Appliquer une formule
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- Appliquer une formule en substituant correctement les valeurs des variables.
- Appliquer et utiliser une formule de variation en pourcentage.
- Appliquer une formule dans le cadre de l'étude d'une suite numérique.
- Appliquer les formules de dérivation pour calculer la dérivée d'une fonction.
- Calculer une probabilité pour une valeur donnée d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale.
- Dans une formule à une ou plusieurs variables, on remplace chaque variable par la valeur numérique désignée, à chaque fois que cette variable intervient.
- Dans une formule de dérivation, on décompose la fonction à dériver à l'aide des fonctions de référence dont on connaît les dérivées.
- Dans une formule de suite numérique, on se concentre sur la valeur n du rang du terme demandé, et on utilise le cas échéant la raison de la suite.
- Dans une formule de probabilités concernant la loi binomiale, on utilise les propriétés des coefficients binomiaux pour calculer.
- Dérivées des fonctions usuelles
- Suites numériques (suites arithmétiques et suites géométriques)
- Loi binomiale, coefficient binomial
Lorsqu'on doit appliquer une formule à une
variable pour calculer une quantité, il suffit de
remplacer la variable par la valeur proposée,
autant de fois que nécessaire.
Dans les cas particuliers d'évolutions en
pourcentage, il faut savoir traduire correctement le
pourcentage.
Pour calculer les images de 1, 2 et 3 par la fonction f définie par :
On remplace d’abord x par 1 à chaque endroit où x intervient dans la formule :
On recommence l'opération en remplaçant x par 2, puis par 3 :
Pour augmenter de t % une quantité, on la multiplie par .
Un commerçant voit son chiffre d'affaires de
40 000€ augmenter de 10% la 1ère
année, puis de 20% l'année suivante, et
de 5% la troisième année.
Quelle a été l'augmentation, en
pourcentage, de son chiffre d'affaires sur
3 ans ?
On calcule d'abord les chiffres d'affaires
successifs :
40 000 × = 40 000 × 1,1 = 44 000
44 000 × = 44 000 × 1,2 = 52 800
52 800 × = 52 800 × 1,05 = 55 440
On réutilise la formule pour calculer le
pourcentage d'augmentation global :
40 000 × = 55
440 d'où soit = 1,386
d'où = 0,386 et t = 38,6.
En 3 ans, son chiffre d'affaires a augmenté de 38,6%.
Lorsqu'on doit appliquer une formule à plusieurs variables pour calculer une quantité, il suffit de remplacer chaque variable par sa valeur, à chaque endroit où elle intervient.
Pour calculer E = a2 – ab + b2 lorsque a = 3 et b = 5, on remplace a par 3 à chaque endroit où a intervient dans la formule, et b par 5 à chaque endroit où b intervient dans la formule : E = 32 – 3 × 5 + 52 d'où E = 19.
Calculer le coefficient directeur de (AB) avec A(2;5) et B(4;1).
Le coefficient directeur a de la droite (AB) est donné par la formule a = .
On remplace donc yB par 1, yA par 5, xB par 4, xA par 2 : a = , d'où a = –2.
Déterminer si le point C(3;5) appartient à la droite (d) d'équation cartésienne 2x – 5y = –20.
On remplace x par 3 et y par 5 dans le membre de gauche de l'équation de la droite : 2 × 3 – 5 × 5
On calcule ce nombre que l'on compare à –20 pour conclure :
2 × 3 – 5 × 5 = 6 – 25 = –19 or –19 ≠ –20 donc C n'appartient pas à (d).
Une suite arithmétique de raison r et de premier terme
u0
est définie par récurrence par la formule
un+1 = un + r
et son terme général vérifie la
relation un = u0 + nr.
Une suite géométrique de raison
q et de
premier terme u0 est
définie par récurrence par la formule
un+1 = qun
et son terme général vérifie la
relation un = u0qn.
Dans ce type de formule, les variables sont u0,
q,
r et
n. La lettre
u n'a pas
à être remplacée, elle sert à
nommer la suite.
En fonction de l'énoncé, on utilise l'une
des formules en remplaçant u0,
q,
r par les
valeurs indiquées. n désigne le rang
du terme demandé dans la suite.
Calculer le terme de rang 3 d'une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme u0 = 5.
On utilise un = u0 + nr avec n = 3, u0 = 5, r = 2 d'où u3 = 5 + 3 × 2 soit u3 = 11.
Calculer le terme de rang 3 d'une suite géométrique de raison 2 et de premier terme u0 = 5.
On utilise un = u0qn avec n = 3, u0 = 5, q = 2 d'où u3 = 5 × 23 soit u3 = 5 × 8 = 40.
Calculer le terme de rang 5 de la suite définie par un+2 = un+1 + un avec u0 = u1 = 1.
Cette suite n'étant ni arithmétique ni géométrique, on doit calculer chacun des termes successifs à partir de u0 et de u1 : u2 = u1 + u0 = 1 + 1 = 2,
u3 = u2 + u1 = 2 + 1 = 3,
u4= u3 + u2 = 3 + 2 = 5,
u5 = u4 + u3 = 5 + 3 = 8.
Pour calculer la dérivée d'une fonction, on peut être amené à décomposer la fonction en produit ou quotient de fonctions plus élémentaires, dont on connaît les dérivées.
Pour cela on utilise :
- la formule (kf)' = k × f ' si k est un nombre réel.
- la formule donnant la dérivée de x → xn (avec n entier et n ≥ 3) : la dérivée est x → nxn−1.
- le fait que la dérivée d'une fonction constante est la fonction nulle : x → 0.
Calculer la dérivée de g définie par g(x) = 5 (x3 – 2x2 + 7x – 6)
g est du type (kf) avec k = 5 et f(x) = x3 – 2x2 + 7x – 6 donc g'(x) = 5×f'(x).
La dérivée de x → x3 est x → 3x2 car 3x3 – 1 = 3x2.
La dérivée de x → x2 est x → 2x car 2x2–1 = 2x1 = 2x.
La dérivée de x → x est x → 1 car 1x1–1 = 1x0 = 11 = 1.
La dérivée de x → −6 est x → 0.
Ainsi f'(x) = 3x2 − 2 × 2x + 7 × 1 + 0 soit f'(x) = 3x2 − 4x + 7.
On en déduit g'(x) = 5×(3 x2 – 4x + 7) = 15x2 – 20x + 35.
Pour un schéma de Bernoulli d’ordre
n, de
probabilité p pour chaque
succès de l’épreuve, la loi de
probabilité de la variable X qui, à chaque issue,
associe k
succès est :
p(X = k) = pk(1 − p)n−k
avec 0 ≤ k
≤ n.
On nomme le premier nombre de l'égalité ci-dessus « coefficient binomial », on le note , ce qui se lit : « k parmi n », et correspond au nombre de chemins ayant k succès de l’arbre d’un schéma de Bernoulli d’ordre n. Les coefficients binomiaux possèdent des formules particulières : = , = 1, = n, = 1 et + = .
Prouver que + = .
Une première manière consiste à utiliser la formule + = en choisissant n = 10 et k = 9 et le résultat est immédiat.
Une deuxième manière consiste à calculer directement : = car = et = 10 car = n.
De même = car = et = 1.
Ainsi + = 10 + 1 = 11.
Par ailleurs = car = et = 11 car = n.
On a donc bien + = = 11
On lance une pièce non truquée 4 fois. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 3 fois « Face » ?
On utilise p(X = k) = pk(1 − p)n–k avec n = 4, k = 3, p = 0,5.
On trouve :
p(X = 3) = 0,53(1 − 0,5)4−3
p(X=3) = 4 × 0,54 = 0,25 car = 4.
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