Dérivée d'une fonction polynômiale de degré inférieur ou égal à 3 - Maxicours

Dérivée d'une fonction polynômiale de degré inférieur ou égal à 3

Objectif

Calculer la dérivée d’une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à 3.

Points clés
  • Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction qui à tout x de I associe le nombre dérivé de f en x est appelée fonction dérivée de f et se note f.
  • Soit n un entier naturel non nul. Soit f la fonction définie sur par : f(x) = xn. Alors la fonction dérivée de f est définie par : f′(x) = nxn–1.
  • Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I. Alors la fonction (u + v) est dérivable sur I : (u + v)′ = u′ + v.
  • Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Soit k un réel. Alors la fonction (ku) est dérivable sur I : (ku)′ = ku.
  • Soit f une fonction constante définie sur par : f(x) = kk est un réel. Alors sa dérivée est la fonction f définie sur par : f′(x) = 0.
  • Soit f une fonction affine définie sur par : f(x) = ax + ba et b sont deux réels avec a ≠ 0. Alors sa dérivée est la fonction f définie sur par : f′(x) = a.
  • Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur par : f(x) = ax² + bx + ca, b et c sont des réels avec a ≠ 0. Alors sa dérivée est la fonction f définie sur par : f′(x) = 2ax + b.
  • Soit f une fonction polynôme de degré 3 définie sur par f(x) = ax3 + bx² + cx + d tels que a, b, c et d ∈  et a ≠ 0. La fonction dérivée f est alors définie sur par f′(x) + 3ax² + 2bx + c.
Pour bien comprendre

Dérivée d’une fonction

1. Rappels sur la dérivation
a. Définition
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction qui à tout x de I associe le nombre dérivé de f en x est appelée fonction dérivée de f et se note f.
b. Dérivée de la fonction puissance
Soit n un entier naturel non nul. Soit f la fonction définie sur par : f(x) = xn.
Alors la fonction dérivée de f est définie par : f′(x) = nxn–1.

Application

n Fonction : f(x) = ... Fonction dérivée : f′(x) = ...
n = 1 n 1x1 – 1 = 1
n = 2 x² 2x2 – 1 = 2x
n = 3 x3 3x3 – 1 = 3x²
c. Dérivée de (u+v)
Soient u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I. Alors la fonction (u + v) est dérivable sur I : (u + v)′ = u′ + v.
Exemple
Soit f(x) = x3 + x² alors f est de la forme u + v avec u(x) = x3 et v(x) = x²
Alors f′(x) = u′(x) + v′(x) = 3x2 + 2x
d. Dérivée de (ku)
Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Soit k un réel. Alors la fonction (ku) est dérivable sur I : (ku)′ = ku.
Exemple
Soit f(x) = 5x3 alors f est de la forme ku avec k = 5 et u(x) = x²
Alors f′(x) = ku′(x) = 5 × 2x = 10x
2. Dérivées d'une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à 3
a. Dérivée d'une fonction constante
Soit f une fonction constante définie sur par : f(x) = kk est un réel. Alors sa dérivée est la fonction f définie sur par : f′(x) = 0.
Exemple
Soit f(x) = 7 alors f′(x) = 0.
b. Dérivée d'une fonction affine
Soit f une fonction affine définie sur par : f(x) = ax + ba et b sont deux réels avec a ≠ 0.
Alors sa dérivée est la fonction f définie sur par : f′(x) = a.

Démonstration
f est de la forme u + v avec u(x) = ax et v(x) = b.
Alors f′(x) = u′(x) + v′(x) = a × 1 + 0 = a.

Exemple
f(x) = 3x + 2
a = 3 et b = 2 alors sa dérivée est f′(x) = 3.
c. Dérivation d'un polynôme de degré 2
Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur par : f(x) = ax² + bx + ca, b et c sont des réels avec a ≠ 0. Alors sa dérivée est la fonction f définie sur par : f′(x) = 2ax + b.

Démonstration
f est de la forme u + v avec u(x) = ax² et v(x) = bx + c.
Alors f′(x) = u′(x) + v′(x) = a × 2x + b + 2ax + b.

Exemple
f(x) = –2x² + x + 2
a = –2 ; b = 1 et c = 2 alors sa dérivée est f′(x) = 2 × (–2)x + 1 = –4x + 1.
d. Dérivation d'un polynôme de degré 3
Soit f une fonction polynôme de degré 3 définie sur par f(x) = ax3 + bx² + cx + d tels que a, b, c et d ∈  et a ≠ 0. La fonction dérivée f est alors définie sur par f′(x) + 3ax² + 2bx + c.

Démonstration
f est de la forme u + v avec u(x) = ax3 et v(x) = bx² + cx d.
Alors f′(x) = u′(x) + v′(x) = a × 3x² + 2bx + c = 3ax² + 2bx + c.

Exemple
f(x) = 4x3 + 2x² +7x   8
a = 4
, b = 2, c = 7 et d = –8.
Sa dérivée est donc f′(x) = 3 × 4x² + 2 × 2x + 7 = 12x² + 4x + 7.

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