Série statistique double et nuage de points
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- Définir une série statistique double.
- Représenter un nuage de points.
- Représenter un nuage de points en effectuant un changement de variable pour faire apparaitre une relation de linéarité.
- Lorsqu'on étudie deux caractères statistiques sur une population donnée, on obtient une série statistique double. Les valeurs prises par cette série sont alors les couples (x1 ; y1), (x2 ; y2), ..., (xn ; yn).
- L'ensemble des points M1, M2, ...., Mn de coordonnées respectives M1 (x1 ; y1), M2 (x2 ; y2),.., Mn (xn ; yn) dans un repère du plan est appelé nuage de points de la série.
- Lorsque les points du nuage ne sont pas alignés, mais suivent plutôt la courbe d'une fonction de référence (parabole, courbe d'une fonction exponentielle, logarithme décimal, etc.), on réalise un changement de variable sur les valeurs de l'un des deux caractères de la série, en calculant de nouvelles valeurs pour ce caractère.
Dans tout ce qui suit, on se place dans le repère (O, (Ox), (Oy)).
On note souvent les valeurs prises par le premier caractère x1, x2, ....., xn et celles prises par le second y1, y2, ....., yn.
Les valeurs prises par cette série sont alors les couples (x1 ; y1), (x2 ; y2), .... ,(xn ; yn).
En prévision du lancement d'un produit, une société a effectué une enquête auprès d'une population ciblée de potentiels clients pour fixer le prix de vente de ce produit. Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous.
| Prix xi de vente en euros | 100 | 110 | 120 | 130 | 140 | 150 | 160 |
| Nombre yi d'acheteurs éventuels | 105 | 95 | 75 | 68 | 53 | 46 | 31 |
Le premier caractère est le prix xi de vente en euros, le second le nombre yi d'acheteurs éventuels et les valeurs prises par cette série sont donc les couples : (100 ; 105), (110 ; 95), ....., (160 ; 31).
Mn (xn ; yn) dans un repère du plan est appelé nuage de points de la série.
On convient donc de représenter cette série graphiquement par son nuage de points associé.
On peut représenter le nuage de points de la série de l'exemple précédent, en plaçant les points M1(100 ; 105), M2(110 ; 95), ....., M7(160 ; 31) dans un repère aux unités graphiques adaptées à la situation.
En pratique, dans les exercices d'entraînement au Baccalauréat, les unités graphiques sont imposées afin de faciliter le tracé.
En pratique, dans les exercices du Baccalauréat, les changements de variable sont indiqués dans l'énoncé afin de faciliter l'étude.
Les nuages de points aisés à étudier
sont ceux où les points sont presque
alignés.
Or, dans de nombreux cas, les points obtenus en dessinant
directement le nuage ne le sont pas, mais suivent
plutôt la courbe d'une fonction de
référence (parabole, courbe d'une fonction
exponentielle, logarithme décimal, etc.).
On réalise alors un changement de variable sur les
valeurs de l'un des deux caractères de la
série statistique double, en calculant de
nouvelles valeurs pour ce caractère.
En représentant le nouveau nuage de points
associé à la nouvelle série
statistique ainsi calculée, on constate qu'on a
« redressé » le nuage, qui propose
alors des points presque alignés.
On peut alors utiliser une droite de régression
linéaire.
Dans le tableau suivant on a regroupé les valeurs mesurées y de la vitesse en m/s d'un bateau initialement à l'arrêt qui lance ses moteurs à pleine puissance, en fonction du temps écoulé (en s) depuis le départ du bateau.
| x = temps (s) | 5 | 12 | 20 | 26 | 30 | 35 |
| y = vitesse (m/s) | 0,13 | 0,71 | 2,03 | 3,15 | 4,55 | 6,7 |
Représentons ce nuage de points :
Les points obtenus ne sont pas alignés, mais
semblent suivre la courbe d'une parabole de type
x → ax² avec
a>0. On va
procéder à un changement de variable en
posant x'= x² et
représenter le nuage correspondant à la
série double (x'; y) :
| x' = x2 | 25 | 144 | 400 | 676 | 900 | 1225 |
| y = vitesse (m/s) | 0,13 | 0,71 | 2,03 | 3,15 | 4,55 | 6,7 |
Grâce au changement de variable, on obtient bien un
nuage de points à peu près
alignés.
La droite de régression figurant sur le graphique
a pour équation y=0,005349x-0,120607 en
arrondissant a et
b au
millionième.
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