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Loi binomiale

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Objectifs :
  • Reconnaître un schéma de Bernoulli.
  • Calculer des coefficients binomiaux.
  • Calculer des probabilités dans le cadre de la loi binomiale.
  • Utiliser l’espérance d’une loi binomiale.
Points clés
  • Une épreuve de Bernoulli n'a que 2 issues : un succès S qui se produit avec une probabilité p, un échec S qui se produit avec la probabilité 1-p .
  • Un schéma de Bernoulli d’ordre n est la répétition d’une épreuve de Bernoulli n fois où chaque issue est indépendante.
  • On nomme coefficient binomial, noté n k et qui se lit : « k parmi n », le nombre de chemins ayant k succès de l’arbre d’un schéma de Bernoulli d’ordre n.
  • Un coefficient binomial s'obtient à la calculatrice ou avec un triangle de Pascal.
  • Pour un schéma de Bernoulli d’ordre n, de probabilité p pour chaque succès de l’épreuve, la loi de probabilité de la variable X qui à chaque issue associe k succès est : avec 0 ≤ k ≤ n. Cette loi s'appelle la loi binomiale de paramètres n et p et se note B(n,p) .
  • L'espérance de B(n,p) est donnée par : E(X)=n p.
Pour bien comprendre
  • Épreuve de Bernoulli
    Cf fiche : Les expériences aléatoires à plusieurs épreuves indépendantes (1ère)
1. Définition : schéma de Bernoulli
Un schéma de Bernoulli d’ordre n est la répétition d’une épreuve de Bernoulli n fois où chaque issue est indépendante.
Rappel : Une épreuve de Bernoulli n'a que 2 issues : un succès S qui se produit avec une probabilité p, un échec  qui se produit avec la probabilité 1-p.
Exemple
On lance trois fois de suite une pièce truquée pour laquelle la probabilité d’obtenir pile est . On gagne 5 € pour chaque sortie de « Pile ». Tracer l’arbre pondéré et déterminer la loi de probabilité de cette variable aléatoire.

Soit X la variable aléatoire qui à chaque issue associe le nombre de succès.
Un succès s est représenté par chaque apparition de l’événement « Pile », de probabilité p =   . L’échec, l’événement aura pour probabilité  .

k 0 1 2 3
P(X=k)


Les résultats sont laissés sous forme de fraction de la totalité des cas (on pourrait passer en fractions irréductibles).

Remarque : on dit que cette loi de probabilité est la loi du nombre de succès.
2. Notation et définition
On nomme coefficient binomial, noté  qui se lit k parmi n, le nombre de chemins ayant k succès de l’arbre d’un schéma de Bernoulli d’ordre n.
Exemples
Pour le schéma de Bernoulli précédent : 
  • Pour 0 succès on a car un seul chemin n’a aucun succès.
  • Pour 2 succès on a car trois chemins ont 2 succès.
Remarque : les coefficients binomiaux sont donnés par toutes les calculatrices de lycée.
3. Utilisation d'une calculatrice
a. Utilisation d'une calculatrice ou d'un tableur pour déterminer des coefficients binomiaux

Par exemple .

Avec une calculatrice
  • Sur Texas instrument (82 stat, 83 & 84) écrire n (ici 3) puis entrer la fonction « Combinaison » (qui est dans le menu « Math/Prb ») puis l’argument k (ici 2). Si les instructions sont en anglais, la fonction sera « nCr » dans le même menu qu’indiqué.
  • Sur TI-NSpire dans une page calcul entrer « nCr(3,2).
  • Sur Casio écrire n (ici 3) puis entrer la fonction « nCr » (dans « OPTN » puis « PROB ) puis l’argument k (ici 2).
     
Avec un tableur

Dans une cellule écrire « =COMBIN(3;2)».

b. Loi binomiale de paramètre n et p
Pour un schéma de Bernoulli d’ordre n, de probabilité p pour chaque succès de l’épreuve, la loi de probabilité de la variable X qui à chaque issue associe k succès est avec .

Notation : cette loi est notée .
Exemple
C’est ce que l’on constate avec l’exemple précédent. Pour 2 succès, on peut compter « à la main » la probabilité de chaque chemin et additionner le tout, ce qui donne . D’après la définition, pour on a .
c. Utilisation d'une calculatrice ou d'un tableur pour déterminer P(X=k) pour une loi binomiale de paramètres n et p

Par exemple P(X=k) pour n = 1000, p = 0,5 et k = 462.

 Utilisation d'une calculatrice
  • Sur Texas instrument (82 stat, 83 & 84) entrer la fonction « binomFdp(n,p,k) » (qui est dans le menu « distrib ») avec les arguments n = 1000, p = 0,5 et k = 462.
  • Sur TI-NSpire dans une page calcul entrer « binomPdf(1000,0.5,462) »
    (rappel : les points sont des virgules, les virgules des caractères de séparation des variables).
  • Sur Casio entrer la fonction « BinomialPD(k,n,p) » (dans « OPTN » puis « STAT » puis « DIST » puis « BINM » et « Bpd » pour finir) avec les arguments k = 462, n = 1000 et p = 0,5.
Utilisation d’un tableur 

Dans une cellule écrire « =LOI.BINOMIALE(valeur de k ; n ; p ;FAUX) ».

Remarque : sur certains tableurs au lieu de « FAUX » il faut écrire 0.
d. Utilisation d'une calculatrice ou d'un tableur pour déterminer P(X inférieur ou égal à k) pour une loi binomiale de paramètres n et p

Par exemple P(Xk) pour n = 1000, p = 0,5 et k = 462 (utilisé ci-après).

Avec une calculatrice
  • sur Texas instrument entrer la fonction « binomFrép(n,p,k) » (qui est dans le menu « distrib ») avec les arguments n = 1000, p = 0,5 et k = 462.
  • sur TI-NSpire dans une page calcul entrer « binomCdf(1000,0.5,0,462) »
    (rappel : les points sont des virgules, les virgules des caractères de séparation des variables).
  • sur Casio entrer la fonction « BinomialCD(k,n,p) » (dans « OPTN » puis « STAT » puis « DIST » puis « BINM » et « Bcd » pour finir) avec les arguments k = 462 la valeur à tester, n = 1000 et p = 0,5.
Avec un tableur 

Dans une cellule écrire « =LOI.BINOMIALE(valeur de k ; n ; p ;VRAI) » que l’on tirera vers le bas.

Remarque : sur certains tableurs au lieu de « VRAI » il faut écrire « 1 ».
4. Espérance de la loi binomiale
Le calcul de l’espérance est immédiat :
Dans l’exemple précédent on aurait donc
5. Propriétés des coefficients binomiaux

On peut remarquer :
Par convention .

  • Si alors .
  • Si alors (formule de Pascal).

Ces deux règles permettent de calculer les coefficients binomiaux de proche en proche, en construisant le « Triangle de Pascal » par exemple.

Avec un tableur




Dans le tableur enlever l’affichage des zéros (cliquer sur Outils/Options puis décocher la case « Valeurs zéro » dans Affichage).
Mettre des 1 en première colonne et en diagonale.
En B3 écrire une formule du genre « =A2+B2 » que l’on recopie vers le bas. On recopie aussi cette formule vers la droite pour les cellules sans valeur à l’intérieur du triangle.

Rappel : les coefficients binomiaux sont obtenus avec la calculatrice.

À la main

 

  • Étape 1 : on remplit la première colonne et la diagonale à l'aide des formules  et
  • Étape 2 : dans le triangle de Pascal, chaque case est la somme de la case située au-dessus, et de celle située au-dessus à gauche, ainsi on remplit :
  • Étape 3 : on reprend l'étape 2 à la ligne du dessous, et ainsi de suite.

Rappel : les coefficients binomiaux peuvent s'obtiennent aussi avec la calculatrice.

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Question 1/5

La médiane de 6 notes est 13. Cela signifie que :

Question 2/5

On a obtenu la série statistique suivante :

Combien vaut la médiane ?

Question 3/5

On a obtenu la série ci-dessous :

Quelle est la médiane de cette série ?

Question 4/5

On a relevé les tailles en cm des élèves d’une classe :

 

Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?

Question 5/5

Les notes en français de deux classes littéraires sont données dans le tableau suivant :

Quelle est la note médiane ?

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