Somme des termes d'une suite arithmétique- Terminale- Mathématiques - Maxicours

Somme des termes d'une suite arithmétique

Objectifs
  • Découvrir et utiliser la somme des  premiers entiers non nuls.
  • Calculer la somme de  termes consécutifs d'une suite arithmétique.
  • Découvrir la notation Σ.
Points clés
  • La somme S de termes consécutifs d'une suite arithmétique est égale à :
Pour bien comprendre
  • Notion de suite
  • Suite arithmétique
  • Terme général d'une suite
1. Rappels
Une suite est dite arithmétique si il existe un réel  tel que pour tout . Le réel  est appelé raison de la suite.
Exemple
La suite des entiers naturels impairs est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme .

On peut exprimer directement le terme général  d'une suite arithmétique en fonction de , de  (ou  du terme de rang ) et de la raison  :


ou
avec :
  • le premier terme de la suite
  • un terme de rang
  • un terme de rang
  • un nombre entier naturel
  • un nombre entier naturel
  • un nombre réel

Pour obtenir :

  • en partant de : on ajoute fois la raison ;
  • en partant de (lorsque ) on ajoute fois la raison.
Exemple
Soit une suite arithmétique de raison 6 et de premier terme .
Alors on peut dire que  pour tout .
Ainsi, par exemple, .
2. Somme des n premiers entiers naturels
Propriété : 
Exemple 
La somme des 100 premiers entiers naturels vaut  .
3. Somme de n termes consécutifs d'une suite arithmétique
La somme S de termes consécutifs d'une suite arithmétique est égale à : 
a. Application 1 : lorsque le premier terme est u0

Soit , alors : 

  • le premier terme de la somme est u0 ;
  • le dernier terme de la somme est un ;
  • le nombre de terme de la somme est (n+1).

Donc 

Notation :
Exemple
Soit u la suite arithmétique de raison r=5 et de premier terme u0=10.
Calculer 

Méthode pour calculer cette somme :

  1. On regarde quel est le premier terme de la somme : c’est u0=10.
  2. On calcule le dernier terme de la somme : c’est u12.
    Or  d’où :  
  3. On détermine le nombre de termes de cette somme : les termes de la somme vont de u0 à u12 donc il y a 13 termes.
  4. On calcule la somme en utilisant la formule : 

b. Application 2 : lorsque le premier terme est u1

Soit , alors :

  • le premier terme de la somme est u1 ;
  • le dernier terme de la somme est un ;
  • le nombre de terme de la somme est n.

Donc 

Notation
Exemple
Soit u la suite arithmétique de raison r=2 et de premier terme u1=4.
Calculer  

Méthode pour calculer cette somme :

  1. On regarde quel est le premier terme de la somme : c’est u1=4.
  2. On calcule le dernier terme de la somme : c’est u15. Or  d’où : 
  3. On détermine le nombre de termes de cette somme : les termes de la somme vont de uà u15 donc il y a 15 termes.
  4. On calcule la somme en utilisant la formule : 

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