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Taux d'évolution et coefficient multiplicateur- Terminale- Mathématiques

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Objectifs

Appliquer un taux d’évolution pour calculer une valeur finale ou initiale.
Calculer un taux d’évolution.
Exprimer un taux d'évolution en pourcentage.
Interpréter un indice de base 100.
Calculer un indice.
Calculer le taux d’évolution équivalent à plusieurs évolutions successives.
Calculer un taux d’évolution réciproque.

Points clés

Pour mesurer la variation d'une quantité dans le temps, on utilise le taux d’évolution (ou variation relative).
Le cœfficient multiplicateur CM est le nombre par lequel il faut multiplier la valeur initiale pour obtenir la valeur finale . On a la relation : .
Le cœfficient multiplicateur CM et le taux d’évolution sont reliés par une formule : , étant le taux d’évolution en pourcentage. Il est positif s’il représente une augmentation, négatif s’il représente une diminution.
Le taux d'évolution entre deux valeurs s'obtient par la formule suivante :
Le taux d’évolution n’est pas exprimé dans une unité. Souvent, il est donné en pourcentage.
Dans ce cas : , T_e étant le taux d’évolution en pourcentage.
Lorsqu’une valeur de départ évolue dans le temps, on peut utiliser les indices pour traduire cette évolution. La valeur de départ est la valeur de référence et on lui attribue un indice de 100. Ainsi si V₀ est la valeur de départ et V_i la valeur à un moment i alors l’indice correspondant à cette valeur est :
.
Pour déterminer le taux d’évolution entre les valeurs V₀ et V_i, on enlève 100 à l’indice I.
On considère plusieurs évolutions successives de taux t₁, t₂, ... t_n.
On calcule les coefficients multiplicateurs CM₁, CM₂, ... CM_n de chacune de ces évolutions. Le coefficient multiplicateur global correspondant à l’évolution globale se calcule avec la formule : CM_g = CM₁ × CM₂ × ... × CM_n
On en déduit ensuite le taux global.

Pour bien comprendre

Produit en croix
Calcul de pourcentage

1. Application d'un taux d'évolution

On parle beaucoup du taux d’évolution dans le langage courant, mais pour appliquer un taux d'évolution à une quantité, on utilise le coefficient multiplicateur.

Exemples
Si une quantité initiale augmente de 8 %, alors pour obtenir la quantité finale, on ne la multiplie pas par 8 %, mais par un coefficient multiplicateur qui vaut 1 + 8 % = 1 + 0,08 = 1,08.
Si une quantité initiale diminue de 32 %, alors pour obtenir la quantité finale, on ne la multiplie pas par – 32 %, mais par un coefficient multiplicateur qui vaut 1 – 32 % = 1 – 0,32 = 0,68.

Le cœfficient multiplicateur CM est le nombre par lequel il faut multiplier la valeur initiale

pour obtenir la valeur finale

.
On a la relation :

Pour connaitre la valeur du coefficient multiplicateur à partir du taux d'évolution, on utilise la relation suivante.

Le cœfficient multiplicateur CM et le taux d’évolution

sont reliés par une formule :

est le taux d’évolution exprimé en pourcentage. Il est positif s’il représente une augmentation, négatif s’il représente une diminution.

Exemple
Un objet coute 145 €. Son prix diminue de 10 %. Quel est son nouveau prix ?
Attention, le nouveau prix n’est pas égal à

!
On cherche à calculer la valeur finale d’un objet à partir de sa valeur initiale et du taux d’évolution.
On utilise la formule :

.
Son nouveau prix est donc de 130,5 €.

2. Taux d'évolution entre deux valeurs successives

a. Calcul d'un taux d'évolution

Pour mesurer la variation d'une quantité dans le temps, on utilise le taux d’évolution (ou variation relative).

Le taux d’évolution s’obtient par la formule suivante :

Remarque
Le taux d’évolution n’est pas exprimé dans une unité. Souvent, il est donné en pourcentage.
Dans ce cas :

, T_e étant le taux d’évolution en pourcentage.

Exemple
Un objet coutait 2,13 € en 2018. Le même objet est vendu 2,33 € en 2019.
On a donc un taux d’évolution en pourcentage

(arrondi au dixième). Le prix de l'objet a donc augmenté de 9,4 % entre 2018 et 2019.

b. Interprétation

Trois cas peuvent se présenter :

si le taux d’évolution est positif, on a une augmentation ;
si le taux d’évolution est négatif, on a une diminution ;
si le taux d’évolution est nul, il n’y a ni augmentation, ni diminution.

Exemple
On reprend l’exemple précédent. Le taux d’évolution de 9,4 % est positif, ce qui signifie que le prix de l’objet a augmenté de 9,4 % entre 2018 et 2019.

3. Indices

Lorsqu’une valeur de départ évolue dans le temps, on peut utiliser les indices pour traduire cette évolution.

La valeur de départ est la valeur de référence et on lui attribue un indice de 100.

On utilise la proportionnalité pour calculer les indices correspondants aux différentes valeurs.

Ainsi si V₀ est la valeur de départ et V_i la valeur à un moment i alors l’indice correspondant à cette valeur est :

Exemple
On suit l’évolution des prix pendant 3 mois dans un supermarché pour un produit vendu.

Mois	Mars	Avril	Mai
Prix	2,56	2,78	2,91
Indice	100

On calcule l’indice du prix du mois d’avril :

On calcule l’indice du prix du mois de mai :

Pour déterminer le taux d’évolution entre les valeurs V₀ et V_i, on enlève 100 à l’indice I.

Exemple
Dans le tableau précédent,

Mois	Mars	Avril	Mai
Prix	2,56	2,78	2,91
Indice	100	108,6	113,7

On lit que le prix du produit a augmenté de 8,6 % entre mars et avril et il a augmenté de 13,7 % entre mars et mai.

4. Évolutions successives

On considère plusieurs évolutions successives de taux t₁, t₂, ... t_n.
On calcule les coefficients multiplicateurs CM₁, CM₂, ... CM_n de chacune de ces évolutions.

Le coefficient multiplicateur global correspondant à l’évolution globale se calcule avec la formule :
CM_g = CM₁ × CM₂ × ... × CM_n

On en déduit ensuite le taux global.

Exemple
Un paquet de lessive coute 9,5 € au 1^er janvier 2020. Son prix augmente de 1 % au 1^er février puis de 3 % au 1^er mars.
On a : t₁ = 1 % et t₂ = 3 %
Les coefficients multiplicateurs associés sont :

Donc le taux d’évolution global pendant les 2 mois est de 4,03 %.
Le prix du paquet de lessive au 1^er mars est : 9,5 × 1,0403 ≈ 9,88 €.

5. Taux d'évolution réciproque

On considère un taux d’évolution t entre une valeur initiale V_i et une valeur finale V_f. On appelle CM le coefficient multiplicateur associé.

On appelle t' le taux d’évolution qui permet de passer de la valeur finale V_f à la valeur initiale V_i. On dit que t' est le taux d’évolution réciproque de t.

On appelle CM' le coefficient multiplicateur associé. On a : .

Exemple
Le prix d’un produit a baissé de 10 % en un mois. Quel est le taux d’évolution qu’il faudrait appliquer le mois suivant pour que le produit revienne à son prix initial ?
On a t = 10 %
On calcule le taux réciproque t' de t :

Donc le taux réciproque t' est de 9,1 %.

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