Variations et extrémums d'une fonction
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- Dresser le tableau de variation d’une fonction à partir de sa courbe représentative.
- Déterminer graphiquement les extrémums d’une fonction sur un intervalle.
- Déterminer les variations et les extremums d'une fonction grâce au signe de sa dérivée.
-
est croissante sur un intervalle
signifie que pour tout 
et 
de , si 
, alors 
.
-
est décroissante sur un
intervalle signifie que pour tout et de , si , alors
.
-
est constante sur un intervalle
signifie que pour tout et de , on a
.
- Pour résumer les variations d’une fonction sur son domaine de définition, on dresse un tableau de variation. Une flèche montante indique la croissance et une flèche descendante indique la décroissance.
- Le maximum
de sur est la plus grande valeur de f(x)
pour 
appartenant à . On a alors pour tout de , 
.
- Le minimum
de sur est la plus petite valeur de f(x)
pour appartenant à . On a alors pour tout de , 
.
- Un extrémum est un maximum ou un minimum.
- Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, on note f ' sa fonction dérivée.
-
- Si pour tout x appartenant à I, f '(x) ≥ 0, alors f est croissante sur I.
- Si pour tout x appartenant à I, f '(x) ≤ 0, alors f est décroissante sur I.
- Lorsque f possède un extremum en a, alors f ' (a) = 0.
- Ensemble de définition d’une fonction
- Courbe représentative d’une fonction
Soit un intervalle et une fonction définie sur
.
est croissante sur un
intervalle signifie que pour tout
et de , si , alors .
La fonction
représentée
ci-dessous est strictement croissante sur
l’intervalle 
.
est décroissante sur
un intervalle signifie que pour tout
et de , si , alors .
La fonction
représentée
ci-dessous est strictement décroissante sur
l’intervalle 
.
De manière générale, on dit qu’une fonction
est monotone sur un
intervalle lorsqu’elle est
croissante ou décroissante sur
l’intervalle .
est constante sur un
intervalle signifie que pour tout
et de , on a .
La fonction
représentée
ci-dessous est constante sur l’intervalle
.
Pour résumer les variations d’une fonction sur son domaine de définition, on dresse un tableau de variation.
Voici la représentation graphique d’une fonction
définie sur
l’intervalle 
, elle est
décroissante sur 
et croissante sur 
. De plus, la courbe passe par
les points de coordonnées 
, 
et 
.
Soit une fonction définie sur un
intervalle .
- Le maximum de sur est la plus grande valeur
de f(x) pour appartenant à
. On a alors pour tout
de , .
- Le minimum de sur est la plus petite valeur
de f(x) pour appartenant à
. On a alors pour tout
de , .
- Un extrémum est un maximum ou un minimum.
Lorsqu’on parle de minimum ou de maximum, on doit toujours préciser sur quel intervalle on travaille.
Voici la représentation graphique d'une fonction
:
:- le minimum de est 1, atteint
pour
;
- le maximum de est 5, atteint pour
.
:
- le minimum de est 2, atteint
pour
;
- le maximum de est 5, atteint
pour
.
Voici le tableau de variation d'une fonction
:
, le maximum de est 2, atteint pour , et le minimum est –2,
atteint pour .
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, on note f ' sa fonction dérivée.
- Si pour tout x appartenant à I, f '(x) ≥ 0, alors f est croissante sur I.
- Si pour tout x appartenant à I, f '(x) ≤ 0, alors f est décroissante sur I.
- Lorsque f possède un extremum en a, alors f '(a) = 0.
- Le dernier point s'explique par le fait que lorsque la fonction f possède un extremum en a, elle change de sens de variation en a, donc la dérivée change de signe en a et donc f ' s'annule en a.
- La réciproque n'est pas vraie : la dérivée f ' peut s'annuler en a sans que f ne possède un extremum en a.
Posons f (x)=x³. On a f ' (x)=3x² donc f ' (x) ≥ 0 pour tout x réel. Ainsi la fonction cube f est croissante sur R. On observe que f ' (0) = 0, néanmoins f ne possède pas d'extremum en 0.
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