Loi binomiale
- Fiche de cours
- Quiz et exercices
- Vidéos et podcasts
- Reconnaître un schéma de Bernoulli.
- Calculer des coefficients binomiaux.
- Calculer des probabilités dans le cadre de la loi binomiale.
- Utiliser l’espérance d’une loi binomiale.
- Une épreuve de Bernoulli n'a que 2 issues : un succès S qui se produit avec une probabilité p, un échec S qui se produit avec la probabilité 1-p .
- Un schéma de Bernoulli d’ordre n est la répétition d’une épreuve de Bernoulli n fois où chaque issue est indépendante.
- On nomme coefficient binomial, noté n k et qui se lit : « k parmi n », le nombre de chemins ayant k succès de l’arbre d’un schéma de Bernoulli d’ordre n.
- Un coefficient binomial s'obtient à la calculatrice ou avec un triangle de Pascal.
- Pour un schéma de Bernoulli d’ordre n, de
probabilité p pour chaque succès de
l’épreuve, la loi de probabilité de la
variable X qui à chaque issue associe k
succès est :
avec
0 ≤ k ≤ n. Cette loi s'appelle la loi binomiale de
paramètres n et p et se note B(n,p) .
- L'espérance de B(n,p) est donnée par : E(X)=n p.
- Épreuve de Bernoulli
Cf fiche : Les expériences aléatoires à plusieurs épreuves indépendantes (1ère)
qui se produit avec la
probabilité 1-p.
On lance trois fois de suite une pièce truquée pour laquelle la probabilité d’obtenir pile est
. On gagne 5 € pour chaque
sortie de « Pile ». Tracer
l’arbre pondéré et déterminer
la loi de probabilité de cette variable
aléatoire.Soit X la variable aléatoire qui à chaque issue associe le nombre de succès.
Un succès s est représenté par chaque apparition de l’événement « Pile », de probabilité p =
. L’échec,
l’événement 
aura pour probabilité
.
| k | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P(X=k) |
|
|
|
|
Les résultats sont laissés sous forme de
fraction de la totalité des cas (on pourrait
passer en fractions irréductibles).
qui se lit k parmi n, le nombre
de chemins ayant k succès de l’arbre
d’un schéma de Bernoulli d’ordre
n.
Pour le schéma de Bernoulli précédent :
- Pour 0 succès on a
car un seul chemin n’a
aucun succès.
- Pour 2 succès on a
car trois chemins ont 2
succès.
Par exemple 
.
- Sur Texas instrument (82 stat, 83 & 84) écrire n (ici 3) puis entrer la fonction « Combinaison » (qui est dans le menu « Math/Prb ») puis l’argument k (ici 2). Si les instructions sont en anglais, la fonction sera « nCr » dans le même menu qu’indiqué.
- Sur TI-NSpire dans une page calcul entrer « nCr(3,2).
-
Sur Casio écrire n (ici 3) puis
entrer la fonction « nCr » (dans «
OPTN » puis « PROB ) puis
l’argument k (ici 2).
Dans une cellule écrire « =COMBIN(3;2)».
avec 
.Notation : cette loi est notée
.
C’est ce que l’on constate avec l’exemple précédent. Pour 2 succès, on peut compter « à la main » la probabilité de chaque chemin et additionner le tout, ce qui donne
. D’après la
définition, pour 
on a 
.
Par exemple P(X=k) pour n = 1000, p = 0,5 et k = 462.
- Sur Texas instrument (82 stat, 83 & 84) entrer la fonction « binomFdp(n,p,k) » (qui est dans le menu « distrib ») avec les arguments n = 1000, p = 0,5 et k = 462.
-
Sur TI-NSpire dans une page calcul entrer
« binomPdf(1000,0.5,462) »
(rappel : les points sont des virgules, les virgules des caractères de séparation des variables). - Sur Casio entrer la fonction « BinomialPD(k,n,p) » (dans « OPTN » puis « STAT » puis « DIST » puis « BINM » et « Bpd » pour finir) avec les arguments k = 462, n = 1000 et p = 0,5.
Dans une cellule écrire « =LOI.BINOMIALE(valeur de k ; n ; p ;FAUX) ».
Par exemple P(X
k) pour n = 1000, p
= 0,5 et k = 462 (utilisé
ci-après).
- sur Texas instrument entrer la fonction « binomFrép(n,p,k) » (qui est dans le menu « distrib ») avec les arguments n = 1000, p = 0,5 et k = 462.
-
sur TI-NSpire dans une page calcul entrer
« binomCdf(1000,0.5,0,462) »
(rappel : les points sont des virgules, les virgules des caractères de séparation des variables). - sur Casio entrer la fonction « BinomialCD(k,n,p) » (dans « OPTN » puis « STAT » puis « DIST » puis « BINM » et « Bcd » pour finir) avec les arguments k = 462 la valeur à tester, n = 1000 et p = 0,5.
Dans une cellule écrire « =LOI.BINOMIALE(valeur de k ; n ; p ;VRAI) » que l’on tirera vers le bas.
On peut remarquer : 
. 
. 
Par convention 
.
- Si
alors 
.
- Si
alors 
(formule de Pascal).
Ces deux règles permettent de calculer les coefficients binomiaux de proche en proche, en construisant le « Triangle de Pascal » par exemple.
Dans le tableur enlever l’affichage des
zéros (cliquer sur Outils/Options puis
décocher la case « Valeurs zéro
» dans Affichage).
Mettre des 1 en première colonne et en
diagonale.
En B3 écrire une formule du genre « =A2+B2
» que l’on recopie vers le bas. On recopie
aussi cette formule vers la droite pour les cellules sans
valeur à l’intérieur du triangle.
Rappel : les coefficients binomiaux sont obtenus
avec la calculatrice.
-
Étape 1 : on remplit la première colonne et la
diagonale à l'aide des formules
et 
-
Étape 2 : dans le triangle de
Pascal, chaque case est la somme de la case
située au-dessus, et de celle située
au-dessus à gauche, ainsi on remplit :
- Étape 3 : on reprend l'étape 2 à la ligne du dessous, et ainsi de suite.
Rappel : les coefficients binomiaux peuvent s'obtiennent aussi avec la calculatrice.
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