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Loi binomiale

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Objectifs :

Reconnaître un schéma de Bernoulli.
Calculer des coefficients binomiaux.
Calculer des probabilités dans le cadre de la loi binomiale.
Utiliser l’espérance d’une loi binomiale.

Points clés

Une épreuve de Bernoulli n'a que 2 issues : un succès S qui se produit avec une probabilité p, un échec S qui se produit avec la probabilité 1-p .
Un schéma de Bernoulli d’ordre n est la répétition d’une épreuve de Bernoulli n fois où chaque issue est indépendante.
On nomme coefficient binomial, noté n k et qui se lit : « k parmi n », le nombre de chemins ayant k succès de l’arbre d’un schéma de Bernoulli d’ordre n.
Un coefficient binomial s'obtient à la calculatrice ou avec un triangle de Pascal.
Pour un schéma de Bernoulli d’ordre n, de probabilité p pour chaque succès de l’épreuve, la loi de probabilité de la variable X qui à chaque issue associe k succès est : avec 0 ≤ k ≤ n. Cette loi s'appelle la loi binomiale de paramètres n et p et se note B(n,p) .
L'espérance de B(n,p) est donnée par : E(X)=n p.

Pour bien comprendre

Épreuve de Bernoulli
Cf fiche : Les expériences aléatoires à plusieurs épreuves indépendantes (1^ère)

1. Définition : schéma de Bernoulli

Un schéma de Bernoulli d’ordre n est la répétition d’une épreuve de Bernoulli n fois où chaque issue est indépendante.

Rappel : Une épreuve de Bernoulli n'a que 2 issues : un succès S qui se produit avec une probabilité p, un échec

qui se produit avec la probabilité 1-p.

Exemple
On lance trois fois de suite une pièce truquée pour laquelle la probabilité d’obtenir pile est

. On gagne 5 € pour chaque sortie de « Pile ». Tracer l’arbre pondéré et déterminer la loi de probabilité de cette variable aléatoire.

Soit X la variable aléatoire qui à chaque issue associe le nombre de succès.
Un succès s est représenté par chaque apparition de l’événement « Pile », de probabilité p =

. L’échec, l’événement

aura pour probabilité

k	0	1	2	3
P(X=k)

Les résultats sont laissés sous forme de fraction de la totalité des cas (on pourrait passer en fractions irréductibles).

Remarque : on dit que cette loi de probabilité est la loi du nombre de succès.

2. Notation et définition

On nomme coefficient binomial, noté

qui se lit k parmi n, le nombre de chemins ayant k succès de l’arbre d’un schéma de Bernoulli d’ordre n.

Exemples
Pour le schéma de Bernoulli précédent :

Pour 0 succès on a car un seul chemin n’a aucun succès.
Pour 2 succès on a car trois chemins ont 2 succès.

Remarque : les coefficients binomiaux sont donnés par toutes les calculatrices de lycée.

3. Utilisation d'une calculatrice

a. Utilisation d'une calculatrice ou d'un tableur pour déterminer des coefficients binomiaux

Par exemple .

Avec une calculatrice

Sur Texas instrument (82 stat, 83 & 84) écrire n (ici 3) puis entrer la fonction « Combinaison » (qui est dans le menu « Math/Prb ») puis l’argument k (ici 2). Si les instructions sont en anglais, la fonction sera « nCr » dans le même menu qu’indiqué.
Sur TI-NSpire dans une page calcul entrer « nCr(3,2).
Sur Casio écrire n (ici 3) puis entrer la fonction « nCr » (dans « OPTN » puis « PROB ) puis l’argument k (ici 2).

Avec un tableur

Dans une cellule écrire « =COMBIN(3;2)».

b. Loi binomiale de paramètre n et p

Pour un schéma de Bernoulli d’ordre n, de probabilité p pour chaque succès de l’épreuve, la loi de probabilité de la variable X qui à chaque issue associe k succès est

avec

.

Notation : cette loi est notée

Exemple
C’est ce que l’on constate avec l’exemple précédent. Pour 2 succès, on peut compter « à la main » la probabilité de chaque chemin et additionner le tout, ce qui donne

. D’après la définition, pour

on a

c. Utilisation d'une calculatrice ou d'un tableur pour déterminer P(X=k) pour une loi binomiale de paramètres n et p

Par exemple P(X=k) pour n = 1000, p = 0,5 et k = 462.

Utilisation d'une calculatrice

Sur Texas instrument (82 stat, 83 & 84) entrer la fonction « binomFdp(n,p,k) » (qui est dans le menu « distrib ») avec les arguments n = 1000, p = 0,5 et k = 462.
Sur TI-NSpire dans une page calcul entrer « binomPdf(1000,0.5,462) »
(rappel : les points sont des virgules, les virgules des caractères de séparation des variables).
Sur Casio entrer la fonction « BinomialPD(k,n,p) » (dans « OPTN » puis « STAT » puis « DIST » puis « BINM » et « Bpd » pour finir) avec les arguments k = 462, n = 1000 et p = 0,5.

Utilisation d’un tableur

Dans une cellule écrire « =LOI.BINOMIALE(valeur de k ; n ; p ;FAUX) ».

Remarque : sur certains tableurs au lieu de « FAUX » il faut écrire 0.

d. Utilisation d'une calculatrice ou d'un tableur pour déterminer P(X inférieur ou égal à k) pour une loi binomiale de paramètres n et p

Par exemple P(Xk) pour n = 1000, p = 0,5 et k = 462 (utilisé ci-après).

Avec une calculatrice

sur Texas instrument entrer la fonction « binomFrép(n,p,k) » (qui est dans le menu « distrib ») avec les arguments n = 1000, p = 0,5 et k = 462.
sur TI-NSpire dans une page calcul entrer « binomCdf(1000,0.5,0,462) »
(rappel : les points sont des virgules, les virgules des caractères de séparation des variables).
sur Casio entrer la fonction « BinomialCD(k,n,p) » (dans « OPTN » puis « STAT » puis « DIST » puis « BINM » et « Bcd » pour finir) avec les arguments k = 462 la valeur à tester, n = 1000 et p = 0,5.

Avec un tableur

Dans une cellule écrire « =LOI.BINOMIALE(valeur de k ; n ; p ;VRAI) » que l’on tirera vers le bas.

Remarque : sur certains tableurs au lieu de « VRAI » il faut écrire « 1 ».

4. Espérance de la loi binomiale

Le calcul de l’espérance est immédiat :

Dans l’exemple précédent on aurait donc

5. Propriétés des coefficients binomiaux

On peut remarquer : . .
Par convention .

Si alors .
Si alors (formule de Pascal).

Ces deux règles permettent de calculer les coefficients binomiaux de proche en proche, en construisant le « Triangle de Pascal » par exemple.

Avec un tableur

Dans le tableur enlever l’affichage des zéros (cliquer sur Outils/Options puis décocher la case « Valeurs zéro » dans Affichage).
Mettre des 1 en première colonne et en diagonale.
En B3 écrire une formule du genre « =A2+B2 » que l’on recopie vers le bas. On recopie aussi cette formule vers la droite pour les cellules sans valeur à l’intérieur du triangle.

Rappel : les coefficients binomiaux sont obtenus avec la calculatrice.

À la main

Étape 1 : on remplit la première colonne et la diagonale à l'aide des formules et
Étape 2 : dans le triangle de Pascal, chaque case est la somme de la case située au-dessus, et de celle située au-dessus à gauche, ainsi on remplit :
Étape 3 : on reprend l'étape 2 à la ligne du dessous, et ainsi de suite.