Variations et extrémums d'une fonction- Terminale- Mathématiques - Maxicours

Variations et extrémums d'une fonction

Objectif
  • Dresser le tableau de variation d’une fonction à partir de sa courbe représentative.
  • Déterminer graphiquement les extrémums d’une fonction sur un intervalle.
  • Déterminer les variations et les extremums d'une fonction grâce au signe de sa dérivée.
Points clés
  • est croissante sur un intervalle signifie que pour tout et de , si , alors .
  • est décroissante sur un intervalle signifie que pour tout et de , si , alors .
  • est constante sur un intervalle signifie que pour tout et de , on a .
  • Pour résumer les variations d’une fonction sur son domaine de définition, on dresse un tableau de variation. Une flèche montante indique la croissance et une flèche descendante indique la décroissance.
  • Le maximum de sur est la plus grande valeur de f(x) pour appartenant à . On a alors pour tout de , .
  • Le minimum de sur est la plus petite valeur de f(x) pour appartenant à . On a alors pour tout de , .
  • Un extrémum est un maximum ou un minimum.
  • Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, on note f ' sa fonction dérivée.
    • Si pour tout x appartenant à I, f '(x) ≥ 0, alors f est croissante sur I.
    • Si pour tout x appartenant à I, f '(x) ≤ 0, alors f est décroissante sur I.
    • Lorsque f possède un extremum en a, alors f ' (a) = 0.
Pour bien comprendre
  • Ensemble de définition d’une fonction
  • Courbe représentative d’une fonction 
1. Sens de variation d'une fonction
a. Défintions

Soit un intervalle et une fonction définie sur .

est croissante sur un intervalle signifie que pour tout et de , si , alors .
Exemple
La fonction représentée ci-dessous est strictement croissante sur l’intervalle .

est décroissante sur un intervalle signifie que pour tout et de , si , alors .
Exemple
La fonction représentée ci-dessous est strictement décroissante sur l’intervalle .

Remarque
De manière générale, on dit qu’une fonction est monotone sur un intervalle lorsqu’elle est croissante ou décroissante sur l’intervalle .
est constante sur un intervalle signifie que pour tout et de , on a .
Exemple
La fonction représentée ci-dessous est constante sur l’intervalle .

b. Tableau de variation

Pour résumer les variations d’une fonction sur son domaine de définition, on dresse un tableau de variation.

Une flèche montante indique la croissance et une flèche descendante indique la décroissance.
Exemple
Voici la représentation graphique d’une fonction définie sur l’intervalle , elle est décroissante sur et croissante sur . De plus, la courbe passe par les points de coordonnées , et .

On a donc le tableau de variation suivant :

2. Extrémums d'une fonction f sur un intervalle

Soit une fonction définie sur un intervalle .

  • Le maximum de sur est la plus grande valeur de f(x) pour appartenant à . On a alors pour tout de , .
  • Le minimum de sur est la plus petite valeur de f(x) pour appartenant à . On a alors pour tout de , .
  • Un extrémum est un maximum ou un minimum.
Remarque
Lorsqu’on parle de minimum ou de maximum, on doit toujours préciser sur quel intervalle on travaille.
Exemple 1
Voici la représentation graphique d'une fonction  :

Sur l'intervalle :
  • le minimum de est 1, atteint pour  ;
  • le maximum de est 5, atteint pour .
Sur l'intervalle  :
  • le minimum de est 2, atteint pour  ;
  • le maximum de est 5, atteint pour .
Exemple 2
Voici le tableau de variation d'une fonction  :

Sur l'intervalle , le maximum de est 2, atteint pour , et le minimum est –2, atteint pour .
3. Lien avec le signe de la dérivée

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, on note f ' sa fonction dérivée.

  • Si pour tout x appartenant à I, f '(x) ≥ 0, alors f est croissante sur I.
  • Si pour tout x appartenant à I, f '(x) ≤ 0, alors f est décroissante sur I.
  • Lorsque f possède un extremum en a, alors f '(a) = 0.
Remarques
  • Le dernier point s'explique par le fait que lorsque la fonction f possède un extremum en a, elle change de sens de variation en a, donc la dérivée change de signe en a et donc f ' s'annule en a.
  • La réciproque n'est pas vraie : la dérivée f ' peut s'annuler en a sans que f ne possède un extremum en a.
Exemple
Posons f (x)=x³. On a f ' (x)=3x² donc f ' (x) ≥ 0 pour tout x réel. Ainsi la fonction cube f est croissante sur R. On observe que f ' (0) = 0, néanmoins f ne possède pas d'extremum en 0.

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