Somme des termes d'une suite géométrique- Terminale- Mathématiques - Maxicours

Somme des termes d'une suite géométrique

Objectifs
  • Calculer la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique.
  • Découvrir la notation Σ.
Points clés
  •   (avec ).
  • La somme S de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison  est égale à :
Pour bien comprendre
  • Notion de suite
  • Suite géométrique
  • Terme général d'une suite
  • Puissances d'un nombre
1. Rappels sur les suites géometriques
Définition
On dit qu'une suite est géométrique s'il existe un réel  non nul tel que pour tout  on ait . Le réel  s'appelle la raison de la suite.
Exemple
La suite définie par avec est une suite géométrique de raison 2.
Les premiers termes de cette suite sont 1, 2, 4, 8, 16…

Dire qu'une suite de termes non nuls est géométrique signifie que le quotient  de 2 termes consécutifs quelconques est constant quel que soit .

Propriété
Le terme général d'une suite géométrique peut s'exprimer directement en fonction de  avec ou quel que soit .

Il est ainsi possible, connaissant ou  et , de calculer n’importe quel terme de la suite.

Exemple
Pour une suite géométrique de raison (–0,3) et de premier terme , on peut écrire et ainsi connaitre directement la valeur de n'importe quel terme de la suite.
Par exemple, .
2. Somme des puissances d'un réel q
Propriété
pour
Exemple
3. Somme de termes consécutifs d'une suite géometrique
Propriété
La somme S de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison  est égale à : 
Application 1

Soit  
Le premier terme de la somme est u0. Le nombre de terme de la somme est n+1.
Donc  
Notation : 

Exemple 1
On considère la suite géométrique (un) de raison 1,2 et de premier terme u0 = 4.
Calculer la somme S = u3 + u4 + ... + u15.
L'expression de un en fonction de n est  .
Ainsi, la somme S s'écrit

En factorisant par  4 × (1,2)3on obtient :


Application 2

Soit   
Le premier terme de la somme est u1. Le nombre de terme de la somme est n.
Donc   

Notation :  

Exemple 2
On considère la suite géométrique (un) de raison 0,9 et de premier terme u1 = 10.
On veut calculer la somme   .
Le premier terme est u= 10. Les termes vont de u à u15  donc il y a 15 termes dans la somme.
On utilise la formule :

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