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Résolution d'une inéquation du premier degré à une inconnue

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Objectifs
  • Connaitre les règles de calcul dans une inégalité.
  • Résoudre une inéquation du premier degré.
  • Connaitre la notation sous forme d'intervalle de l'ensemble de solutions d'une inéquation.
Points clés
  • On ne change pas le sens d’une inégalité si on additionne (ou soustrait) chacun de ses membres par un même nombre.
    On ne change pas le sens d’une inégalité si on multiplie (ou divise) chacun de ses membres par un même nombre positif.
    On change le sens d’une inégalité si on multiplie (ou divise) chacun de ses membres par un même nombre négatif.
  • Une inéquation du premier degré est une inéquation pouvant se ramener, après transformation, à la forme ax + b > 0  (avec un des signes suivants : < ; > ;  ; ), a et étant des nombres réels (a 0).
  • Résoudre une inéquation revient à chercher toutes les valeurs de l'inconnue pour que l’inégalité soit vraie. Ces valeurs sont appelées les solutions de l’inéquation.
  • On appelle ensemble de solutions toutes les valeurs de l’inconnue x qui sont solutions de l'inéquation du premier degré. Habituellement, cet ensemble de solutions est noté S et s'écrit sous la forme d'un intervalle.
  • Pour résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue , il faut isoler  en appliquant les règles de calcul sur les inégalités. On procède par équivalences (symbole). .
Pour bien comprendre

Intervalles

1. Règles de calcul dans une inégalité
Rappel
Une inégalité est composée de 2 membres séparés par un des symboles < ; > ; ≤ ou ≥.

Notations
< se lit « strictement inférieur » et > « strictement supérieur ».
≤ se lit « inférieur ou égal » et ≥ « supérieur ou égal ». 

Exemple
On ne change pas le sens d’une inégalité si on additionne (ou soustrait) chacun de ses membres par un même nombre.

En écriture mathématique, soient a, b et c des nombres réels :
si   a < b   alors   a + c b + c   et   a – c < b – c.
Exemples
Si   4  x   alors   4 + 5  x + 5   d’où   9 ≤ x + 5.
Si   z > 14   alors   z – 8 > 14 – 8   d’où   z – 8 > 6.
On ne change pas le sens d’une inégalité si on multiplie (ou divise) chacun de ses membres par un même nombre positif.

En écriture mathématique, soient a, b et c des nombres réels, avec c > 0 :
si   a < b   alors   a × c b × c   et   .
Exemples
Si   4 <    alors   3 × 4 < 3   d’où   12 < 3.
Si   z 28   alors      d’où   4.
On change le sens d’une inégalité si on multiplie (ou divise) chacun de ses membres par un même nombre négatif.

En écriture mathématique, soient a, b et c des nombres réels, avec c < 0 :
si    a < b   alors   a × c > b × c   et   .
Exemples
Si   4 <   alors   -3 × 4 > -3    d’où   -12 < -3 .
Si   z 28   alors     d’où   -4. 
Remarque
Toutes les règles vues précédemment seraient identiques avec > ; ≤ ou ≥.
2. Résolution d'une inéquation du premier degré
a. Définitions
Une inéquation du premier degré est une inéquation pouvant se ramener, après transformation, à la forme ax + b > 0 (avec un des signes suivants : < ; > ;  ; ), a et b étant des nombres réels 
(a 0).
Exemples
3x + 7 > 0 est une inéquation du premier degré.
2x² + 7x – 5  0 est une inéquation du second degré (car il y a un terme en x²).
Résoudre une inéquation revient à chercher toutes les valeurs de l'inconnue pour que l’inégalité soit vraie. Ces valeurs sont appelées les solutions de l’inéquation.
Remarques
  • Si rien n’est précisé, on cherche toutes les valeurs possibles du réel inconnu. On dit alors « résoudre l’inéquation dans  ».
  • Sinon, on ne cherche que les solutions appartenant à un ensemble, souvent un intervalle I, et on précise « résoudre l’inéquation dans I ».
Exemple 1 
Résoudre dans  l’inéquation x + 2 ≤ 4. 
Les solutions de cette inéquation sont les réels de l’intervalle .
Exemple 2 
Résoudre dans  l’inéquation x + 2 ≤ 4. 
Ici, la résolution se fait dans un intervalle I = . Les solutions de cette inéquation sont les réels de l’intersection entre l’ensemble des solutions trouvé à l’exemple 1 et l’intervalle I : ce sont les réels de 
Les solutions sont les réels de l’intervalle .
Exemple 3 
Résoudre dans  l’inéquation x + 2 ≤ 4.
Ici, la résolution se fait dans , qui n’est pas un intervalle. Les solutions de cette inéquation sont les réels de l’intersection entre l’ensemble des solutions trouvé à l'exemple 1 et : ce sont les nombres appartenant à .
Les solutions de cette inéquation sont les nombres entiers naturels 0 ; 1 ; 2 et seulement ceux-là.
b. Ensemble de solutions
On appelle ensemble de solutions toutes les valeurs de l’inconnue x qui sont solutions de l'inéquation du premier degré. Habituellement, cet ensemble de solutions est noté S et s'écrit sous la forme d'un intervalle.
Solutions de l'inéquation Notation sous forme d'intervalle
Remarque
Quand une inéquation ne possède aucune solution, l’ensemble de solutions est vide et on écrit (est le symbole de l’ensemble vide).
Exemples
Dans , l’inéquation x – 2 ≤ 4 a pour ensemble de solutions x ≤ 6, noté 
Dans , l’inéquation 3x – 5 > 12  n’a pas de solution. On note .
c. Résolution par équivalences
Méthode
Pour résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue , il faut isoler  en appliquant les règles de calcul sur les inégalités. On procède par équivalences (symbole). 

Exemple 1 
Résoudre dans  l'inéquation 2x – 19  0.

2x – 19 + 19  0 + 19 On ajoute 19 dans les deux membres
(l’inégalité ne change pas de sens).
2x  19 On simplifie.
  On divise par 2 en ne changeant pas le sens de
l’inégalité (car 2 est un nombre positif).
x  9,5
On conclut.

 

Exemple 2 
Résoudre dans  l'inéquation x + 3 > 5x – 4.

x + 3 > 5x – 4 On choisit le membre de gauche pour y placer les x.
x + 3 – 5x > 5– 5x – 4 On retranche – 5x dans les deux membres.
Cela ne change pas le sens de l’inégalité.
–4x + 3 > –4 On simplifie.
–4x + 3 – 3 > –4 – 3 On retranche 3 dans les deux membres.
Cela ne change pas le sens de l’inégalité.
–4x  –7 On simplifie.
  On divise par –4 en changeant le sens de l’inégalité (car –4 est un nombre négatif).
x < 1,75
     
On conclut.

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