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Appliquer une formule

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Objectifs
  • Appliquer une formule en substituant correctement les valeurs des variables.
  • Appliquer et utiliser une formule de variation en pourcentage.
  • Appliquer une formule dans le cadre de l'étude d'une suite numérique.
  • Appliquer les formules de dérivation pour calculer la dérivée d'une fonction.
  • Calculer une probabilité pour une valeur donnée d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale.
Points clés
  • Dans une formule à une ou plusieurs variables, on remplace chaque variable par la valeur numérique désignée, à chaque fois que cette variable intervient.
  • Dans une formule de dérivation, on décompose la fonction à dériver à l'aide des fonctions de référence dont on connaît les dérivées.
  • Dans une formule de suite numérique, on se concentre sur la valeur n du rang du terme demandé, et on utilise le cas échéant la raison de la suite.
  • Dans une formule de probabilités concernant la loi binomiale, on utilise les propriétés des coefficients binomiaux pour calculer.
Pour bien comprendre
  • Dérivées des fonctions usuelles
  • Suites numériques (suites arithmétiques et suites géométriques)
  • Loi binomiale, coefficient binomial
1. Formules à une variable

Lorsqu'on doit appliquer une formule à une variable pour calculer une quantité, il suffit de remplacer la variable par la valeur proposée, autant de fois que nécessaire.
Dans les cas particuliers d'évolutions en pourcentage, il faut savoir traduire correctement le pourcentage.

Exemple 1
Pour calculer les images de 1, 2 et 3 par la fonction f définie par   :
On remplace d’abord x par 1 à chaque endroit où intervient dans la formule :
 
On recommence l'opération en remplaçant x par 2, puis par 3 :


Exemple 2
Pour augmenter de t % une quantité, on la multiplie par .

Un commerçant voit son chiffre d'affaires de 40 000€ augmenter de 10% la 1ère année, puis de 20% l'année suivante, et de 5% la troisième année.
Quelle a été l'augmentation, en pourcentage, de son chiffre d'affaires sur 3 ans ?
On calcule d'abord les chiffres d'affaires successifs :
40 000 ×  = 40 000 × 1,1 = 44 000

44 000 ×  = 44 000 × 1,2 = 52 800

52 800 ×  = 52 800 × 1,05 = 55 440

On réutilise la formule pour calculer le pourcentage d'augmentation global :
40 000 ×  = 55 440 d'où  soit  = 1,386 d'où  = 0,386 et t = 38,6.

En 3 ans, son chiffre d'affaires a augmenté de 38,6%.

2. Formules à plusieurs variables

Lorsqu'on doit appliquer une formule à plusieurs variables pour calculer une quantité, il suffit de remplacer chaque variable par sa valeur, à chaque endroit où elle intervient.

Exemple 1
Pour calculer E = a2 – ab + b2 lorsque a = 3 et b = 5, on remplace a par 3 à chaque endroit où a intervient dans la formule, et b par 5 à chaque endroit où b intervient dans la formule : E = 32 – 3 × 5 + 52 d'où E = 19.
Exemple 2
Calculer le coefficient directeur de (AB) avec A(2;5) et B(4;1).
Le coefficient directeur a de la droite (AB) est donné par la formule a = .
On remplace donc yB par 1, yA par 5, xB par 4, xA par 2 : a = , d'où a = –2.
Exemple 3
Déterminer si le point C(3;5) appartient à la droite (d) d'équation cartésienne 2x – 5y = –20.
On remplace x par 3 et y par 5 dans le membre de gauche de l'équation de la droite : 2 × 3  5 × 5
On calcule ce nombre que l'on compare à 20 pour conclure :
× 3  5 × 5 = 6  25 = –19 or 19 ≠ –20 donc C n'appartient pas à (d).
3. Formules de suites numériques

Une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0 est définie par récurrence par la formule un+1 = un + r et son terme général vérifie la relation un = u0 + nr.
Une suite géométrique de raison q et de premier terme u0 est définie par récurrence par la formule un+1 = qun et son terme général vérifie la relation un = u0qn.
Dans ce type de formule, les variables sont u0, q, r et n. La lettre u n'a pas à être remplacée, elle sert à nommer la suite.
En fonction de l'énoncé, on utilise l'une des formules en remplaçant u0, q, r par les valeurs indiquées. n désigne le rang du terme demandé dans la suite.

Exemple 1
Calculer le terme de rang 3 d'une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme u0 = 5.
On utilise un = u0 + nr avec = 3, u0 = 5, r = 2 d'où u3 = 5 + 3 × 2 soit u3 = 11.
Exemple 2
Calculer le terme de rang 3 d'une suite géométrique de raison 2 et de premier terme u0 = 5.
On utilise un = u0qn avec n = 3, u0 = 5, q = 2 d'où u3 = 5 × 23 soit u3 = 5 × 8 = 40.
Exemple 3
Calculer le terme de rang 5 de la suite définie par un+2 = un+1 + un avec u0 = u1 = 1.
Cette suite n'étant ni arithmétique ni géométrique, on doit calculer chacun des termes successifs à partir de u0 et de u1 : u2 = u1 + u0 = 1 + 1 = 2,
u3 = u2 + u1 = 2 + 1 = 3,
u4= u3 + u2 = 3 + 2 = 5,
u5 = u4 + u3 = 5 + 3 = 8.
4. Formules de dérivation

Pour calculer la dérivée d'une fonction, on peut être amené à décomposer la fonction en produit ou quotient de fonctions plus élémentaires, dont on connaît les dérivées.

Pour cela on utilise :

  • la formule (kf)k × ' si k est un nombre réel.
  • la formule donnant la dérivée de x → xn (avec n entier et n ≥ 3) : la dérivée est → nxn1.
  • le fait que la dérivée d'une fonction constante est la fonction nulle : x → 0.
Exemple
Calculer la dérivée de g définie par g(x) = 5 (x3 – 2x2 + 7x – 6)

g est du type (kf) avec k = 5 et f(x) = x3 – 2x2 + 7x – 6 donc g'(x= 5×f'(x).
La dérivée de x → x3 est → 3x2 car 3x3 – 1 3x2.
La dérivée de x → x2 est x → 2x car 2x21 = 2x1 = 2x.
La dérivée de x → x est x → 1 car 1x1–1 = 1x0 = 11 = 1.
La dérivée de x → −6 est x → 0.
Ainsi f'(x) = 3x2 − × 2x + 7 × 1 + 0 soit f'(x) = 3x2 − 4x + 7.
On en déduit g'(x) = 5×(3 x2 – 4x + 7) 15x2 – 20x + 35.
5. Formules de probabilités

Pour un schéma de Bernoulli d’ordre n, de probabilité p pour chaque succès de l’épreuve, la loi de probabilité de la variable X qui, à chaque issue, associe k succès est :
p(X = k) =   pk(1 − p)nk avec 0 ≤ k n.

On nomme le premier nombre de l'égalité ci-dessus « coefficient binomial », on le note , ce qui se lit : « k parmi n », et correspond au nombre de chemins ayant k succès de l’arbre d’un schéma de Bernoulli d’ordre n. Les coefficients binomiaux possèdent des formules particulières :  =  = 1,  n= 1 et  +  = .

Exemple 1
Prouver que  +  = .

Une première manière consiste à utiliser la formule  +  =  en choisissant n = 10 et k = 9 et le résultat est immédiat.

Une deuxième manière consiste à calculer directement :  =  car  =  et  = 10 car  = n.

De même  =  car  =  et  = 1.
Ainsi  +  = 10 + 1 11.

Par ailleurs  =  car  =  et  = 11 car  = n.
On a donc bien  +  =  = 11

Exemple 2
On lance une pièce non truquée 4 fois. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 3 fois « Face » ?
On utilise p(X = k) =  pk(1 − p)nk avec n = 4, k = 3, p = 0,5.
On trouve :
p(X = 3) =  0,53(1  0,5)43 
p(X=3) = 4 × 0,54 = 0,25 car  = 4.

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