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Liste en Python : application aux ensembles

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Objectif
  • Définir une liste en Python par extension et par compréhension.
  • Manipuler les éléments d’une liste (ajout, suppression, modification).
  • Parcourir les éléments d’une liste.
  • Itérer sur les éléments d’une liste.
Points clés
  • Pour vérifier si un élément appartient à un ensemble, on a deux possibilités :
    • soit utiliser la fonction in prédéfinie en Python ;
    • soit définir une fonction appartenance qui utilise la fonction in.
  • Après avoir défini la fonction appartenance, on peut définir une fonction intersection de deux ensembles. Cette fonction retourne les éléments qui appartiennent à deux ensembles à la fois.
  • On peut déterminer si un ensemble est contenu dans un autre ensemble.
    Pour E et F deux ensembles non vides, . Cela revient donc à chercher l’intersection des ensembles E et F.
  • On peut déterminer l’union de deux ensembles grâce à une fonction union.
Pour bien comprendre
  • Connaitre le vocabulaire ensembliste (appartenance, intersection, inclusion, union).
  • Connaitre la notion de variable en Python.
  • Savoir utiliser des instructions conditionnelles et des boucles.
  • Connaitre la notion de fonction en Python.

Les listes en Python sont des ensembles ordonnés d’objets.
Elles peuvent donc illustrer certaines notions mathématiques de la théorie des ensembles.

1. Appartenance d'un élément à un ensemble
a. Principe

Pour vérifier si un élément appartient à un ensemble, on a deux possibilités :

  • soit utiliser la fonction in prédéfinie en Python ;
  • soit définir une fonction appartenance qui utilise la fonction in.
b. Exemple

Soit l’ensemble E = {a ; b ; c ; ab}. On veut vérifier si a et d ∈ E.
Pour cela, on définit la fonction appartenance dans l’interpréteur de commandes.
Dans les lignes de commandes, on définit l’ensemble E sous forme de liste puis on exécute les fonctions in et appartenance :

Les fonctions in et appartenance retournent True si la valeur est dans l’ensemble et False sinon.
En utilisant les deux fonctions, on obtient les mêmes résultats : a  E et d  E.

2. Intersection de deux ensembles
a. Principe

Après avoir défini la fonction appartenance, on peut définir une fonction intersection de deux ensembles. Cette fonction retourne les éléments qui appartiennent à deux ensembles à la fois.

b. Exemple

Soient les ensembles E = {a ; b ; c ; ab} et F = {a ; d ; ab ; e}. On veut connaitre E  F.
Pour cela, on définit les fonctions appartenance et intersection dans l’interpréteur de commandes.
Dans les lignes de commandes, on définit les ensembles E et F sous forme de listes puis on exécute la fonction intersection :

La fonction intersection retourne que E  F = {a ; ab}.

3. Inclusion d'un ensemble dans un autre
a. Principe

On peut déterminer si un ensemble est contenu dans un autre ensemble.
Pour E et F deux ensembles non vides, .
Cela revient donc à chercher l’intersection des ensembles E et F.

b. Exemple

Soient les ensembles E = {a ; b ; e ; x} et F = {a ; b}. On veut connaitre E  F.
Pour cela, on définit les fonctions appartenance et intersection (voir les parties 1 et 2 de ce cours) dans l’interpréteur de commandes. Dans les lignes de commandes, on définit les ensembles E et F sous forme de listes puis on exécute la fonction intersection :

La fonction intersection retourne que E  F = {a ; b}.
L’opérateur == teste si F est égal à E  F, ce qui équivaudrait à dire que E est contenu dans F. On obtient True, donc .

4. Union de deux ensembles
a. Principe

On peut déterminer l’union de deux ensembles grâce à une fonction union.

b. Exemple

Soient les ensembles E = {1 ; 2 ; 3 ; 6} et F = {1 ; 3 ; 5 ; 7}. On veut connaitre E  F.
Pour cela, on définit la fonction union dans l’interpréteur de commandes.
Dans les lignes de commandes, on définit les ensembles E et F sous forme de listes puis on exécute la fonction union :

La fonction union retourne que E  F = {1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 5 ; 7}.

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