est égale à  : .
Exemple : Les nombres 27 ; 9 ; 3 sont des termes consécutifs d’une suite géométrique car la moyenne géométrique de 27 et 3 est : 
3. Formule explicite

Soit une suite géométrique de raison et de premier terme .
On a les formules suivantes :

ou

avec :
  • le premier terme de la suite
  • un terme de rang
  • un terme de rang
  • un nombre entier naturel
  • un nombre entier naturel
  • un nombre réel

Pour obtenir :

  • en partant de  : on multiplie fois par la raison ;
  • en partant de (lorsque ) : on multiplie fois par la raison.

Ainsi, , ,

Exemple
Pour une suite géométrique de raison (–0,3) et de premier terme , on peut écrire et ainsi connaitre directement la valeur de n'importe quel terme de la suite.
Par exemple, .
4. Lien avec les fonctions exponentielles

Une suite géométrique étant de terme général , on peut l'écrire est la fonction exponentielle .

Par conséquent, la représentation graphique d'une suite géométrique est une série de points non alignés.

Une suite géométrique est donc l'expression discrète d'une fonction exponentielle.

Exemple avec :
, , ,
Pour une suite géométrique, on parle alors de croissance exponentielle, puisque les points représentant la suite sont sur la courbe de la fonction exponentielle .

 

5. Modéliser avec une suite géométrique
a. Placement à intérêts composés
Situation

Une personne place la somme de 10 000 € sur un placement à intérêts composés lui rapportant 3 % par an. Cela signifie que chaque année, 3 % du montant du placement sont ajoutés à la somme déjà présente sur le placement. On note  le montant du placement au bout de  années.

Modélisation

est le terme général d'une suite géométrique de premier terme et de raison 1,03 puisque « augmenter de 3 % » revient à « multiplier par , donc par 1,03 ». On a donc .
On peut donc écrire le terme général : .

Utilisation

Ainsi, on peut répondre à une question du type « quelle sera la somme détenue sur ce placement au bout de 2 ans ? 5 ans ? 10 ans ? » en calculant , , .


On peut aussi répondre à une question du type « au bout de combien d'années le montant placé est-il doublé ? » en calculant  pour des valeurs successives de  jusqu'à avoir .

On peut utiliser un tableur, en tapant « =10000*1,03^A2 » dans la cellule B2 et en étirant, pour répondre que c'est au bout de 24 ans.

b. Carré de Von Koch

On considère un carré  de côté 9 cm. On note  le polygone obtenu en complétant  de la manière suivante.

On partage en 3 segments égaux chaque côté du polygone et on construit, à partir du 2e segment ainsi construit, un triangle équilatéral à l'extérieur du polygone. Voici  et  :

On poursuit la construction avec le polygone  ci-dessous, et ainsi de suite.

On s'intéresse alors à la suite  des périmètres des figures .
=36cm car est un carré de côté 9 cm.
 = 48 cm car chacun des 4 côtés de  de longueur 9 cm a été remplacé par 4 côtés de longueur  cm, soit 3 cm.
 = 64 cm car chacun des 16 côtés de  de longueur 3 cm a été remplacé par 4 côtés de longueur  cm, soit 1 cm. La suite  parait géométrique de raison .
C'est bien le cas puisque pour passer de la figure  à la figure , on remplace un côté de longueur  par 4 côtés de  de longueur . On a bien  : la suite est géométrique.

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