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Simplification de fractions et fractions irréductibles

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Objectifs

Simplifier des fractions.
Donner la forme irréductible d’une fraction.
Reconnaitre une fraction irréductible.

Points clés

On ne change pas la valeur d’un quotient si on multiplie ou divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre.
Soient a, b et k des nombres relatifs ().
On a : .
Simplifier une fraction, c'est l'écrire avec un numérateur et un dénominateur plus petits.
En pratique, cela revient à diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre.
Une fraction est irréductible lorsque l’on ne peut plus la simplifier, c'est-à-dire que son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que 1.
Pour rendre une fraction irréductible, il faut utiliser les critères de divisibilité ou la décomposition en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur.

Pour bien comprendre

Nombres entiers naturels et relatifs
Multiple, diviseur
Décomposition en facteurs premiers

1. Égalités de fractions

On ne change pas la valeur d’un quotient si on multiplie ou divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre.

Soient a, b et k des nombres relatifs (

).
On a :

Exemple

2. Simplification de fractions

Simplifier une fraction, c'est l'écrire avec un numérateur et un dénominateur plus petits.
En pratique, cela revient à diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre.

Exemple
Simplifier

.
15 et 75 sont divisibles par 5 car leurs chiffres des unités est 5. On a donc :

.
On dit que l'on a simplifié

par 5.

Remarque
On peut présenter la simplification d’une fraction en barrant les facteurs communs du numérateur et du dénominateur.

3. Fractions irréductibles

Exemple
On a déjà simplifié

, mais on remarque que le numérateur et le dénominateur sont divisibles par 3.
En simplifiant par 3, on peut donc écrire :

.
Comme on ne peut plus simplifier

, cette fraction est irréductible.

Une fraction est irréductible lorsque l’on ne peut plus la simplifier, c'est-à-dire que son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que 1.

Méthode

Pour rendre une fraction irréductible, il faut utiliser les critères de divisibilité ou la décomposition en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur.

Exemple
On veut écrire la fraction