Dérivée d'une fonction polynômiale de degré inférieur ou égal à 3
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Calculer la dérivée d’une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à 3.
- Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction qui à tout x de I associe le nombre dérivé de f en x est appelée fonction dérivée de f et se note f′.
- Soit n un
entier naturel non nul. Soit
f la fonction définie sur
par : f(x) = xn.
Alors la fonction dérivée
de f est
définie par : f′(x) = nxn–1.
- Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I. Alors la fonction (u + v) est dérivable sur I : (u + v)′ = u′ + v′.
- Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Soit k un réel. Alors la fonction (ku) est dérivable sur I : (ku)′ = ku′.
- Soit f une
fonction constante définie sur par : f(x) = k
où k est
un réel. Alors sa dérivée est la
fonction f′ définie sur
par : f′(x) = 0.
- Soit f une
fonction affine définie sur par : f(x) = ax + b
où a et
b sont deux
réels avec a ≠ 0. Alors sa
dérivée est la fonction f′ définie sur
par : f′(x) = a.
- Soit f une
fonction polynôme de degré 2
définie sur par : f(x) = ax² + bx + c
où a,
b et
c sont des
réels avec a ≠ 0. Alors
sa dérivée est la
fonction f′
définie sur par : f′(x) = 2ax + b.
- Soit f une
fonction polynôme de degré 3
définie sur par f(x) = ax3 + bx² + cx + d
tels que a,
b,
c et
d ∈ et a ≠ 0. La
fonction dérivée f′ est alors
définie sur par f′(x) + 3ax² + 2bx + c.
Dérivée d’une fonction
par : f(x) = xn.Alors la fonction dérivée de f est définie par : f′(x) = nxn–1.
Application
| n | Fonction : f(x) = ... | Fonction dérivée : f′(x) = ... |
| n = 1 | n | 1x1 – 1 = 1 |
| n = 2 | x² | 2x2 – 1 = 2x |
| n = 3 | x3 | 3x3 – 1 = 3x² |
Soit f(x) = x3 + x² alors f est de la forme u + v avec u(x) = x3 et v(x) = x²
Alors f′(x) = u′(x) + v′(x) = 3x2 + 2x
Soit f(x) = 5x3 alors f est de la forme ku avec k = 5 et u(x) = x²
Alors f′(x) = ku′(x) = 5 × 2x = 10x
par : f(x) = k
où k
est un réel. Alors sa dérivée est
la fonction f′ définie
sur par : f′(x) = 0.
Soit f(x) = 7 alors f′(x) = 0.
par : f(x) = ax + b
où a
et b sont
deux réels avec a ≠ 0.Alors sa dérivée est la fonction f′ définie sur
par : f′(x) = a.
Démonstration
f est de la
forme u + v
avec u(x) = ax
et v(x) = b.
Alors f′(x) = u′(x) + v′(x) = a ×
1 + 0 = a.
f(x) = 3x + 2
a = 3 et b = 2 alors sa dérivée est f′(x) = 3.
par : f(x) = ax² + bx + c
où a,
b et
c sont des
réels avec a ≠ 0.
Alors sa dérivée est la
fonction f′ définie
sur par : f′(x) = 2ax + b.
Démonstration
f est de la
forme u + v
avec u(x) = ax²
et v(x) = bx + c.
Alors f′(x) = u′(x) + v′(x) = a ×
2x + b + 2ax + b.
f(x) = –2x² + x + 2
a = –2 ; b = 1 et c = 2 alors sa dérivée est f′(x) = 2 × (–2)x + 1 = –4x + 1.
par f(x) = ax3 + bx² + cx + d
tels que a,
b,
c et
d ∈ et a ≠ 0. La
fonction dérivée f′ est alors
définie sur par f′(x) + 3ax² + 2bx + c.
Démonstration
f est de la
forme u + v
avec u(x) = ax3
et v(x) = bx² + cx d.
Alors f′(x) = u′(x) + v′(x) = a × 3x² + 2bx + c = 3ax² + 2bx + c.
f(x) = 4x3 + 2x² +7x 8
a = 4, b = 2, c = 7 et d = –8.
Sa dérivée est donc f′(x) = 3 × 4x² + 2 × 2x + 7 = 12x² + 4x + 7.
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