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Somme des termes d'une suite arithmétique

Objectifs

Points clés

Pour bien comprendre

1. Rappels

Une suite

est dite arithmétique si il existe un réel

tel que pour tout

. Le réel

est appelé raison de la suite.

Exemple
La suite des entiers naturels impairs est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme

On peut exprimer directement le terme général d'une suite arithmétique en fonction de , de (ou du terme de rang ) et de la raison :

ou	avec : le premier terme de la suite un terme de rang un terme de rang un nombre entier naturel un nombre entier naturel un nombre réel

Pour obtenir :

Exemple
Soit

une suite arithmétique de raison 6 et de premier terme

.
Alors on peut dire que

pour tout

.
Ainsi, par exemple,

2. Somme des n premiers entiers naturels

Propriété :

Exemple
La somme des 100 premiers entiers naturels vaut

3. Somme de n termes consécutifs d'une suite arithmétique

La somme S de termes consécutifs d'une suite arithmétique est égale à :

a. Application 1 : lorsque le premier terme est u0

Soit , alors :

Donc

Notation :

Exemple
Soit u la suite arithmétique de raison r=5 et de premier terme u₀=10.
Calculer

Méthode pour calculer cette somme :

On regarde quel est le premier terme de la somme : c’est u₀=10.
On calcule le dernier terme de la somme : c’est u₁₂.
Or d’où :
On détermine le nombre de termes de cette somme : les termes de la somme vont de u₀ à u₁₂ donc il y a 13 termes.
On calcule la somme en utilisant la formule :

b. Application 2 : lorsque le premier terme est u1

Soit , alors :

Donc

Notation

Exemple
Soit u la suite arithmétique de raison r=2 et de premier terme u₁=4.
Calculer

Méthode pour calculer cette somme :

On regarde quel est le premier terme de la somme : c’est u₁=4.
On calcule le dernier terme de la somme : c’est u₁₅. Or d’où :
On détermine le nombre de termes de cette somme : les termes de la somme vont de u₁à u₁₅ donc il y a 15 termes.
On calcule la somme en utilisant la formule :